【真题】河南省百校联盟2016届高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

1、2021-2021学年河南省百校联盟高三上第三次月考数学试卷理科一、选择题共12小题，每题5分，总分值60分1集合A=x|y=，B=x|x210，那么AB=A，1B0，1C1，+D0，+2复数z=2+i，那么=A iBiCiD3双曲线C：a0，b0的离心率为，且过点2，那么双曲线C的标准方程为ABCDx2y2=14等差数列an，满足a1+a5=6，a2+a14=26，那么an的前10项和S10=A40B120C100D805以下命题中正确的选项是Ax=1是x22x+1=0的充分不必要条件B在ABC中，AB是cosAcosB的必要不充分条件CnN+，2n2+5n+2能被2整除是假命题D假设pq为

2、假，pq为真，那么p，q同真或同假6定义在R上的函数fx在1，+上单调递增，且fx+1为偶函数，那么Af0fBf2f2Cf1f3Df4=f47执行如下图的程序框图，输出的结果是A56B36C54D648假设x，y满足不等式组，那么z=|x3|+2y的最小值为A4BC6D79某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是A8+B8+C8+D8+310函数fx=|sinx|+|cosx|，那么以下结论中错误的选项是Afx是周期函数Bfx的对称轴方程为x=，kZCfx在区间，上为增函数D方程fx=在区间，0上有6个根11抛物线：x2=8y的焦点为F，直线l与抛物线在第一象限相切于点P，并且与直线y=2

3、及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线的另一交点为Q，过点B作BCAF交PF于点C，假设|PC|=|QF|，那么|PF|=A1B2C3D512假设关于x的不等式xln+xkx+3k0对任意x1恒成立，那么整数k的最大值为A4B3C2D5二、填空题共4小题，每题5分，总分值20分13|=2，|=，的夹角为30， +22+，那么+=141x2y2的展开式中不含x项的系数和为m，那么xmdx=15在正三棱锥SABC中，AB=，M是SC的中点，AMSB，那么正三棱锥SABC外接球的球心到平面ABC的距离为16数列an的前n项和为Sn，S1=1，S2=，且SnSn2=3n1n3，那么an=三、解答题

4、共5小题，总分值60分17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， =，且1求角A；2假设a=2，当sinB+cos取得最大值时，求B和b18在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在40，60内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛1成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平分数和中位数；2根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如表： 参赛选手成绩所在区间 40，5

5、0 50，60 每名选手能够进入第二轮的概率假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有4名选手的成绩分别为单位：分43，45，52，58，记这4名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望19如下图，在三棱锥ABCA1B1C1中，底面ABC为边长为6的等边三角形，点A1在平面ABC内的射影为ABC的中心1求证：BCBB1；2假设AA1与底面ABC所成角为60，P为CC1的中点，求二面角B1PAC的余弦值20椭圆C：离心率为，右焦点F到直线x=的距离为11求椭圆C的方程；2过点F的直线l与x轴不重合与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，过点O，D的直线交椭圆于M、N两点O为坐

6、标原点，求四边形AMBN面积的最小值21fx=x，x0，11假设fx在0，1上是单调递增函数，求a的取值范围；2当a=2时，fxfx0恒成立，且fx1=fx2x1x2，求证：x1+x22x0选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的一条弦，延长AB到点C，使得AB=BC，过点B作BDAC且DB=AB，连接AD与O交于点E，连接CE与O交于点F求证：D，F，B，C四点共圆；假设AB=，DF=，求BE2选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，曲线为参数上的两点A，B对应的参数分别为，+求AB中点M的轨迹的普通方程；求点1，1到直线AB距离的最大值选修4-5：不等式选讲24函数f

7、x=|xa|+|x2|，a01当a=3时，解不等式fx4；2假设正实数a，b，c满足a+b+c=1，且不等式fx对任意实数x都成立，求a的取值范围2021-2021学年河南省百校联盟高三上第三次月考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题共12小题，每题5分，总分值60分1集合A=x|y=，B=x|x210，那么AB=A，1B0，1C1，+D0，+【考点】交集及其运算【分析】求解定义域化简集合A，解不等式化简B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：2x10，解得x0，即A=0，+，由x210得到x1或x1，即B=，11，+，AB=1，+，应选：C2复数z=2+i，那么=A iBiCiD【考点】

