【数学】反证法北师大版选修课件

1、1第一章 推理与证明 1.3 反证法第1页，共17页。2综合法特点：由因导果由已知结论分析法特点：执果索因即：由结果找条件倒推复习第2页，共17页。3思考？ A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？假设C没有撒谎, 则C真;由A假, 知B真. 那么假设“C没有撒谎”不成立;则C必定是在撒谎.那么A假且B假;这与B假矛盾.推出矛盾.推翻假设.原命题成立.分析:由假设第3页，共17页。4 反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理,得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法反证法的基本步骤：四步得出矛盾的方法：（1）与已知条

2、件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。第4页，共17页。5应用反证法的情形：(1)直接证明比较困难; (2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少;（3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样（4）结论为 “唯一”之类的命题；第5页，共17页。6例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则，即是奇数。所以，2不能整除。这与”相矛盾。于是，“2不能整除a”已知“2能整除这个假设错误，故2能整除a.第6页，共17页。7例2、在同一平面内，两条直线a，b都

3、和直线c垂直。求证：a与b平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则。这样的内角和 这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。第7页，共17页。8解题反思：证明以上题时，你是怎么想到反证法的？反设时应注意什么？反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？第8页，共17页。9例3、 已知a0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。第9页，共17页。10 例4、 求证： 是无理数。解题反思：本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？第10页，共17页。例5

4、: 已知直线 和平面 ,如果 且 ,求证: .ab因为 ，所以 .证明：因为ab，所以经过直线 确定一个平面 .证明：因为ab 直线 确定一个平面 . 下面用反证法证明直线 与平面 没有公共点.假设直线 与平面 有公共点P,则 ,即点P是直线a与b的公共点,这与 矛盾,所以 .因为 ,而 所以 与 是两个不同的平面.P综合法反证法第11页，共17页。感受反证法: 练习1.求证： 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等这与已知条件ABAC相矛盾，假设错误。求证：B C尝试解决问题已知：在ABC中，ABAC。证明：假设B = C。所以AB=AC（等角对等边）所以B C。第12页，共

5、17页。 练习2.已知：如图ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上 求证：CD、BE不能互相平分 （平行四边形对边平行）证明：假设CD、BE互相平分 连结DE，故四边形BCED是平行四边形BDCE这与BD、CE交于点A矛盾假设错误， CD、BE不能互相平分第13页，共17页。14归纳总结：1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或 含有“至多”、“至少”等不确定词， 此外，“存在性”、“唯一性”问题.第14页，共17页。152.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形.第15页，共17页。原词语 否定词 原词语 否定词 等于任意的是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x,成立对任意x，不成立3.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定