数学课件：《函数的最大(小)值》函数的概念与性质PPT

1、第2课时函数的最大(小)值一二一、函数的最大(小)值的定义1.(1)如图所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x-1,+)、y=f(x)的图象,这三个函数的图象上有没有最高点?提示:都有最高点,分别为点A、B、C.(2)从点的坐标角度,如何理解函数图象的最高点?提示:图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.一二(3)如图所示,图象上最高点C的坐标为(x0,f(x0),在图象上任取一点A(x,f(x),f(x)与f(x0)有什么关系?提示:点C是图象的最高点,即对定义域内任意x,均有f(x)f(x0)成立.(4)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

2、对xI,都有f(x)M;x0I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.(5)类比函数最大值的定义,请你给出最小值的定义及其几何意义.提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:xI,都有f(x)M;x0I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.一二(6)是否每个函数都有最大值、最小值?如果有最值,取最值的点有几个?举例说明.提示:一个函数不一定有最值,例如y= 在定义域内没有最大值也没有最小值.有的函数可能只有一个最大(或小

3、)值,例如y=-2x+1,x-1,+).如果一个函数存在最值,那么函数的最大值和最小值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个,如y=x2,x-2,2,最大值只有一个为4,而取最大值的x有x=2两个.一二2.做一做已知函数f(x)在-2,2上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.答案:C一二二、函数的单调性与最大(小)值1.(1)若函数y=f(x)在区间a,b上是增函数或减函数,它一定有最值吗?如果有,最值是什么?提示:若函数y=f(x)在区间a,b上是

4、增函数,则函数的最小值为ymin=f(a),最大值为ymax=f(b);若函数y=f(x)在区间a,b上是减函数,则函数的最小值为ymin=f(b),最大值为ymax=f(a).(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上是增(或减)函数,这个函数有最值吗?活动方案:启发学生画一个符合条件的函数草图,注意端点不在区间内,然后回答.提示:不存在最值,但可以说函数y=f(x)在区间(a,b)上的值域为(f(a),f(b)或(f(b),f(a).一二(3)已知函数y=f(x)的定义域是a,b,acb.当xa,c时,f(x)是单调增函数;当xc,b时,f(x)是单调减函数.试证明:f(x)在x=c时取得

5、最大值.提示:因为当xa,c时,f(x)是单调增函数,所以对于任意xa,c,都有f(x)f(c).又因为当xc,b时,f(x)是单调减函数,所以对于任意xc,b,都有f(x)f(c).因此,对于任意xa,b都有f(x)f(c),即f(x)在x=c时取得最大值.2.做一做函数y=x2-4x+1在-2,0上的最大值是,最小值是.解析:函数y=x2-4x+1在-2,0上单调递减,故当x=2时,ymax=13,当x=0时,ymin=1.答案:131探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用函数的图象求函数的最值例1 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.分析:去绝对

6、值分段函数作图识图结论.由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-,2.探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟 探究一探究二探究三思想方法随堂演练(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用函数的单调性求最值例2 已知函数f(x)=x+ .(1)判断f(x)在区间1,2上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间1,2上的最值.分析:(1)证明单调性的流程:取值作差变形判断符号结论;(2)

7、借助最值与单调性的关系,写出最值.探究一探究二探究三思想方法随堂演练x1x2,x1-x20.当1x10,1x1x24,即x1x2-4f(x2),即f(x)在区间1,2上是减函数.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为f(1).f(1)=1+4=5,f(x)的最小值为4,最大值为5.探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟 1.利用单调性求函数最值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系:(1)若函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,则f(x)在区间a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值

8、是f(b).(2)若函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,在区间(b,c上是减(增)函数,则f(x)在区间a,c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间a,b上一定有最值.(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.探究一探究二探究三思想方法随堂演练延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间1,3上的单调性,并求f(x)在区间1,3上的最值.当1x1f(x2),f(x)在区间1,2上为减函数;当2x10,4x1x20,f(x1)400时

9、,f(x)=60 000-100 x是减函数,f(x)60000.当x=300时,f(x)max=25 000.即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值典例 求函数y=x2-2ax-1在区间0,2上的最值.【审题视角】可变对称轴x=a与定区间0,2的相对位置关系结合单调性与图象求解解:y=(x-a)2-1-a2.当a0时,0,2是函数的递增区间,如图.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0a1时,结合函数图象(如图)知,函数在x=a处取得最

10、小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.探究一探究二探究三思想方法随堂演练当12时,0,2是函数的递减区间,如图.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a0时,函数在区间0,2上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0a1时,函数在区间0,2上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当12时,函数在区间0,2上的最小值为3-4a,最大值为-1.探究一探究二探究三思想方法随堂演练方法点睛 1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区

11、间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.探究一探究二探究三思想方法随堂演练2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间m,n上的最值可作如下讨论:探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中xt,t+1,tR)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:图当t+11,即t0时,如图所示,此时函数f(x)在t,t+1上为减函数,g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.探究一探究二探究三思想方法随堂演练如图所示,此时,函数f(x)在t,1上为减函数,在(1,t+1上为增函数,g(t)=f(1)=1.当t1时,如图所示,此时,函数f(x)在t,t+1上为增函数,g(t)=f(t)=t2-2t+2.探究一探究二探究三思想方法随堂演练答案:A 2.函数y=|x+1|+2的最小值是()A.0B.-1C.2D.3解析:y=|x+1|+2的图象如图所示.由图可知函数的最小值为2.答案:C探究一探究二探究三思想方法随堂演练3.函数y=x2-2x,x0,3的值域为()A