概率论和数理统计最新完整版

1、关于概率论与数理统计最新完整版第一张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月1.1 随机事件及其概率的统计定义一、概率论的诞生及应用1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望。 概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律. 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 另外在经济、金融、保险；管理决策；生物

2、医药；农业（试验设计等）等领域都有广泛应用.第二张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象. “太阳不会从西边升起”,1.确定性现象 “可导必连续”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象 二、随机现象 确定性现象的特征: 条件完全决定结果第三张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.2. 随机现象 结果有可能出现正面也可能出现反面.第四张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月结果有可能为:“1”

3、, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”. 实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”. 实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.结果: “弹落点会各不相同”.第五张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月实例4 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为: 正品 、次品.实例5 “过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可短.随机现象的特征:条件不能完全决定结果第六张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或

4、观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题 什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.第七张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月 1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.三、随机试验第八张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月说明 1.

5、随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.实例 “抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况”.分析 2. 随机试验通常用 E 来表示.(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;第九张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.2.“从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验(2) 试验的所有可能结果:正面，反面;(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.第十张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月3

6、. 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人 数.4. 考察某地区 10 月份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取一只,测试其寿命. 第十一张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月四、概率的统计定义、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次，A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态比如投硬币实验，频率将稳定在1/2附近、统计概率：将事件A的频率的稳定值p作为事件A出现的可能性的度量，即P(A)

7、=p为事件A的统计概率统计概率的缺点：（）需要大量的重复试验（）得到的是概率的近似值第十二张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月1.2 样本空间定义1 对于随机试验E，它的每一个可能结果称为样本点，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的集合称为E 的样本空间或必然事件，用或S表示 我们规定不含任何元素的空集为不可能件，用 表示。P()=1,P()=0第十三张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月例、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还是反面，则样本空间为：=正面，反面或1,2例、设试验为从装有三个白球（记为，号）与两个黑球（记为，号）的袋中任取两个球（）观察取出的两个

8、球的颜色，则样本空间为： =00, 11, 0100表示“取出两个白球”，11表示“取出两个黑球”，01表示“取出一个白球与一个黑球”第十四张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月（）观察取出的两个球的号码，则样本空间为： =12, 13, 14, 15, 23, 24,25, 34, 35, 45 ij表示“取出第i号与第j号球”注：试验的样本空间是根据试验的内容确定的！第十五张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月随机事件 随机试验 E 的样本空间 的子集(或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件, 简称事件.试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, ,“出现6点”,“点数

9、不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件. 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.第十六张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月 例3 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 事件A出现偶数, 事件B出现奇数 基本事件 解：用 表示掷骰子出现的点数为 第十七张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月 小结随机现象的特征:1条件不能完全决定结果.2. 随机现象是通过随机试验来研究的. (1) 可以在相同的条件下重复地进行;(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果;(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.随机试验 3. 随机试验、

10、样本空间与随机事件的关系第十八张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件第十九张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月 1. 包含关系若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,则称事件 B 包含事件 A,记作实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”.图示 B 包含 A.BA1.3 事件的关系及运算一.随机事件间的关系第二十张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月若事件A

11、包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.2. 事件的和(并)实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件 A 与 B 的并. BA第二十一张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月3. 事件的交 (积)推广第二十二张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月图示事件A与B 的积事件.ABAB实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.第二十三张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月和事件与

12、积事件的运算性质第二十四张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.4. 事件的互不相容 (互斥) 若事件 A 、B 满足则称事件 A与B互不相容.第二十五张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月“骰子出现1点” “骰子出现2点”图示 A与B互斥AB互斥实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.第二十六张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月5. 事件的差图示 A 与 B 的差ABB实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合

13、格” 与“直径合格”的差.A事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B(或 )第二十七张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月 若事件 A 、B 满足则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点”图示 A 与 B 的对立.BA6. 事件的互逆（对立）对立第二十八张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月 若事件 A 、B 满足则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点”图示 A 与 B 的对立.BA6. 事件的互逆（对立）对立第二十九张，PPT共一百四

14、十二页，创作于2022年6月二.事件间的运算规律第三十张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月三 完备事件组第三十一张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C 表示出来.(1) A 出现 , B, C 不出现;(5) 三个事件都不出现;(2) A, B都出现, C 不出现;(3) 三个事件都出现;(4) 三个事件至少有一个出现;第三十二张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月解(6) 不多于一个事件出现;第三十三张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月逆分配律第三十四张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6

