2023高中物理步步高大一轮 第十章 专题强化十九　动态圆问题

1、专题强化十九动态圆问题目标要求1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”，找出对应临界状态或极值的轨迹.3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型题型一“平移圆”模型适用条件粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径Req f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为Req f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法例1(多选)如

2、图所示，在、两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角DAC30，边界AC与边界MN平行，区域宽度为d.质量为m、电荷量为q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为eq f(qBd,m)，不计粒子重力，则()A粒子在磁场中运动的半径为eq f(d,2)B粒子在距A点0.5d处射入，不会进入区域C粒子在距A点1.5d处射入，在区域内运动的时间为eq f(m,qB)D能够进入区域的粒子，在区域内运动的最短时间为eq f(m,3qB)答案CD解析带电粒子在磁场中的运动半径req f(mv,qB)d，选项A

3、错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2ddd，粒子在距A点0.5d处射入，会进入区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入区域，在区域内的轨迹为半圆，运动的时间为teq f(T,2)eq f(m,qB)，选项C正确；进入区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60，最短时间为tmineq f(T,6)eq f(m,3qB)，选项D正确题型二“旋转圆”模型适用条件粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为Req

4、 f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共圆如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径Req f(mv0,qB)的圆上界定方法将一半径为Req f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法例2如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B0.30 T磁场内有一块足够大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l32 cm处，有一个点状的粒子放射源S，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是v3.0106 m/s.已知粒子的电荷量与质量之比eq f(q,m)5.0107 C/kg.若只考虑在图

5、纸平面内运动的粒子，则感光板ab上被粒子打中区域的长度是多少？(不计粒子的重力)答案40 cm解析粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨迹半径，有qvBmeq f(v2,R)，由此得R20 cm，由于2RlR，朝不同方向发射的粒子的圆轨迹都过S，可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是粒子能打中的左侧最远点；再考虑N的右侧任何粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点；粒子运动轨迹如图所示根据几何关系可得NP1eq r(R2lR2)16 cmNP2eq r(2R2l2)24 cm所求长度

6、为P1P2NP1NP216 cm24 cm40 cm.题型三“放缩圆”模型适用条件粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法例3(2020全国卷18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， eq oar(ab, s

7、up5()为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径一束质量为m、电荷量为q(q0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率不计粒子之间的相互作用在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为()A.eq f(7m,6qB) B.eq f(5m,4qB) C.eq f(4m,3qB) D.eq f(3m,2qB)答案C解析粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定设轨迹交半圆 eq oar(ab, sup5()于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆的圆心，如图所示圆心角2，当最大时，有最大值，由几何知识分析可知，当ce与

8、 eq oar(ab, sup5()相切时，最大，此时30，可得eq f(4,3)，则teq f(,2)Teq f(4m,3qB)，故选C.例4(2020全国卷18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为()A.eq f(3mv,2ae) B.eq f(mv,ae)C.eq f(3mv,4ae) D.eq f(3mv,5ae)答案C解析磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，

9、设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系得a2r2(3ar)2，根据牛顿第二定律和圆周运动知识得evBmeq f(v2,r)，联立解得Beq f(3mv,4ae)，故选C.题型四“磁聚焦”模型1带电粒子的会聚如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(Rr)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出(会聚)证明：四边形OAOB为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点2带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的

10、正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)例5(多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力关于这些粒子的运动，以下说法正确

11、的是()A对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短B对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长C若粒子速度大小均为veq f(qBR,m)，出射后均可垂直打在MN上D若粒子速度大小均为veq f(qBR,m)，则粒子在磁场中的运动时间一定小于eq f(m,qB)答案ACD解析对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由teq f(,2)Teq f(m,qB)可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误粒子速度大小均为veq f(qBR,m)时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：req f(mv,qB)R，根据几何关系可

12、知，入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180，粒子在磁场中的运动时间：teq f(1,2)Teq f(m,qB)，故选项C、D正确课时精练1.(2017全国卷18)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上不计重力及带电粒

