2022年《信号分析与处理》备课教案

1、其次章：单输入单输出系统的时域分析 2.1. 概述系统分析的主要任务是解决在给定的鼓励作用下,系统将产生什么样的响应；即假如系统（这里指“ 线性时不变LTI 系统” ,以下相同）是确定的,鼓励是已知的,就响应肯定也是确定的；系统数学模型的时域描述主要有两种形式：“ 输入输出描述” 与“ 状 态变量描述” , 本章只涉及“ 输入输出描述” ,即采纳微分或差分方程对 系统进行描述；为了确定一个线性时不变系统在时域中对给定鼓励的响应,第一要建立描述该系统的微分方程（对于连续系统） 或差分方程 （对于离散系统） ,并求出满意给定初始状态的解；这里,解就是系统的响应； LTI连续 / 离散系统的时域分析

2、,可以归结为： 建立并求解线性微分/差分方程； 这也称之为系统时域响应求解的“ 经典法” ；由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 t ,故这一方法称之为 “ 时域分析法”；这种方法比较直观,物理概念清晰,是学习各种变换域分析法的基础；几个重要的概念：由于对“ 线性时不变 LTI 系统” 在时域中进行描述的数学模型就是“ 微分方程 / 连续系统”和“ 差分方程 / 离散系统”,因此这些方程的“ 解”就是系统的 “ 时域响应”,进而又可以依据“ 解的形式” 分解为“ 自由响应”和“ 强制响应”,也可以依据“ 响应产生的缘由” 分解为“ 零输入响应”和“ 零状态响应”；1、自由响应“ 微分方程 /

3、 差分方程” 的“ 齐次通解” 就是系统的“ 自由响应 / 固有响应” ,其只取决于系统本身的特性；也就是说,对于同一个系统,在不同的鼓励作用下,系统“ 自由响应” 的形式是相同的；（但系数仍与“ 激励形式和系统初始状态” 有关）2、强制响应“ 微分方程 / 差分方程”的“ 特解” 就是系统的 “ 强制响应 / 受迫响应” ,其形式由系统的鼓励所打算；3、零输入响应 指鼓励输入为零时,仅由系统的初始状态所产生的系统响应；4、零状态响应 指系统的初始状态为零,仅由鼓励输入所引起的系统响应；5、全响应 系统全响应 = 自由响应 +强制响应 = 零输入响应 +零状态响应2.2. 连续系统的时域分析

4、见书上 P2430,由于该部分内容已在高等数学与电路原理课程中作 过较具体的争论,因此本课程中为“自学内容 ” ；2.3. 离散系统的时域分析 一、差分与差分方程 1、差分 设有序列 fk ,就 , fk+2 ,fk+1 , , fk-1,fk- 2 等称 为fk 的移位序列 ；仿照连续信号的微分运算,如下式所示：定义离散信号的 差分 运算表达式如下：即一阶后向差分定义：fkfkfk1式中, 称为差分算子；本课程主要用后向差分,简称为 差分 ；2、差分方程包含未知序列 yk 及其各阶差分的方程式称为 为移位序列 ,得一般形式差分方程 ；将 差分 绽开即,in0aniykijm b m 0jfk

5、j,其中an1上式称为 n阶（后向形式）差分方程；差分方程本质上是递推的代数方程,如已知初始条件和鼓励,利用迭代法可求得其数值解；这种方法可以称之为差分方程的“ 迭代解法” ,但是采纳这种方法一般不易得到解析形式的解,或称“闭合解 ” ；二、差分方程的建立一般情形下,实际的物理系统都是连续的模拟系统；对于 SISO线形时不变连续系统,描述其的数学模型一般是微分方程形式；但是对于这样的数学模型,通过“差分法 ” 即可以通过微分方程推导出差分方程,从而成为处理离散系统的数学模型；例1: 考虑一个 RC串联电路如下列图,我们第一建立描述这一连续系统的数学模型,由电路运算基本规律：itRCrte t（

6、2.3-1 ）idrt,代入上式并经整理,可得到：dtdrt1r t1e tdtRCRC这是一个一阶微分方程,也就是描述RC串联电路系统输入输出关系的数学模型,这里 e t 为系统输入,r t 为系统输出；下面采纳“ 差分法” 将该微分方程离散化；考虑如将连续变量 t 以步长 T 为间距进行等分, 可得到 t nT s n ,1,0 ,2 ,所以产生了离散变量nT ,从而连续函数 s r t 在 t nT s 各点的取值就构成了离散序列 r nT s ；在 T 足够小的情形下,微分运算就可以表示为：sdr t r n 1 T s r nT s ,将此式代入上面的（2.3-1 ）式,得：dt T

