流体力学课程教学课件(精华版)74p

1、第六章 理想不可压缩流体的运动6.1 理想不可压缩流体运动基本方程6.2 二维无旋运动6.3 基本无旋流6.5 有旋运动6.4 理想流体绕圆柱的流动 连续性方程 质量守恒定律对流体运动的一个基本约束 用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。6.1 理想不可压缩流体运动基本方程连续性方程xyzodxdydzuzabcdabcd 在时间段dt 里，沿着 y 方向和 z 方向净流入左右和上下两对表面的流体质量分别为和uy三维流动的连续性微分方程 在时间段dt 里，微元内流体质量的增

2、加 根据质量守恒原理简化或写成对于不可压缩流体的流动，密度是常数，连续方程为恒定流动的连续方程速度场的散度流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也是流体微团的体积膨胀率。连续性方程在球坐标中的形式为连续性方程在柱坐标中的形式为 连续方程 表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。欧拉方程 作用于运动流体上的力分为两类，一类是作用于整个流体体积上的力，称为彻体力，另一类是作用于流体表面上的力，称为表面力。 在理想不可压缩流体运动中，微元体上的作用力之和等于微元体质量与其运动加速度的乘积

3、。欧拉方程球坐标形式的欧拉方程 柱坐标形式的欧拉方程 如果不可压缩流体做定常运动，且彻体力有势W，即则欧拉方程沿流线s的积分得到伯努利方程流体做无旋流动时，欧拉方程积分可得理想不可压缩流体基本方程组 将不可压缩流体的连续性方程和运动方程组合在一起，得到理想不可压缩流体的运动方程组，即初始条件是t=t0时边界条件为 方程组仍然是非线性的，速度u和压力p互相影响，求解方程相当困难。如果运动无旋，方程组可以得到重大简化。理想不可压缩流体无旋流动基本方程组若流体作无旋运动，存在速度势，使代入连续性方程 上式是一个二阶线性偏微分方程，通常称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程的解具有可叠加性。 如果流体理想不可

4、压缩，重力有势，运动无旋，由欧拉方程积分得到拉格朗日积分求出速度势后得到速度，代入拉格朗日积分求出压力分布p。理想不可压缩流体，重力有势，其基本方程组为初始条件是t=t0时边界条件为6.2 二维无旋运动 真实流体是有粘性的流体，而粘性流体都是有旋的。在实际中，许多粘性流体的流动可以简化成理想的无旋运动。在数学上，处理无旋运动比有旋运动简单得多，可以通过求解线性运动方程决定速度分布，再由伯努利积分决定压力。流函数和速度势函数是求解二维无旋问题的重要数学工具。流函数的定义流体运动时各有关物理量在空间的分布仅依赖于两个坐标来确定二维运动 如果流体质点的运动速度都与已知的x-y平面平行，且所有平面上的

5、流动情况都相同，则二维流动的流线方程为或连续性方程为或全微分条件 必然存在一个函数，使 流线是等流函数线，给予不同的常数可以得到一簇流线。通常将与流体接触的壁面视为零流线。这称为流函数，上式可得到流函数的定义式为当 时，可得表示穿过 M0 至 M 连线的流量，它与连线路径无关，在起点 M0 确定的情况下是终点 M 的坐标的函数。 根据定义确定流函数时选取不同的起点 M0 ，流函数将相差一个常数，但同样不会影响对流场的描述。M0M 对于不可压流体的平面流动是容易理解的，而三维流动就得不到这样的结论。 两点流函数的差表示穿过两点间任意连线的流量。（常数）不可压流体平面流动的流线方程 表示有流量自M

6、1M2连线左侧流进右侧，由此可确定流动方向。如图中所示, 若M1M2画出穿过微元弧长的流量示意图，可以帮助记忆流函数定义。在直角坐标系中在极坐标系中流函数与流量的关系 在流体作二维运动的流场中，用任意曲线将两点连接起来，某时刻通过该曲线上的微元线段dl的流量为un是微元线段上M点出的法向速度于是结合流函数的定义式可得 上式表明单位时间内通过曲线微元上的流量等于流函数的微分。沿曲线积分，得到流经任意线段AB的流量 可知，流经任意曲线AB的流量等于该曲线两个端点上的流函数之差，与曲线的形状无关。流函数方程 已知流函数可以求得任意二维流场的速度场，流体在x-y平面内作有旋运动，旋转角速度不为零，有将

7、流函数的定义式代入上式，得 流体在x-y平面内作无旋运动，旋转角速度为零，有流体二维流动引入流函数，可以通过改写方程减少未知量，使计算简便。因此广泛使用流函数表示流体的流动。无论是无旋运动还是有旋运动，只要流体作二维运动，都可以采用流函数的概念。如果流体运动无旋，其旋度为零。这是全微分方程的充要条件，必然存在一个函数全微分为 这称为速度势函数。可知速度势的方向导数是速度。速度势有类似力势的特性，即与起点位置无关，只决定于两点之间的势差。无旋运动或比较上两式得到速度分量和函数之间的关系M0M1Oyxz速度势函数的求法（一） 与路径无关，可选一条简便的路径计算。 起点不同，速度势相差一个常数，不会

