2021-2022学年河南省三门峡市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年河南省三门峡市高一下学期期末数学试题一、单选题1下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B一条直线和一个点确定一个平面C两条直线确定一个平面D梯形可确定一个平面D【分析】利用直线和平面的位置关系判断各个选项即得解.【详解】解：A. 由于在一条直线上的三点不能确定一个平面，所以该选项错误；B. 一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面，所以该选项错误；C. 两条异面直线不能确定一个平面，所以该选项错误；D. 梯形可确定一个平面，所以该选项正确.故选：D2若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为（）ABCDC【分析】先求出，再由复数的除法运算求得，再求的虚部即可.【详解】由题

2、意得，则，则复数的虚部为.故选：C.3若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）ABCDD【分析】由单位向量的概念、向量相等、共线向量及向量的数量积依次判断即可.【详解】若，都是单位向量，则，D正确；不确定，的方向，则A、C错误；设，之间的夹角为，不确定，则B错误.故选：D.4某小区约有3000人，需对小区居民身体状况进行分层抽样调查，样本中有幼龄12人，青壮龄34人，老龄14人，则该小区老龄人数的估计值为（）A750B1700C600D700D【分析】由题知样本容量为人，进而得抽样比为，再根据抽样比计算该小区老龄人数的估计值即可.【详解】解：根据题意，样本容量为人，所以样本抽样比为，所以该

3、小区老龄人数约为人.故选：D5以下命题（其中，表示直线，表示平面）中，正确的命题是A若，则B若，则C若，则D若，则C根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，直线可能含于平面，所以A选项错误.对于B选项，可能异面，所以B选项错误.对于C选项，由于，所以，所以C选项正确.对于D选项，可能异面，所以D选项错误.故选：C本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.6一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为（）ABCDC【分析】计算出

4、两个正方体朝上的面颜色相同的概率，结合对立事件的概率公式可求得结果.【详解】记第一个正方体红色的面记为，绿色的面为、，黄色的面为、，第二个正方体红色的面为、，绿色的面为、，黄色的面为、，同时掷这两个正方体，两个正方体面朝上的不同结果种数为，其中，事件“两个正方体朝上的面颜色相同”所包含的基本事件有：、，因此，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为.故选：C.7沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高

5、度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）ABCDA细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则答案可求.【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，细沙的体积为.细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为，则，得.故选：A.此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题8如图所示，中，是的中

6、点，则（）ABCDB【分析】计算出的值，将、用基底、加以表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】由平面向量数量积的定义可得，因为，则，故，因此，.故选：B.二、多选题9已知i为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（）A复数的模为B复数的共轭复数为C复数为纯虚数D复数在复平面内对应的点在第二象限AC【分析】先由复数的除法运算求得，再由复数的模、共轭复数、纯虚数，及复数对应点所在象限依次判断即可.【详解】，则复数的模为，A正确；复数的共轭复数为，B错误；，则复数为纯虚数，C正确；复数在复平面内对应的点为，在第四象限，D错误.故选：AC.10袋中装有质地均匀的红、白色球各一个，每次取

7、一个，有放回地抽取两次，设事件 “第一次取到红球”，事件 “第二次取到红球”，下列说法正确的是（）A与为对立事件BC与相互独立D与为互斥事件BCD【分析】由对立事件、互斥事件、独立事件及古典概率依次判断即可.【详解】对于A，事件 “第二次取到白球”，显然与可以同时发生，则与不是对立事件，A错误；对于B，则，B正确；对于C，由于是有放回地抽取两次，显然第一次取到的球和第二次取到的球相互独立，即与相互独立，C正确；对于D， “第一次取到红球，第二次取到红球”； “第一次取到白球，第二次取到白球”，显然不能同时发生，为互斥事件，D正确.故选：BCD.11如图在三棱柱中， 底面，点是上的动点，则下列结

8、论正确的是（）AB当D为的中点时，平面平面C当为中点时，平面D三棱锥的体积是定值ACD【分析】证明平面，得线线垂直，判断A，利用面面垂直的性质判断B，构造面面平行得到线面平行判断C，用换顶点的方法确定棱锥的体积判断D【详解】底面，底面，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，A正确；在底面内过作于，由上同理可得，而，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，若，则不重合，显然直棱柱中不可能与平面垂直，若平面平面，则与过有且只有一个平面与平面垂直矛盾，B错误；若是中点，取的中点，连接，由与平行且相等，与平行且相等得与平行且相等，是平行四边形，平面，平面，所以平面，由与平行且相等，得是平行四

9、边形，同理平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，C正确；，到平面的距离不变，的面积不变，因此三棱锥体积不变，D正确故选：ACD 12在中，内角所对的边分别为，则下列说法中正确的是（）AB若，则为等腰三角形C若，则D若，则为锐角三角形AD【分析】由余弦定理判断A，利用正弦定理和正弦函数性质判断B，由正弦定理，切化弦及正弦函数性质判断C，由余弦定理判断D【详解】由余弦定理，A正确；，由正弦定理得，是三角形内角，所以或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；由得，同上得或，C错；若，所以，因此，所以，即，所以为锐角，显然边最大，角最大，所以为锐角三角形，D正确故选：AD三、填空题13