7、 sr n 1 T s r nT s 1 r nT s 1 e nT s T s RC RC整理后可得：r n 1 T s T s 1 r nT s T s e nT s RC RC取 T 为单位时间,即 s T s 1,可得：r n 1 RC 1 1 r n RC 1 e n 令 a 0 1 RC 1,b 0 1 RC,可得：r n 1 a 0 r n b 0 e n 从而得到描述离散系统的一阶线形常系数差分方程；例2: 某人每月向银行存款,当月存入无利息, 月底结算, 月利息为元/ 月；设第 k月存入 fk 元,月底结余为 yk 元, k-1 月底结余为 yk-1元,以 fk 为银行系统的

8、输入,yk 为输出,就 yk 与fk 的关系为：即：y ky k1ky k1kfky k1y 1f此即为描述这一银行结余系统的差分方程；问题：1自由响应与强制响应的区分是什么？2零输入响应与零状态响应的区分是什么？3在时域中对于 LTI系统,“ 输入输出描述” 方式的系统数学 模型是什么？为什么？三、差分方程的经典解 对于形如下式描述的离散系统差分方程：其全响应可由以下两种分解响应构成：完全解 /全响应 = 齐次解 /自由响应 +特解/强制响应yky hkypk完全解 /全响应 = 零输入响应 +零状态响应A、齐次解yhk与特解ykyxkyfkykn 0ypk的求解1、齐次解yhkan1yk1

9、 a 0齐次方程 为：yk具体考察一阶齐次差分方程yka 1yk10k这里a 1yykk1 明显,yk是一个公比为a 的几何级数, 于是, 一阶差分方程的齐次解yhk的一般形式为yhkca 1k对于 n阶齐次差分方程, 齐次解是 n个形如ck的函数组合而成, 将c代入 n阶齐次差分方程,就有特点方程 为：n,an1n1an2n2a00其根ii,1 ,2n称为差分方程的 特点根 ；齐次解的形式取决于特征根,具体情形如下：当特点根为单根时,齐次解yhk的形式为：Ck当特点根为 r 重根时,齐次解yhk的形式为：C r1 kr1Cr2kr2C 1 kC 0k2、特解ypk特解的形式与鼓励的形式相同,

10、 主要分为以下三种形式：ypkPcoskQsink方程两边同时除以2 得：kP2PP1,解得：P14所以得特解 强制响应 ：ypk1 42k2k2,k002故全解为ykyhypk2k2,C 1 kkC2将初始条件代入上式,可得：10C22221y h解得：kC 11 C 1C 22 C 214所以齐次解 自由响应 为：k1 42k因此,系统的全响应为：ykyhkypkk12k2k2,k04总结求解的过程如下：（1）由差分方程得到“ 特点方程” ,求解得到特点根；（2）由特点根得到“ 自由响应”yh k 的一般式（包含待定系数）（3）由鼓励确定“ 强制响应”y p k 的形式（包含待定系数）（4

11、）将 yp k 代入原差分方程, 求得待定系数, 从而求得“ 强制响应”yp k （5）列出全响应表达式 y k y h k y p k （此时仍有 yh k 的待定系数待求出）（6）将初始条件代入上面的全响应表达式,求出yhk的待定系数,最终求得 “ 自由响应”yhk和“ 全响应”y kB、零输入响应yxk与零状态响应y fk的求解依据定义,零输入响应是鼓励为零时（即无鼓励时）,仅由系统的初始条件所产生的响应,因此零输入响应也就是满意初始条件的 齐次方程的解；对于零状态响应,因是在鼓励之下产生的响应,因此应是非齐次方程的解（即包含齐次解和特解两个部分）；设鼓励 fk 在k=0时接入系统 ,通

12、常以 y1, y 2 , ,yn描述系统的 初始状态 , 就对于零状态响应, 必有：y 1 y 2 y 3 y n 0由此“ 零状态响应意义下”初始条件可以确定零状态响应的待定系数；例：如描述某离散系统的差分方程为y kf3yk212yk2 fk10,y212,求系统已知鼓励kk,k0,初始状态y 的零输入响应、零状态响应和全响应；解： 1 先求零输入响应,由差分方程得特点方程如下：2320, 解得：11,222k因此齐次方程的解为：yxkCx11 kCx2将初始状态y10,y212代入上式,可得：0Cx 11 1Cx221,解得：Cx 111Cx 112Cx2222Cx22所以,零输入响应y