8、复数代数形式的混合运算【分析】由复数z=2+i，先计算z22z=1+2i，代入计算即可得出【解答】解：复数z=2+i，z22z=2+i222+i=3+4i42i=1+2i，那么=+i应选：A3双曲线C：a0，b0的离心率为，且过点2，那么双曲线C的标准方程为ABCDx2y2=1【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的离心率以及过点的坐标，建立方程关系进行求解即可得到结论【解答】解：双曲线的离心率为，e=，即c=a，那么b2=c2a2=a2a2=a2，那么双曲线的方程为=1，双曲线过点2，=1，即=1，得a2=2，b2=3，那么双曲线C的标准方程为，应选：A4等差数列an，满足a1+a5=6

9、，a2+a14=26，那么an的前10项和S10=A40B120C100D80【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列an的性质可得：a1+a5=2a3，a2+a14=2a8，解得a3，a8，可得an的前10项和S10=5a3+a8【解答】解：由等差数列an的性质可得：a1+a5=6=2a3，a2+a14=26=2a8，解得a3=3，a8=13，那么an的前10项和S10=5a3+a8=516=80应选：D5以下命题中正确的选项是Ax=1是x22x+1=0的充分不必要条件B在ABC中，AB是cosAcosB的必要不充分条件CnN+，2n2+5n+2能被2整除是假命题D假设pq为假，pq为真

10、，那么p，q同真或同假【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】逐项判断即可【解答】解：A、x22x+1=x12=0，得x=1，易得：x=1是x22x+1=0的充要条件，故A错误；B、因为A，B0，函数fx=cosx在0，上是减函数，所以由AB，可得cosAcosB，反之也成立，故应为充要条件，所以B错误；C、当n=2时，2n2+5n+2=20能被2整除，故C错误；D、pq为假，故p，q至少一个为假，pq为真，所以p和q至少一个为真所以p，q一真一假，由此可得p，q同真或同假，故D正确应选D6定义在R上的函数fx在1，+上单调递增，且fx

11、+1为偶函数，那么Af0fBf2f2Cf1f3Df4=f4【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据条件判断函数fx关于x=1对称，利用函数对称性和单调性的关系将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：fx+1为偶函数，fx+1=fx+1，即函数fx关于x=1对称，fx在1，+上单调递增，fx在，1上单调递减，f0f，f2=f4f2，f1=f3，f4=f6f4，应选：B7执行如下图的程序框图，输出的结果是A56B36C54D64【考点】程序框图【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件c20，输出S的值即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得：第1次循环，c=2，S=4，c20，a=1，b=

12、2，第2次循环，c=3，S=7，c20，a=2，b=3，第3次循环，c=5，S=12，c20，a=3，b=5，第4次循环，c=8，S=20，c20，a=5，b=8，第5次循环，c=13，S=33，c20，a=8，b=13，第6次循环，c=21，S=54，c20，退出循环，输出S的值为54应选：C8假设x，y满足不等式组，那么z=|x3|+2y的最小值为A4BC6D7【考点】简单线性规划【分析】由题意作出其平面区域，化简z=|x3|+2y=，从而分别求最小值，从而解得【解答】解：由题意作出其平面区域如右图，易知A0，2，B5，3，C3，5，D3，；z=|x3|+2y=，当x3时，z=x+2y3在

13、点D处取得最小值为，当x3时，z=x+2y+3，故z=|x3|+2y的最小值为，应选B9某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是A8+B8+C8+D8+3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，即可求出几何体的体积【解答】解：由中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，体积为+122=8+应选：C10函数fx=|sinx|+|cosx|，那么以下结论中错误的选项是Afx是周期函数Bfx的对称轴方程为x=，kZCfx在区间，上为增函数D方程fx=在区间，0上有6个根

14、【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的化简求值【分析】首先把三角函数变形成fx=的形式，进一步求出函数的最小正周期，【解答】解：函数fx=|sinx|+|cosx|=，最小正周期T=A正确；sin2x=1时，即x=，kZ是函数的对称轴，所以B正确；x，函数不是单调函数，所以C不正确；函数的周期为，函数的最大值为：，所以方程fx=在区间，0上有6个根，正确；应选：C11抛物线：x2=8y的焦点为F，直线l与抛物线在第一象限相切于点P，并且与直线y=2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线的另一交点为Q，过点B作BCAF交PF于点C，假设|PC|=|QF|，那么|PF|=A1B2C3D5【考

15、点】抛物线的简单性质【分析】设Pm， m2，分别过B、P作直线y=2的垂线，垂足为D、E，由条件推导出|FC|=|BD|=2，设直线PQ的方程为y=kx+2，代入C：x2=8y得x28kx16=00，由此能求出|PF|【解答】解：设Pm， m2，分别过B、P作直线y=2的垂线，垂足为D、E，BCAF，=，|FP|=|PE|，|FC|=|BD|=2，设直线PQ的方程为y=kx+2，代入C：x2=8y得x28kx16=0，mxQ=16，xQ=，yQ=，|PF|=m2+2，|PC|=m2，|QF|=+2，|PC|=|QF|，得m2=+2，m416m2256=0，解得m2=8+8|PF|=m2+2=3