15、月概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间,必然事件不可能事件基本事件随机事件A的对立事件A出现必然导致B出现事件A与事件B相等空间(全集)空集元素子集A的补集A是B的子集A集合与B集合相等四、小结第三十五张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月事件A与事件B的差A与B两集合的差集事件A与B互不相容A与B 两集合中没有相同的元素事件A与事件B的和A集合与B集合的并集 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集第三十六张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月一.古典概型1.4 概率的古典定义、定义如果一个随机试验E具有以下特征 （1）、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；（

16、 2）、每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。第三十七张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月 设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事件 A 出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义. 第三十八张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月3. 古典概型的基本模型:摸球模型(1) 无放回地摸球问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?样本点总数为A 所包含的样本点个数为解设A=所取球恰好含m个白球,n个黑球

17、第三十九张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月(2) 有放回地摸球问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球的概率.解第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球第四十张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月样本点总数为A 所包含样本点的个数为第四十一张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量不限制问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可放任意多个球. 4个

18、球放到3个杯子的所有放法第四十二张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为第四十三张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月(2) 每个杯子只能放一个球问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为第四十四张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月解5、典型例题第四十五张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有于是所求的概率为解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有第四十六张，PPT共一百四十二页，创

19、作于2022年6月例 3（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在 间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)某指定 间房中各有一人 ;(2)恰有 间房，其中各有一人； (3) 某指定一间房中恰有 人。 解 先求样本空间中所含样本点的个数。 首先，把 n 个人分到N间房中去共有 种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。第四十七张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月(b)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为 (a)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为 ：(c)某指定一间房中恰有m人，可能的分法为 进而我们可以得到三种情形下事件的

20、概率，其分别为 :（2） （3） (1)第四十八张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月 把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法 几何方法. 概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了.二、几何概型第四十九张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月定义1第五十张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月定义2 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为说明

21、当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.第五十一张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月 那末 两人会面的充要条件为例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( t1P(A+B) )第一百一十二张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立,进而= 0.8第一百一十三张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月1. 三事件两两相互独立的概念(二) 多个事件的独立性定义第一百一十四张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月2. 三事

22、件相互独立的概念定义第一百一十五张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月 设 A1，A2 ， ，An为n 个事件，若对于任意k(1kn), 及 1i 1 i 2 i kn 3. n 个事件的独立性定义若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件相互独立，即对于一切 1 i j n, 有定义第一百一十六张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月注. 第一百一十七张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月两个结论第一百一十八张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月n 个独立事件和的概率公式:设事件 相互独立,则 也相互独立即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立

23、事件概率的乘积.结论的应用第一百一十九张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月则“ 至少有一个发生”的概率为 P(A1An) =1- (1-p1 ) (1-pn )若设n个独立事件发生的概率分别为类似可以得出：至少有一个不发生”的概率为“=1- p1 pn 第一百二十张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月事件的独立性在可靠性理论中的应用：一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常工作的概率.第一百二十一张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月1.10 独立试验序列1. 定义 (独立试验序列) 设Ei (i=1,2,)是一列随机试验,Ei的

24、样本空间为i ,设Ak 是Ek 中的任一事件,Ak k , 若Ak出现的概率都不依赖于其它各次试验Ei (ik)的结果, 则称Ei 是相互独立的随机试验序列,简称独立试验序列.第一百二十二张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为贝努里概型.若n 次重复试验具有下列特点：2. n 重贝努利(Bernoulli)试验1) 每次试验的可能结果只有两个A 或2) 各次试验的结果相互独立，( 在各次试验中p是常数，保持不变）第一百二十三张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将 硬币抛 n 次,就是n重伯努利

25、试验.实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就是 n重伯努利试验.第一百二十四张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月一般地，对于贝努里概型，有如下公式：定理如果在贝努里试验中，事件A出现的概率为p (0p1), 则在n次试验中，A恰好出现 k 次的概率为：3. 二项概率公式第一百二十五张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月推导如下：第一百二十六张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月且两两互不相容.称上式为二项分布. 记为第一百二十七张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月经计算得解第一百二十八张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月例2解第一百二十九张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月三、内容小结第一百三十张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月4 二项分布 5 几何分布第一百三十一张，PPT共一百四十二页，创作于2022年6月备用题伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体, 其第一面