高中数学选修第一册：2.3.2 分层演练 综合提升

1、A级基础巩固1.已知ABC的顶点分别为A(7,8),B(10,4),C(2,-4),则BC边上的中线AM的长为 ()A.8 B.13 C.215 D.65解析:由B(10,4),C(2,-4),得中点M的坐标为(6,0).因为点A的坐标为(7,8),所以|AM|=(6-7)2+(0-8)2=65.答案:D2.已知ABC的顶点分别为A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则ABC的周长是 ()A.23 B.3+23 C.6+32 D.6+10解析:由两点间距离公式,得|AB|=(2+1)2+32=32,|BC|=(2+1)2+02=3,|AC|=(2-2)2+32=3,所以ABC的周长为6+

2、32.答案:C3.已知两点A(-3,4)和B(0,b),且|AB|=5,则b等于()A.0或8 B.0或-8 C.0或6 D.0或-6解析:由两点间距离公式,得|AB|=32+(b-4)2=5,解得b=0或b=8.答案:A4.已知两点A(5,2a-1),B(a+1, a-4),当|AB|取最小值时,a= 12 .解析:由两点间距离公式,得|AB|=(5-a-1)2+(2a-1-a+4)2=(a-4)2+(a+3)2=a2-8a+16+a2+6a+9=2a2-2a+25=2a-122+492,所以当a=12时,|AB|取最小值.5.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|A

3、B|等于25.解析:设A(x,0),B(0,y).因为AB的中点是P(2,-1),所以x2=2,y2=-1,所以x=4,y=-2,即A(4,0),B(0,-2),所以|AB|=42+22=25.6.已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).(1)判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由;(2)求ACD的面积.解:(1)不能.理由:因为kAB=0-(-4)2-0=2,kBC=4-04-2=2,所以kAB=kBC,所以A,B,C三点共线,所以A,B,C,D四点不能围成四边形.(2)因为kCD=4-14-(-5)=13,所以直线CD的方程为y-4=13(x-4),即y

4、=13x+83.令x=0,得y=83,即直线CD与y轴的交点为E0,83,所以|AE|=203,所以SACD=12|AE|xC-xD|=122034-(-5)=30.B级拓展提高7.已知点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动.当|AB|最小时,点B的坐标是()A.(-1,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(-2,1)解析:因为点B在直线x+y+1=0上运动,所以设点B的坐标为(x,-x-1).由两点间距离公式可知|AB|=(x-0)2+(-x-1-1)2=2x2+4x+4=2(x+1)2+2,显然,当x=-1时, |AB|有最小值,此时点B的坐标是(-1,0).答案:B8.

5、已知两点P(cos ,sin ),Q(cos ,sin ),则|PQ|的最大值为 ()A.2 B.2 C.4 D.22解析:因为P(cos ,sin ),Q(cos ,sin ),所以|PQ|=(cos-cos)2+(sin-sin)2=cos 2+cos 2-2coscos+sin 2+sin 2-2sinsin=2-2(coscos+sinsin)=2-2cos(-).因为cos(-)-1,1,所以|PQ|0,2,即|PQ|的最大值为2.答案:B9.函数y=x2-2x+10+x2+1的最小值为17.解析:因为y=x2-2x+10+x2+1=(x-1)2+(0+3)2+(x-0)2+(0-1

6、)2,它表示x轴上的点(x,0)与点(1,-3)以及点(0,1)距离之和的最小值,所以(1,-3)与(0,1)之间的距离即为所求最小值,最小值为(0-1)2+(1+3)2=17.10.求证:等腰梯形的对角线相等.证明:如图,在等腰梯形ABCD中,以AB边所在直线为x轴,以AB边的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.设A(-a,0),D(b,c),由等腰梯形的性质知B(a,0),C(-b,c).所以|AC|=(-b+a)2+(c-0)2 =(a-b)2+c2,|BD|=(b-a)2+(c-0)2=(a-b)2+c2,所以|AC|=|BD|,即等腰梯形的对角线相等.11.已知点A(-3,4),B(

7、2,3),在x轴上找一点P,使得|PA|=|PB|,并求出|PA|的值.解:设P(x,0),则|PA|=(-3-x)2+(4-0)2=x2+6x+25,|PB|=(x-2)2+(0-3)2=x2-4x+7.因为|PA|=|PB|,所以x2+6x+25=x2-4x+7,解得x=-95,所以P-95,0,所以|PA|=-3-952+(4-0)2=21095. C级挑战创新12.多选题在等腰直角三角形ABC中,C=90,若点A,C的坐标分别为(0,4),(3,3),则点B的坐标可能是()A.(2,0) B.(6,4) C.(4,6) D.(0,2)解析:设B(x,y),则y-3x-34-30-3=-

8、1,(x-3)2+(y-3)2=(0-3)2+(4-3)2,解得x=2,y=0或x=4,y=6.故点B的坐标是(2,0)或(4,6).答案:AC13.多空题已知M(-1,3),N(2,1),点P在x轴上,且使|PM|+|PN|取得最小值,则最小值为5,此时点P的坐标为54,0.解析:易知点M(-1,3)关于x轴的对称点是A(-1,-3).因为|PM|+|PN|=|PA|+|PN|AN|=32+42=5,当且仅当A,P,N三点共线时等号成立,所以|PM|+|PN|的最小值为5.因为kAN=-3-1-1-2=43,所以直线AN的方程为y-(-3)=43x-(-1),即4x-3y-5=0.令y=0,得x=54,所以点P的坐标为54,0.14.多空题已知直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),则直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B为-1,25,且|AB|=135