10、某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，根据此图，估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为_小时【分析】利用频率分布图，结合百分位数的定义求解即可【详解】由频率分布直方图可知，高中学生每天的平均学习时间的60%分位数在第3组，设其为小时，则，解得，所以该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数约为小时，故14甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取五局三胜制（当一人赢得三场胜利时获胜，比赛结束）根据他们以往交手成绩，甲胜的概率为0.6，若各局比赛结果相互独立，则甲

11、以获胜的概率是_0.2592【分析】由独立重复实验的概率公式求解即可.【详解】甲以获胜，则第四局甲胜，前三局甲胜2局，则甲以获胜的概率是.故0.2592.15三棱锥中，平面ABC，D是BC的中点，PD与AC所成角的正切值为_【分析】取中点，连接，则PD与AC所成角为，再根据线面垂直的性质与判定得到，再根据直角三角形中的线段关系求得即可【详解】如图，取中点，连接.由中位线的性质可得，又平面ABC，平面ABC，故，又，平面，则平面，故平面，且PD与AC所成角为.又，故.故16已知的内角，所对的边分别是，设向量，若，则的面积的最大值为_【分析】利用两向量平行的充要条件求出三角形的边与角的关系，利用正

12、弦定理将角化为边，再利用余弦定理求出B的余弦，求出角B，再由不等式及面积公式可求出最值【详解】向量，若，由正弦定理知：，即，由余弦定理知：，cosB，B（0，），B又，所以，解得，当且仅当时等号成立，,所以的面积的最大值为.故四、解答题17复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限(1)求复数；(2)复数，所对应的向量为，已知，求的值(1)；(2)【分析】（1）设出复数，由复数的模长、复数的乘法及纯虚数的概念得出方程组，求解即可；（2）先写出复数，得到向量，再写出，由向量垂直的坐标公式求解即可.【详解】(1)设，因为复数在复平面内所对应的点在第一象限，所以，又，则，为纯虚数，则，

13、由可得，则；(2)由（1）得，则，则，由可得，即，解得.18某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”，得到如下的频数分布表：周跑量周)人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数(保留一位小数)；（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格(单位：元)250040004500根据以上数据，估计该市每

14、位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？（1）作图见解析；（2）29.2；（3）3720元.【分析】（1）利用频数分布表中的数据补全频率分布直方图；（2）由频率分布直方图可得前3组的频率和小于，而前4组的频率和大于，所以中位数在第4组，若设中位数为，则，解方程组可求得中位数；（3）由频率分布直方图求出休闲跑者、核心跑者和精英跑者的频率，再用频率乘以1000人，可得各自对应的人数，然后利用加权平均数公式求解平均需要花费的钱数【详解】解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图得的频率为，的频率为，设样本的中位数为，则，解得.样本的中位数约为29.2.

15、（3）依题意知休闲跑者共有：人，核心跑者共有：人，精英跑者共有：人，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：(元.19的内角、的对边分别为、，若.(1)求的值；(2)若，求的周长(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简可得的值；（2）利用平面向量数量积的定义可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【详解】(1)解：由及正弦定理可得，即，则，所以，.(2)解：由平面向量数量积的定义可得，则，由余弦定理可得，所以，因此，的周长为.20如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点分别是棱上的点，点是线段上一点，.(1)若为的中点，证明：平面；(2)若，求.(1)证明见解析；(2)1

16、.【分析】（1）取中点，连接，易证为平行四边形，则有，根据线面平行的判定证明结论.（2）连接，由得，根据得到的数量关系，进而可得的数量关系，即可求.【详解】(1)取中点，连接，所以且，又且，则且，所以四边形为平行四边形，从而.又平面平面，所以平面.(2)连接，由，则，又，所以，故可得.21甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M，在点M处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N，在点N处投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙两人在M点投中的概率都为p，在N点投中的概率都为q.且在M，N两点处投中与否互不影响.设定甲、乙两人先在M处各投篮一次，然后在N处各投篮

17、一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.（1）求p，q的值；（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.（1），；（2）.【分析】（1）设，分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件，由题意结合在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，由求解. （2）由题意知：，设“星队”在一次比赛的总得分为5分”，则，然后利用独立事件和互斥事件的概率公式求解.【详解】（1）设，分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件.因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，所以.解得，.（2）由已知得，设“星队”在一次比赛的总得分为5分”，则，则，所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是.本题主要考查独立事件和互斥事件的概率，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.22如图梯形中，且，将梯形沿折叠得到图，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于（1）证明:是的中点；（2）证明:平面；（3）是上一点，已知二面角为