16、+应选：C12假设关于x的不等式xln+xkx+3k0对任意x1恒成立，那么整数k的最大值为A4B3C2D5【考点】函数恒成立问题【分析】把函数fx的解析式代入fx+xkx30，整理后对x讨论，x=3，x3，1x3时，运用参数别离，求得最值，主要是x3时，求其导函数，得到其导函数的零点x0位于13，14内，且知此零点为函数hx的最小值点，经求解知hx0=x0，从而得到kx0，那么正整数k的最大值可求【解答】解：关于x的不等式xlnx+xkx+3k0对任意x1恒成立，即kx3x+xlnx，当x=3时，不等式显然成立；当x3，即有k对任意x3恒成立令hx=，那么hx=，令x=x3lnx6x3，那么

17、x=10，所以函数x在3，+上单调递增，因为13=73ln130，14=83ln140，所以方程x=0在3，+上存在唯一实根x0，且满足x013，14当13xx0时，x0，即hx0，当xx0时，x0，即hx0，所以函数hx=在13，x0上单调递减，在x0，+上单调递增所以hxmin=hx0=x0，所以khxmin=x0，因为x013，14故整数k的最大值是4；当1x3时，即有k对任意x3恒成立由于x30，可得0，即有k0，综上可得，k的最大值为4应选：A二、填空题共4小题，每题5分，总分值20分13|=2，|=，的夹角为30， +22+，那么+=1【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据即可求

18、出的值，然后进行向量数量积的运算便可求出的值【解答】解：；=4；=1故答案为：1141x2y2的展开式中不含x项的系数和为m，那么xmdx=【考点】二项式系数的性质；定积分【分析】1x2y2的展开式中不含x项的系数和，即1x2y2的展开式中12y2的各项的系数和为m，对于12y2，令y=1，可得m，再利用微积分根本定理即可得出【解答】解：1x2y2的展开式中不含x项的系数和，即1x2y2的展开式中12y2的各项的系数和为m，对于12y2，令y=1，可得m=12=1，即xmdx=xdx=故答案为：15在正三棱锥SABC中，AB=，M是SC的中点，AMSB，那么正三棱锥SABC外接球的球心到平面A

19、BC的距离为【考点】棱锥的结构特征【分析】利用正三棱锥SABC和M是SC的中点，AMSB，找到SB，SA，SC之间的关系在求正三棱锥SABC外接球的球心与平面ABC的距离【解答】解：取AC的中点N，连接BN，因为SA=SC，所以ACSN，由ABC是正三角形，ACBN故AC平面SBN，ACBC又AMSB，ACAM=A，SB平面SAC，SBSA且SBSC故得到SB，SA，SC是三条两两垂直的可以看成是一个正方体切下来的一个正三棱锥故外接圆直径2R=AB=，SA=1那么：外接球的球心与平面ABC的距离为正方体对角线的，即d=故答案为：16数列an的前n项和为Sn，S1=1，S2=，且SnSn2=3n

20、1n3，那么an=【考点】数列递推式【分析】SnSn2=3n1n3，对n分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：SnSn2=3n1n3，考虑偶数2n时，S2nS2n2=3，S2n=S2nS2n2+S2n2S2n4+S4S2+S2=S23+=3=2=2+同理可得：奇数项S2n+1S2n1=3=3S2n+1=S2n+1S2n1+S2n1S2n3+S3S1+S1=1+3+=1+3=2a2n+1=S2n+1S2n=2=43a2n=S2nS2n1=2+=4+3a1=S1=1综上可得：an=故答案为：an=三、解答题共5小题，总分值60分17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

21、=，且1求角A；2假设a=2，当sinB+cos取得最大值时，求B和b【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】1由及余弦定理可得2cosB=，结合cosB0，可得sin2A=1，利用正弦函数的图象可得A的值2由1可得B+C=，利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinB+cos=sinB+，利用B的范围可求B+，利用正弦函数的性质可求当B=时，sinB+cos取得最大值，进而利用正弦定理可求b的值【解答】此题总分值为12分解：1由余弦定理可得： =2cosB，2cosB=，可得：cosB0，sin2A=1，A=，6分2由1可得B+C=，sinB+cos=sinB+cosB=s

22、inB+cosB=sinB+，可得：B+，当B+=，即B=时，sinB+cos取得最大值，10分由正弦定理可得：b=，B=，b=12分18在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在40，60内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛1成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平分数和中位数；2根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如表： 参赛选手成绩所在区间 40，50 50，60