8、影响对流场的描述。速度势函数的求法（二）寻找全微分，确定速度势 要按照定义求速度势，不要误认为做三个独立的不定积分。 给出流场，求解速度势，要先检查流场是否无旋。代入确定例已知速度场 此流动是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。求证由知按定义求按三个不定积分求满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。极坐标中速度势函数的微分为 不可压流体无旋流动的速度势函数满足拉普拉斯方程。dldrxyrddr例已知速度场 此流动是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。求证r = 0 奇点已知速度场例 此流动是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。求证r = 0 奇点 以上速度势函数和流函数的关系是在不可压

9、缩流体平面无旋流动的条件下建立的。在不可压缩流体平面有旋流动中就只有流函数，没有速度势。在不可压缩流体三维无旋流动中就只有速度势，没有流函数。注意如不可压缩流体平面流动的流函数 流动有旋，不存在速度势。求流函数求速度势查是否平面不可压查是否无旋二维无旋运动 比较速度势和流函数的定义式，可以得到流体作二维无旋运动时的势函数和流函数的关系 势函数等于常数时可以得到等势线，在等势线上速度势的数值是一定的。流函数等于常数可以得到流线。 联系两者的关系称为哥西-黎曼条件。可以证明流线和等势线正交，因为将速度势的定义式代入不可压缩流体的连续性方程得上式称为拉普拉斯方程。它是线性方程，两个解的和或差也是原方

10、程的解，因此复杂流场的解可以由一些简单流场的解叠加而得到。求解拉普拉斯方程关键在于求得给定的边界条件下的特解，得到势函数，从而确定速度场。在固壁上，势函数应满足的边界条件是法向速度为零。对于用流函数表示的绕流问题，要求零流线与物体壁面重合。势流基本方程6.3 基本无旋流 均匀流、径向流和环流等基本无旋流，可以作为叠加求解复杂无旋运动问题的基本数学单元。均匀流 均匀直线流动是最简单的流型，具有平行的直线流线，速度分布均匀。其速度分布为 其中U是均匀流的速度，C是积分常数。当流体绕过物体时，远离物体表面的来流可以近似认为是均匀流。积分可得速度势和流函数o2x14y2331 实际上是与流动平面垂直的

11、一条无限长线源，单位长度源强为Q Q为正称为点源，Q为负称为点汇。径向流oxy2142331等势线流线点源处，是流场的奇点以点源为圆心的同心圆从点源出发的半射线x 流线是同心圆、径向速度为零的流动称为环流。在柱坐标中旋转角速度和径向速度均为零。 环量以逆时针为正，顺时针为负。o21y2331环流等势线流线点涡处，是流场的奇点从点源出发的半射线以点源为圆心的同心圆o21y2331x一对等强度的源和汇叠加的极限情况间距保持不变强度即偶极子方向：汇源偶极子强度：MyxoM (x,y)r1r2r12AB偶极流 强度为M，方向为 x 轴的偶极子的速度势yxop(x,y)rArBr12AB 强度为M，方向

12、为 x 轴的偶极子的流函数yxop(x,y)rArBr12AB 偶极子方向为 x 轴，结果反号。xy偶极子的流线圆心在 y 轴上与 x 轴相切的圆 =C=Cm偶极子的等势线 圆心在 x 轴上与 y 轴相切的圆6.4 理想流体绕圆柱的流动 长圆柱物体在静止流场中作匀速直线运动，在静坐标系中观察到绕圆柱的流体运动时非定常的。采用固结在圆柱物体的动坐标系，在其中观察到绕圆柱的流体运动时定常的，于是问题转化为作匀速直线流通的流体绕静止的长圆柱物体运动。理想流体绕圆柱体流动绕长圆柱流动的流函数为零流线方程为故零流线可表示为偶极矩满足的流动边界条件为流体不能穿透物体表面，绕圆柱粘附在其表面的边界流线是零流

13、线。上式表明，零流线是圆心位于坐标原点、半径为r0的圆，以及ox轴与该圆连接的两个分支。根据拉普拉斯方程，有均匀流和偶极流叠加得到流函数。满足边界条件的流函数为速度势为 在极坐标中，流体绕经圆柱体的速度分布与速度势的关系为当r=r0时，满足边界条件的速度分布为圆柱体表面的速度方向沿圆周切线方向。当角度为180度时，称为前临界点，速度为零；当为0度时，称为后临界点，速度为零；当为90度时，速度最大。为求压力分布，不计重力影响可列出伯努利方程代入速度分布得在圆柱表面上压力分布为当角度为0或180度时压力为当角度为90或270度时压力为 流体绕圆柱体的压力分布，在0到90度的范围内计算值与实验值相差

