【百强校】河北衡水中学高三上学期第二次调研数学（理）试卷（带解析）

1、【百强校】2017届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学（理）试卷（带解析）1是的共轭复数，若为虚数单位），则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：设，依题意有，故.考点：复数概念及运算【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数

2、中的运算问题.2已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：投影为.考点：向量概念及运算3在我国古代著名的数学专著九章算术里有段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A日 B日 C日 D日【答案】D【解析】试题分析：设日相逢，解得.考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和4已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：依题意，故.考点：不等式5动点满足，点为为原点，则的最大值是（ ）

3、A B C D【答案】D【解析】试题分析：依题意，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点取得最大值为.考点：向量，线性规划6如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）A BC D【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，这是一个四棱锥，如下图所示，根据这几个数据，即可得出选项C.另外，故.考点：三视图7已知函数是奇函数，其中,则函数的图象（ ）A关于点对称B可由函数的图象向右平移个单位得到C可由函数的图象向左平移个单位得到D可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】C【解析】试题分析：依题意有，故，故由向左移个单位得到.考点：三角函数图象变换8中，若，则（ ）A BC是直角三角形

4、D或【答案】D【解析】试题分析：由三角形内角和定理，得，化简得，所以是直角三角形或者.考点：解三角形9已知数列满足，若，且数列是单调递增数列，則实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：取倒数，得，故，故，.考点：数列与不等式10如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方形边长为，由此，故，解得.考点：向量运算11已知函数，在处取得极大值，记,程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框中可以填人的关于的判断条件是（ ）A？ B？ C？ D？【答案】B【解析】试题分析：，程序框图的作用是求其前项和，由

5、于，故再循环一次就满足，故填.考点：算法与程序框图【思路点晴】本题考查裂项相消法，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT （其中 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 是各项不为零的等差数列， SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.12已知满足，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：令，则排除A，C，令，故选B.考点：数列求和【思路点晴】本题可用特殊值

6、法迅速得到答案.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的若 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，其中 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 是等差数列， SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 是公比为 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 等比数列，令 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT ，则 SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT SKIPIF 1 0 * MERGEFORMAT 两式错位相减并整理即得.

7、评卷人得分一、填空题（题型注释）13数列满足：，且对任意的都有：，则 【答案】【解析】试题分析：令，令，故. 考点：数列的基本概念，合情推理与演绎推理14在中，则的值为 【答案】【解析】试题分析：如图所示，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，故.考点：向量运算15在中,角、所对的边分别为、，且，则面积的最大值为 【答案】【解析】试题分析：，外接圆直径为，由图可知，当在，则由相交弦定理有，解得，故最大面积为.考点：解三角形【思路点晴】我们结合图像，很容易知道这就是.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.16已知方程有个不同的

8、实数根，則实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：定义域为，令，这是一个偶函数，我们只需研究上的零点即可，此时，当时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当时，函数在区间上单调增，在区间上单调减，要有两个零点，只需，解得.考点：函数图象与性质，零点问题【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，函数图象与性质，函数的奇偶性，函数的单调性，数形结合的数学思想方法，分类讨论的数学思想方法.此类题目有两种方法，一种是分离参数，但是本题分离参数法处理起来很麻烦，可以直接讨论，也就是先根据奇偶性，简化题目，然后根据导数画出函数的草图，讨论之后可得到的范围.评卷人得分二、解答题（题型注释）17在中,角

9、、所对的边分别为、,且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理，可化简已知条件得，由此求得；（2）用诱导公式和降次公式，化简条件得，由于，故，由此求得，进而求得取值范围得.试题解析：（1）由正弦定理可得，,从而可得,又为三角形的内角, 所以,于是,又为三角形的内角, 因此.（2）,由可知,从而,因此,故的取值范围为.考点：解三角形18设数列的前和为，.（1）求证：数列为等差数列, 并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数,使得？若存在,求出的值; 若不存在, 请说明理由；（3）设,若不等式,对恒成立, 求的最大值.【答案】（1）证

10、明见解析，；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）利用，求得，这是等差数列，故；（2），这是等差数列，前向和为，故；（3），利用裂项求和法求得，解得，故.试题解析：（1）由,得,相减得.故数列是以为首项,以公差的等差数列.（2）由（1）知,由,得,即存在满足条件的自然数.（3）,即单调递增, 故要使恒成立, 只需成立, 即.故符合条件的最大值为. 考点：数列的基本概念，数列求和，不等式19如图, 以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴交于点,点在单位圆上, 且.（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形.当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程；设,点,且,求关于的函数的解析式, 并求其单调增区间.【答

11、案】（1）；（2）；，增区间为和.【解析】试题分析：（1）由三角函数定义得，由齐次方程可计算的结果为；（2）设中点为,则,又,代入上式得点的轨迹方程；依题意得，又由知，代入正弦的单调区间，求得增区间为和.试题解析：（1）由三角函数定义得,所以.（2）四边形是平行四边形, 所以与互相平分.设中点为,则,又,代入上式得点的轨迹方程.依题意得,又由知,或的增区间为和.考点：解三角形，轨迹方程，参数方程，三角恒等变换20已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）已知,当时, 有两个扱值点,且,求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知可得在上恒成立,分离参数得

12、，求右边函数的最大值为，故；（2），求导得，写出根与系数关系.化简，令换元后，利用导数可求得其最小值为.试题解析：（1）由已知可得在上恒成立, 恒成立, 记,当且仅当时等号成立,.（2），当时，由，由已知有两互异实根，由根与系数的关系得， .令,单调递减,.考点：函数导数与不等式【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区

13、间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值21在单调递增数列中, ,且成等差数列, 成等比数列，. （1）求证：数列为等差数列；求数列通项公式；（2）设数列的前项和为,证明:.【答案】（1）证明见解析；当为偶数时,当为奇数时；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等差中项和等比中项有，化简得，所以数列为等差数列；由得首项为公差为，所以，即，结合可得,因此,当为偶数时,当为奇数时；（2），另外，故，所以，利用裂项求和法求得.试题解析：（1）因为数列单调递增数列, 由题意 成等差数列, 成等比数列得. ,

14、于是 , 化简得 , 所以数列为等差数列.又,所以数列的首项为,公差为,从而.结合可得,因此,当为偶数时,当为奇数时.（2）求数列通项公式为:,因为,所以,则有.考点：数列与不等式【方法点晴】在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式22选修4-1

15、：几何证明选讲如图, 是圆上两点, 延长至点,满足,过作直线与圆相切于点的平分线交于点.（1）证明:；（2）求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）只需证，利用弦切角等于所夹的弧所对的圆周角，外角等于不相邻的两个内角和，结合题目中是的平分线，可证明；（2）由切割线定理，求得，由（1）可证明，则,故.试题解析：（1）由题可, 故,故.（2）因为与分别为圆的切线和割线, 所以,得,又因为直线与圆相切于点,则,则,则,故.考点：几何证明选讲23选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点对应的参数与曲线交于点.（1）求曲线,的普通方程；（2）是曲线上的两点, 求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）利用消去参数，可求得的方程为,对，依题意设方程为，的直角坐标为，代入求得，故圆的方程为: ；（2）曲线的方程为,将代入可求得，进一步代入.试题解析：（1）将及时对应的参数, 代入得,所以的方程为,设圆的半径,则圆的方程为(或),将点代入得: 圆的方程为:( 或).（2）设曲线的方