13、子之间的相互作用，则v2v1 为()A.eq r(3)2 B.eq r(2)1C.eq r(3)1 D3eq r(2)答案C解析根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点最远，则当粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1Rcos 60eq f(1,2)R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2Rcos 30eq f(r(3),2)R；根据轨道半径公式req f(mv,qB)可知，v2v1r2r1eq r(3)1，故选项C正确 甲乙2.如图所示，垂直纸面向里的有界

14、匀强磁场的宽度为d，在纸面内，相同的带正电的粒子(不计重力)从左边界的A点以大小相同的初速度，沿各种方向垂直射入磁场，有些粒子从右边界射出磁场，有些粒子从左边界射出磁场已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，且Rd，下列说法中正确的是()A从右边界射出的粒子在磁场中最短的运动时间是eq f(1,4)TB从右边界射出的粒子在磁场中最长的运动时间是eq f(1,4)TC从左边界射出的粒子在磁场中运动时间相同都是eq f(1,2)TD从左边界射出的粒子在磁场中有最长的运动时间是T答案B解析由题意可知Rd，根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，可得从左右两个边界射出的粒子运动轨迹如图所示，

15、粒子在有界磁场中运动时间不大于半个周期，圆心角不大于180，入射点和出射点之间的连线越长即弦长越长、弧长越大、圆心角越大，那么粒子运动时间就越长，反之越短分析运动轨迹图像可知，能从右边界射出的粒子，最短的弦长为R，圆心角最小为60，则最短时间tmineq f(,2)Teq f(T,6)，故A错误；由几何关系可知，能从右边界射出的粒子，最长的弦长为eq r(2)R，圆心角最大为90，则最长的运动时间为tmaxeq f(,2)Teq f(T,4)，故B正确；能从左边界射出的粒子在磁场中做匀速圆周运动，出射位置不同，则运动的时间也不同，故C错误；能从左边界射出的粒子在磁场中做匀速圆周运动，最长的弦长

16、为2R，圆心角最大为180，则最长的运动时间为eq f(T,2)，故D错误3.如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1t2为()A21 B23C32 D.eq r(3)eq r(2)答案C解析画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为RL，从C点射出的粒子运动时间为t1eq f(T,4)；由P点运动到M

17、点所用时间为t2，圆心角为，cos eq f(f(R,2),R)eq f(1,2)，则60，故t2eq f(T,6)，所以eq f(t1,t2)eq f(f(T,4),f(T,6)eq f(3,2)，C正确4(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是()A使粒子的速度veq f(5Bql,4m)C使粒子的速率veq f(Bql,m)D使粒子的速度eq f(Bql,4m)veq f(5Bql,4m)答案AB解析欲

18、使粒子不打在极板上，临界运动轨迹如图所示，带正电的粒子从左边射出磁场时，其在磁场中做圆周运动的半径Req f(l,4)，粒子在磁场中做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，根据qvBmeq f(v2,R)，可得粒子做圆周运动的半径Req f(mv,qB)，若粒子不打到极板上且从左边射出，则eq f(mv,qB)eq f(l,4)，即veq f(5l,4)，即veq f(5qBl,4m)，故欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足veq f(5qBl,4m)，故选A、B.5.如图所示，在直角三角形 abc 区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，a60，b90，边长abL，

19、一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用)()A.eq f(qBL,2m) B.eq f(qBL,3m)C.eq f(r(3)qBL,2m) D.eq f(r(3)qBL,3m)答案D解析由左手定则和题意知，沿ba方向射出的粒子在三角形磁场区域内运动半个圆周时，运动时间最长，速度最大时的轨迹恰与ac相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径：rabtan 30eq f(r(3),3)L，由洛伦兹力提供向心力得qvmBmeq f(vm2,r)，从而求得最大速度：vmeq f(r