14、很大，这是由于没有考虑到粘性的影响，实际流体流过圆柱体表面时，柱体表面薄层流体的粘性力影响很大。在70到100度的范围内，流体将与柱体发生分离，不再粘附在柱体表面上，而在柱体后缘形成涡旋区。采用理想流体模型计算，圆柱体只受到来流的对称性压力，受到的阻力为零，这显然与实际情况相违背。著名的达朗伯悖理表述了这一矛盾现象。 物体在静止流体中开始运动时，也会引起周围流体开始运动。物体以定常速度运动，所获得的动能是物体的动能Eb和引起运动的流体质点的动能Ef 之和，即 提供给物体运动的能量大于物体自身运动需要的能量，就好像是增大了质量的物体在运动。附加质量如下式定义视质量为例圆柱体以速度U运动时，附加质

15、量为有环量的绕圆柱流动 有环量存在的绕圆柱流动，是一种无旋流动与有旋运动同时存在的复杂流场。流场中因为柱体旋转而具有环量，环量的出现使运动流体中的物体受到了升力。确定流场的速度分布后，柱体受到的升力可以通过其表面的压力分布求得。 流场的速度势和流函数由理想流体绕圆柱体和环流叠加得到可得到流场的速度分布为在柱体表面上令 得到 上式给出临界点位置的三种情况：当 时，分别位于 和 有两个对称分布的临界点。当 时， 和 ，两个临界点合二为 一，位于柱体表面y轴的正下方。当 时，在柱体表面以外有一个临界点，这时在柱 体表面周围形成一个非圆形流线的环流运动区域。由理想流体绕圆柱的压力分布和速度分布得在柱面

16、上r=r0压力分布对称于y轴，而不对称于x轴。圆柱体表面下半部分的压力处处大于上半部分各点的压力，最大压力在临界点出，最小压力在圆柱体截面的顶点。绕圆柱体的有环量无旋运动，压力分布与速度环量有关。马格努斯效应作用在圆柱体上的压力合力在x轴和y轴上的投影分别为理想流体作有环量的平移流动时，对产生环量的绕轴线自旋的长圆柱体作用的力，是与圆柱体自旋轴线垂直的横向力。升力的方向，可以由来流速度矢量方向逆环流方向转过90度得到。因为是理想流体绕圆柱体流动，所以圆柱体在水平方向受到的阻力为零。无旋流动有旋流动这个分类是 很重要的旋度 判别的唯一标准是看流速场的旋度是否为零有旋流动和无旋流动的判别6.5 有

17、旋运动 涡线是涡量场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的曲线，该瞬时位于涡线上各点对应的涡量都沿着涡线的切向。与流线一样，涡线是与欧拉观点相对应的概念。涡线涡量、涡线、涡管和涡通量 对于有旋流动，将流速场的旋度称为涡量，它是流体微团旋转角速度矢量的两倍。涡量场是矢量场。涡量 根据定义，涡线的微分方程为 实际上这是两个微分方程，其中 t 是参数。可求解得到两族曲面，它们的交线就是涡线族。其中涡线微分方程 在流场中，取一条不与涡线重合的封闭曲线 L，在同一时刻过 L上每一点作涡线，由这些涡线围成的管状曲面称为涡管。涡管涡线涡管 与涡线一样，涡管是瞬时概念涡通量dAAn涡管强度 通过流场中某曲面 A 的

18、涡量通量称为涡通量。 通过涡管任一截面 A 的涡通量又可称为涡管强度A留下一个问题：为什么可取任一截面计算涡管强度速度环量、斯托克斯定理速度环量 定义流速矢量 u 沿有向曲线 L 的线积分为速度环量斯托克斯定理udlndA封闭曲线 L 是 A 的周界， L 的方向 与 n 成右手系。沿 L 的速度环量通过 A 的涡通量=例已知 不可压缩流体速度分布 涡线方程及沿封闭围线的速度环量求求涡量场 求涡线 求速度环量 在 z = 0 平面上，涡量为A 关于 x 轴对称旋涡随空间的变化规律奥高定理nuVAdA 矢量场通过一封闭曲面的通量（流出为正）等于矢量场的散度在封闭曲面所围空间域上的积分。根据不可压缩流体连续方程 奥高定理可解释为：不可压缩流体通过任一封闭曲面的体积流量为零。涡量场是无源场（管形场） 矢量场的散度表示矢量场的源汇强度。散度为零的矢量场也称无源场，其矢量线必成管状，所以也称管形场。 涡量的散度必为零 由于涡管侧壁没有涡通量，所以根据涡量场是无源场可得如下结论：涡线涡管 在同一时刻，穿过同一涡管的各断面的涡通