《计算机数学基础》第5章定积分几何应用课件

1、5.1 定积分的微元法5.2 定积分求平面图形的面5.3 定积分求空间立体的体积第5章 定积分的几何应用结束第1页，共18页。1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间a,b,此方法称为微元法或积分元素法.在区间上任取一小区间,并记为 .5.1 定积分的微元法对定积分问题,所求量 的积分表达式,可如下确定: 2.找出 在a,b上任意小区间x,x+dx上部分量A的近似值 , 3.在a,b上求dA的定积分即得A的积分表达式第2页，共18页。 设函数 在区间 上连续, ,求由曲线 及直线 所围成的图形的面积.1. 直角坐标下平面图形的面积5.2 用定积分求平面图形的面积第3页，共18页。(2) 以

2、 为被积表达式,在区间 作定积分 ,这就是所求图形的面积. (1) 在区间 上任取小区间 ,设此小区间上的面积为 ,它近似于高为 ,底为 的小矩形面积,从而得面积微元为分析 在这个公式中，无论曲线 在x 轴的上方或下方都成立，只要 在曲线 的下方即可。第4页，共18页。 第5页，共18页。例1 求由曲线 所围成的图形的面积A。解 两曲线的交点为（0,0）,（1,1）,于是积分区间为0,1面积微元所求面积为第6页，共18页。面积为 ,则近似于高为dy,底同理，设函数 在区间 上连续，为 的小矩形面积, 在区间 上任取小区间 ,设此小区间上的求由曲线 及直线 所围成的图形的面积.于是所求面积为从而

3、得面积微元为第7页，共18页。解 由 解得交点A(2,-1),B(8,2)例2 求抛物线 与直线 所围成的图形的面积. A(2,-1),B(8,2)取y为积分变量,于是,所求面积为:第8页，共18页。且 求此曲线与射线 所围成的曲边扇形的面积.2.极坐标下平面图形的面积 设曲线的极坐标方程 在 上连续, 在区间 上任取一小区间 ,设此小区间上曲边扇形的面积为 ,则 近似于半径为 ,中心角为 的扇形面积,从而可得面积为从而得到面积微元为第9页，共18页。例3 求心形线 所围成的面积. 解 当 从0变到 时,得 的图形为上半部分,心形线所围图形的面积A为极轴上方部分的两倍,即第10页，共18页。

4、例4 计算阿基米德螺线 上对应于 从0变到 的一段曲线与极轴所围成图形的面积.解 面积微元为于是,所求面积为第11页，共18页。5.3 用定积分求旋转体的体积5.3.1 平行截面面积已知的立体体积设有一立体价于过点 且垂直于 轴的两平面之间,求此立体的体积.如图,介于 与 之间的薄片的体积近似等于底面积为A(x),高为dx的扁柱体的体积,即体积微元为A(x)即对截面积A(x)从a到b求积分!于是所求体积为第12页，共18页。第13页，共18页。5.3.2 旋转体体积 设 , 及y=0所围图形绕x轴旋转,求所得旋转体的体积. 选取 为积分变量,其变化区间为 ,过点x做垂直于x 轴的平面,截得旋转体截面是半径为 的圆,其截面积为从而所求旋转体体积为第14页，共18页。例4 计算由椭圆 绕x轴旋转一周所成的旋转体(旋转椭球体)的体积.解第15页，共18页。第16页，共18页。例5解第17页，共1