13、xk1 k2 2k,k0（2）求零状态响应a、求出特解（强制响应）将y由于fkk2k,k0,所以有ypkP2kpkP2代入原差分方程,得：P2k3P2k12P2k22k方程两边同除以2 可得：kP3P1P1,解得：P120, 可得：223所以,特解 强制响应 为：ypk12k,k0y 2 3b、 零状态响应 应由齐次解和特解两部分组成 yfkCf1 1 kCf22kypkCf11 kCf22k132k代入 “ 零状态响应意义下”的初始条件y 10Cf111Cf22113 21解得：Cf1130Cf12Cf2 2 1/3 22,Cf112故零状态响应为：yfk11k2k12kk033（4）求全响

14、应ykyxkyfk21 k2k12 k,k033总结求解的过程如下：（1）由差分方程得到“ 特点方程” ,求解得到特点根；（2）由特点根得到“ 自由响应”yx k 的一般式（包含待定系数）（3）直接将初始条件 代入 yx k ,求出待定系数,从而直接得到“ 零输入响应”yx k ；（3）由鼓励确定“ 强制响应”y p k 的形式（包含待定系数）（4）将 yp k 代入原差分方程, 求得待定系数, 从而求得“ 强制响应”yp k （5）列出“ 零状态响应表达式 = 齐次解 +特解” 形式（此时有齐次解的待定系数待求出）,即y fk = yxk+ypk（6）将 “ 零状态响应意义下” 的初始条件代

15、入上面的零状态响应表达式,求出待定系数,最终求得“零状态响应”y fk3y4 0作（7）“ 全响应”y k=yxk+y fky 摸索题： 在上面的例题求“ 零状态响应” 时,能否用为“ 零状态响应意义下”的初始条件来求解待定系数；书本上例题要求：P32 例2-6 、例 2-7 、例 2-8 ；P34 例2-9 ；P35 例2-10 2.4. 系统的单位冲击响应与单位样值响应一、单位冲击响应对于线形时不变连续时间系统,由单位冲激函数 t 所引起的 零状态响应（即系统初始状态为零）称为 单位冲激响应 ,简称冲激响应, 用 h t 表示；冲激响应 h t 反映了系统特性, 或称反映了系统的本质特点

16、指连续时间系统 ；直观上懂得,可以认为系统的冲激响应 h t 就表征了 系统本身 ；鼓励 t System 响应 h t 初始状态为零 冲激响应h t具体求解方法, 见教材 P36 37,该部分为“ 自学内容 ” ；二、单位样值响应对于线形时不变离散时间系统,由单位样值函数 k 所引起的 零状态响应（即系统初始状态为零） 称为 单位样值响应 ,简称单位响应, 用 h k 表示；单位样值响应 h k 反映了系统特性, 或称反映了系统的本质特点 指离散时间系统 ；直观上懂得,可以认为系统的单位样值响应 h k 就表征了系统本身 ；鼓励kSystem 响应h k初始状态为零 留意要点： 依据k 的定

17、义,k1k00k0因此,k 作为系统的输入,仅在k0的时刻作用于系统,在k0以后,鼓励作用就已消逝；例1 已知某系统的差分方程为：y k y k 1 2 y k 2 f k 试求该系统的单位样值响应 h k ；解：依据 h k 的定义,当系统初始状态为零时,假如对系统的鼓励输入为k ,就系统的响应就是单位样值响应 h k ；因此有下式成立：h k h k 1 2 h k 2 k （1）考虑到 h k 实质上就是一种零状态响应（只不过输入是 k 信号） ,系统初始状态为零,因此有：h 1 h 2 0（1）递推求初始值 h 0 和 h 1将方程（ 1）移项改写为：h k h k 1 2 h k 2

18、 k 因此有：h 0 h 1 2 h 2 0 0 0 1 1h 1 h 0 2 h 1 1 1 0 0 1至此,在 k 0 时刻,我们已经求出了 h k 在这一时刻的响应 h 0 1；（由于在 k 0 时刻,系统作用有鼓励信号 k ,因此 h 0 必需单独求出）（2）用传统解法求解在 k 0 以后的 h k 对于在k0时,由于这时k0,即此时系统以没有鼓励输入作用,因此方程（ 1）就变为了齐次方程,可以采纳经典解法进行求解,此时的h k也就是齐次差分方程的齐次解；hkhk12 h k2 0其特点方程为：220,解得：11,22因此得齐次解为：hkC 11kC22k,k0将上面求出的初始条件h0 1代入上式并求解,可得：C 113h 1 1C 223因此,hk11 k22k,k033验证上式,当k0时,满意h k1,因此上式可进一步表示为：h k11k22k,k0,或者,hk11k22kk3333至此,我们就求解出了该系统的单位样值响应h k；摸索题： 在本例题中,求解C 和 1C 能否用 2h 0 1和h 10作为初始条件来求解？能否用h1y2 0作为初始条件来求解？总结求解的过程如下：（1）将k 替换原差分方程的fk,将h k替换