20、(3)qBL,3m)，选项A、B、C错误，D正确6(2022四川成都市高三模拟)如图，圆心在O点的半圆形区域ACD(COAD)内存在着方向垂直于区域平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，一带电粒子(不计重力)从圆弧上与AD相距为d的P点，以速度v沿平行于直径AD的方向射入磁场，速度方向偏转60角后从圆弧上C点离开则可知()A粒子带正电B直径AD的长度为4dC粒子在磁场中运动时间为eq f(d,3v)D粒子的比荷为eq f(v,Bd)答案B解析带电粒子在半圆形磁场中向上偏转，由左手定则可判断，粒子带负电，选项A错误；过P点和C点作速度的垂线，交点即为圆心，如图：由几何关系可知，四边形OCOP为菱形

21、，则OP2dPCr，洛伦兹力提供向心力有qvBmeq f(v2,r)，所以req f(mv,qB)，则有eq f(q,m)eq f(v,2Bd)，选项D错误；由几何关系可得直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，选项B正确；粒子在磁场中运动的时间为teq f(T,6)eq f(1,6)eq f(2m,qB)eq f(,3B)eq f(m,q)eq f(,3B)eq f(2Bd,v)eq f(2d,3v)，选项C错误7.(多选)如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m、电荷量为q(q0)、速率为v0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒

22、子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的(其中B0eq f(mv0,qL)，A、C、D选项中曲线均为半径为L的eq f(1,4)圆弧，B选项中曲线为半径为eq f(L,2)的圆)()答案AB8(多选)如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限yL区域存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限发射各个方向的速度为v0eq f(qBL,2m)的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是()A所有粒子在磁场

23、中做匀速圆周运动的半径均为eq f(L,2)B粒子在磁场中运动的最长时间为eq f(m,qB)C所有粒子运动的区域面积为eq f(3,8)L2D所有粒子运动的区域面积为eq f(1L2,4)答案AC解析由洛伦兹力提供向心力有qBv0meq f(v02,r)，代入数据解得req f(L,2)，所以A正确；粒子在磁场中运动的最长时间为tTeq f(2m,qB)，所以B错误；所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积，由几何关系有Seq f(1,2)r2eq f(1,4)(2r)2eq f(3,8)L2，所以C正确，D错误9(多选)如图，一长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)中

24、，磁感应强度为B.O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度v(未知)大小相同已知初速度与eq xto(ON)夹角为60发射的粒子恰好经过N点(不被挡板吸收)，粒子与挡板碰撞则会被吸收，eq xto(ON)eq r(3)a，eq xto(ON)MN，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，则()A粒子在磁场中做圆周运动的半径为eq f(r(3),2)aB挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为aC能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的eq f(1,6)D若调节初速度v大小使挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a，则v的最小值为eq f(qBa,m)答案CD解析粒子恰好

25、经过N点，如图甲中轨迹1，设半径为R，由几何关系可知2Rsin 60eq r(3)a，解得Ra，选项A错误；当轨迹刚好与MN相切时，粒子刚好能打到板上，如图甲中轨迹2，设速度方向与ON夹角为，由几何关系得Rsin Req r(3)a，解得sin eq r(3)1，由此可得Rcos aeq r(1sin2)aeq r(2r(3)3)，所以，挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为aeq r(2r(3)3)，选项B错误；要使粒子打到右侧，则有两个临界条件，如图甲轨迹1、3，初速度方向的夹角为60，则比例为eq f(60,360)eq f(1,6)，选项C正确；由C选项可知使挡板的右侧被击中的竖直长度为a，

26、粒子轨迹如图乙，速度方向与ON夹角为60，由洛伦兹力提供向心力得qvBeq f(mv2,a)，解得veq f(qBa,m)，选项D正确10.如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，abl，Oa0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 370.6，cos 370.8.(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围答案(1)eq f(143m,90qB)(2)eq f(qBl,4m)v0eq f(5qBl,9m)解析(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，有qBv0eq f(mv02,R)，又Teq f(2R,v0)，解得Teq f(2m,Bq)；又由几何关系得74，则粒子在磁场中运动的最长时间teq f(36074,360)Teq f(143m,90qB)(2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v01，轨道半径为R1，由几何关系可得R1R1sin 370.