合成标准不确定度的计算精编版

1、合成标准不确定度的计算公司标准化编码QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N第七讲合成标准不确定度的计算s减小字体滔人字体作老:李慎安?来源:发布时间：2007-05-08 10:19:04汁址培训：测虽不确定度表述讲座国家质虽技术监督局李慎安合成标准不确定匕的定义如何理解合成标准不确定度无例外地用标准偏差给出，其符号口以小写正体c作为下角标：如给出的为相对标 准不确定度,则应另加正体小写下角标rel,成为 j 按JJF1001定义为：当测量结果是由若干个其 他虽的值求得时，按其他备虽的方差和协方差算得的标准不确定度如各量彼此独立，则协方差为寥：如 不为零（相关情况下），则

2、必须加进去。上述定义可以理解为：半测虽结果的标准不确定度由若干标准不确定度分虽构成时.按方和根（必要时 加协方差）得到的标准不确定度。有时它可以抬某一台测虽仪湍，也可以抬一套测虽系统或测虽设备所复 现的量值。在某个址的不确定度只以一个分量为主.其他分虽可忽略不计的情况下，显然就无所谓合成标 准不确定度了。什么是输入址、输出址在间接测虽中，被测虽F不能直接测址.而是通过若干个别的可以直接测虽的址或是可以通过资料査 出其值的量，按一定的函数关系得出：方f（X，匕.X）其中兀为输入址，而把F称之为输出虽。例如：被测量为一个立方体的休积匕通过其长人宽b和商力三个虽的测虽结果，按函数关系 炖bh计算,则

3、厶b,力为输入址，卩为输出虽：。什么叫作线性合成例如在测虽误差的合成讣算中.其各个误差分虽，不论是随机误差分虽还是系统i吴差分虽:，、“I合成为 测址误差时，所有这些分量按代数和相加。这种合成的方法称为线性合成。不确定度的族个分虽如彼此独立.则恒用方和根的方式合成。但如果其中某两个分虽彼此强相关.且 相关系数尸+1，则合成时是代数相加，即线性合成而非方和根合成。什么叫灵敬系数为输出址y的估计值y与输入量足的估计值心 忌 払之间有产fg工，e的函数关系时.在不确定度的传播中,把：af伽二曲、为灵救系数.它虽地给出r输入aa与输出量卩之间的相互变化关系之比值它木身也是个虽值.有数值和虽纲.往往 其

4、虽纲并非1,而是有测虽单位的.这种情况下不能将它按纯数对待偏导数应该是在代入输入址的估il值时作出评定.即在尤小时评定的。它描述了输入估计值工的微小变化引甩y的变化3几 =(林仙J烁 如果这个变化是山估 il fiV A7的标准不确定度所引起，则y相应的变化为(刃滋儿&)。因此.合成方筮必(刃可以看 作补项方差之和，而每一项代表了由每个输入估汁值工相关联之估讣方差产生的输出估计值y的估汁方 差。也就是：U?(y) = c. u ( x J 2 = . uy)C菊, Ui (y) = Ci Ui(A7)以下给出几种比较简讯而又较常见的函数关系的灵敬系数：yAxBxzci-A： cz-B产 1/x

5、c=-(i/y)产及/ (片c产卫/(应CzXi/ (.Yi+.Yh)v/(l+r)c=1/(1y)2ycxixzCi=v c：=.r：(ffc=2.yc=l/2(2.v 2)y =“二从疋iUo以上乩b R可以是负数或分数或等于F用实验方法求灵敬系数时，特别是在y与工之间不存在简单函数关系时，可以通过将其余输入址保 持不变.仅变化第f个閃设变化址为“由此而导致的y的变化设为4戶则cMWH但也可通 过函数关系计算出输入量尤的不确定度川幻只有在乘相应的灵敏系数C,之后，才是输出虽F的不确定度u(刃的一个 分虽uAy) o它们也才会有相同的虽纲。在线性函数关系中输入虽的相对标准不确定度毗是否可以也

6、按方和根合成为输岀虽F的相对标 准不确定度i(y)在输入虽圧，.乂彼此独立的情况下,如果它们与输出址卩的函数关系是线性的,例如最简的一种 情况：范仆 ;门根応石石而计算Y的相对标准不确定度鸟心)的。例如：由两个500g的磁码相加.组成为输出ft 1000go每个500g磁码的标准不确定度 u(Q=u(Q=05g贝ij这输岀虽lOOOg的不确定度实际上u(y) V(0.5g)2 (O.5g)2二丿63孑二o.7ig。对lOOOg來说，其相对标准不确定度应为i4d(y) =0. 71g/1000g X 10 但如果用相对不确定度來合成，i4d(jo)=rd(x2) =0. 5g/500g=lX 1

7、0 它们 未合成前已大于显然是不合理的。有些情况下，例如在化学分析中.在给定浓度下的臬些不确定度的分虽，这些分址的相对标准不确定度均 是除以某个相同的分僚.而输出虽的相对标准不确定度也是这同一个分俅，这时是可以采用方和根來合成 相对标准不确定度的必须注意.尽管相对标准不确定度：(卫)都无例外地是无量纲虽，它们都用纯数给出.但是这些纯数并 不都是无条件地可以相对减或是进行方和根运算的。因为这些数都是址值.而且往往是不同定义的虽值。 也往往在这种相互独立的线性函数中，输入量北与按3类方法评定时.一开始就是给出的相对标准不 确定度和毗(卫)，例如通过测虽仪器引用误差评定的结果。那么，由于分母不同(输

8、出址与输入 虽：)，也是不能采用方和根得出输出虽的相对合成标准不确定度ei(y)的。在这种情况下，必须先把与3(尼)算成标准不确定度口(儿)与ug)后再合成为a(y)：如这时要求给出 g(y)即可将s(y) 除以八这是当前极易被忽賂的问题之一。5乂与输出firz间的函J -r(A：,，川二CX1 F1 X M 2而*是否也应WN按先算出灵敏系数G通过()=茁2山(=茁3(刃合成可以这样合成.但不一定要如此复朵。采用这种方法需要麻烦的備导数。更为简单的办法是采用输入址的 相对标准不确定度毗5)*(閃)/球乘以其相应的閃的指数皿 即阳(/恥 进行简也的平方和得到输出，y的相对合成方差即w2crei

9、(y) = u(y)/y2u( Xi)/Xi2i = I如果我们婆求得到s(y)而不是则可将得到的a“(y)乘以y即可。这是一种完全等效的汁算方 法。例如通过物体质虽也与其运动速度卩的测址.求该物休的动能$。它们之间的函数关系式(称测虽模型)是:亦(1/2)砂:设输入虽m的标准不确定度为u(m)=lg，而勿的最佳估il为lkg,速度A的虽佳估汁为lOOnt/s,其标准不 确定度u(v)=0. Ws,求输出量的标准不确定度u(&)o这时,不必去求倫导数得出灵敏系数,而是求 输入址的相对标准不确定度 Urei(a) =u(m)/ztf=lg/lkg= 1 x 10 ii(0=n(0/F=(O. l

10、m/s)/(100m/s)=lX10* e 的抬数为a 的IK数为 2.贝lw 2 wl(= (i x IO5):+ (2X 1 X 103)：=5X 10-4.故 i4ei()X105而 u() = X10X (1/2) X lkgX (100m/s):= X103XX10，kg*m7s2 =llkg m7s2=llj如果P只是正1或负1则在这一情况下:uc(y)/y2= u2crcj(y)=SlufxJ/x,2I B 1Nl 1这就是说:在这种悄况下估讣值y的相对合成标准不确定度.等于输入估汁值工的相对标准不确定度的方 和根。举例如下：设以盐酸作为标准滴定溶液，用以测虽某样品中所含氢氧化钾

11、的质址分数/F(KOH)标准溶液的浓度 c(HCl) = (l10-3)mol/L(A=2),则其标准不确定度 c(HCl) = (1/2) X1X 10a=X 10 滴定终点消耗 50mL按所用的B级滴定管4=土弔(4为最大允许误差)由于通过两次读数之差得出.按正态分布考虑.収包含因子归3,得消耗体积卩的相对标准不确定度(F0 = (1/3)X%x72 =X10-：o氢氧化钾的相对摩尔质量來自国际1995年公布的相对原子质址表，其不确定度大大小于10巴可忽略不讣，其值X(KOH) = 在木例计算中可取近似为，其修约导致的不确定度即可忽略。样品质虽沪10g按所用天平和 磁码的相对扩展不确定度i

12、；dU)=3X10H,包含因子Q3,得其相对标准不确定度为g(m)=lX10二 讣算 方程(测虽模型)为：mOH)=r(r(HCl). c(HCl), (KOH), m)= (K(HC1) Xc(HCl) XMKOH)/jzt代入输岀址的估计值得：F(KOH) = X1O3其相对标准不确定度饌KOH),可按s(叽4理(c), s%)按方和根得出为：x&ciF(KOH)= X10-：如要求给出uO(KOH) 则再乘以F(KOH)的估计值:XIOXXIOMTXIO-s木例所讨论的il算方法.提供了不需求灵嗽系数对合成标准不确定度的计算。、勺输入虽兀之间出现J两个或两个以上的虽工明显相关时，是否可以

13、不去讣算协方差或是相关系数进行 合成标准不确定度的il算在0JF1O59中只提到协方差与相关系数的A类评定方法.将它与其他分址的方差相加进行合成。实际 工作中.特别是在il址学领域.采用A类评定是十分复杂的。我们可以按经验.把输入虽工中强相关的那 些分虽（炙）等也是由若干分量合成的，其中既有与其他输入冕:强相关的分虽，也有相互独立的分虽：）， 按强相关（K十1）先行单独合成作为输出虽不确定度u（y）的一个分虽.然后把不相关的那些分虽按彼此独 立合成为u（y）的第二个分虽:，最后将此两分虽按彼此独立來进行合成（参阅木讲座。例如:在JJF1059合成标准不确定度a（刃的评定中,给过一个例子，当标称

14、值为lkQ的10个电阻 器，用1个值为尼的标准电阻器校准.设校准过程中的不确定度远小于朮的标准不确定度u（Q而忽略不 计校准证书给出u（朮） = Q。现将此10个电限器用电阻可忽略的导线串联构成一个10kQ的参考电阻，其屆尸f（兄）二令吭&汕 川加）。CJJF1059中给出的电*器的相彳系数为心 RE 并不可能是按A 类评定的因为不存在女个标准器分别对这10个电阻器进行校准。这里的r（兄，几）是按经验得出的。通 过经验，X两个（或多个）输入虽使用门司一个标准湍或同一台测虽仪湍时，或使用r相同的参考数据.则 它们之间存在极大的正相关。10个电阴器的校准正是这种情况。在尸+1的情况下.6I即线性相加因而,所构成的10k Q的尼討的合成标准不确定度10工U- 1屁 J =: i u (Ri)=10X Q二Q但是.如果校准过程中带來的不确定度并非可忽略不计.例如在对这10个中每个电阻器校准过程中的标 准不确定度为Q，10个这样的分虽彼此独立.大小也-样.合成起來就是0 x710 = 0.它应按方利根与前而松关部分合成的Q介成的=7Tjsyi2 + J .O3 = Q o合成标准不确定度uAy）的自由度计算中应注意什么问题合成标准不确定度的自由度称为有效自由度.符号为s输出虽估计值