23、 每名选手能够进入第二轮的概率假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有4名选手的成绩分别为单位：分43，45，52，58，记这4名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】1由频率分布直方图的性质先求出a，由此能估计这200名参赛选手的成绩平均数和中位数；2根据题意知，成绩在40，50，50，60内选手分别有2名和2名，随机变量X的取值为0，1，2，3，4分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】+a=1，解得：a=0.04，由平均数x=1065+75+85+950.03=82，由图可知：前两

24、个矩形面积之和为0.5，中位数为80；2由题意可知：成绩在40，50，50，60内选手各由两名，那么随机变量X的取值为0，1，2，3，4，PX=0=，PX=1=+=，PX=2=+=，PX=3=+=，PX=3=，X的分布列为： X 0 1 2 3 4 PX数学期望EX=0+1+2+3+4=19如下图，在三棱锥ABCA1B1C1中，底面ABC为边长为6的等边三角形，点A1在平面ABC内的射影为ABC的中心1求证：BCBB1；2假设AA1与底面ABC所成角为60，P为CC1的中点，求二面角B1PAC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】1点A1在

25、底面ABC内的射影为O，连结A1O，取BC的中点E，连结AE，推导出A1OBC，AEBC，从而BC面A1AO，进而BCAA1，由此能证明BCBB12由1得A1O，AO，BC两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1PAC的余弦值【解答】证明：1点A1在底面ABC内的射影为O，连结A1O，取BC的中点E，连结AE，A1O面ABC，BC面ABC，A1OBC，又AEBC，AEA1O=O，BC面A1AO，AA1面A1AO，BCAA1，AA1BB1，BCBB1解：2由1得A1O，AO，BC两两垂直，建立如下图的空间直角坐标系，A1O面ABC，A1AO为AA1与底面ABC所成角，AB=6，由

26、，得A1O=6，A2，0，0，B，3，0，C，A10，0，6，由=，得C13，3，6，由=，得B1，P2，3，3，=4，3，3，=，=3，3，0，设平面PAB1的一个法向量=x，y，z，那么，取x=，得=，设平面PAC的一个法向量=a，b，c，那么，取a=，得=，设二面角B1PAC的平面角为，由图知为钝角，那么cos=二面角B1PAC的余弦值为20椭圆C：离心率为，右焦点F到直线x=的距离为11求椭圆C的方程；2过点F的直线l与x轴不重合与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，过点O，D的直线交椭圆于M、N两点O为坐标原点，求四边形AMBN面积的最小值【考点】椭圆的简单性质【分析】1由离心率

27、公式e=及c=1，即可求得a和c的值，由b2=a2c2=1，即可求得b，求得椭圆C的方程；2由题意可知设直线AB的方程为x=my+1，代入椭圆方程，由韦达定理求得中点D坐标和弦长丨AB丨，求得直线OD的方程，代入椭圆方程，求得M和N点坐标，由点到直线的距离公式，求得点M和N到直线AB的距离d1，d2，由题意可知：SAMBN=丨AB丨+d1+d2=2，由函数的单调性即可求得四边形AMBN面积的最小值【解答】解：1由题意可知：e=，c=1，解得：a=，c=1，b2=a2c2=1，椭圆方程为，2设Ax1，y1，Bx2，y2，Dx0，y0，设直线AB的方程为x=my+1，联立，整理得：2+m2y2+2

28、my1=0，由韦达定理可知：y1+y2=，y1y2=，由弦长公式可知：丨AB丨=丨y1y2丨=，由中点坐标公式可知：y0=，x0=my0+1=+1=，D，直线OD的方程为y=x，代入，整理得：x2=，M，N，M到直线AB的距离d1=，N到直线AB的距离d2=，M，N在直线AB的两侧，且MN关于原点对称，SAMBN=丨AB丨+d1+d2=+，=，SAMBN=22，综上所述，四边形AMBN面积的最小值221fx=x，x0，11假设fx在0，1上是单调递增函数，求a的取值范围；2当a=2时，fxfx0恒成立，且fx1=fx2x1x2，求证：x1+x22x0【考点】函数恒成立问题【分析】1利用导数的单

29、调性求其最小值，别离参数法求解2利用单调性证明存在唯一实数根0，1使得h=0；证明fxfx0恒成立，x0是fx的极小值点，由fx0=0，可知0 x01fx在区间0，x0上单调递减，在区间x0，1上单调递增f=1+，0 x0；不妨设x1x2，由题意：fx1=fx2，那么：0 x1x0 x21要证明：x1+x22x0，即证明：2x0 x1x2即可【解答】解：1fx=x，x0，1那么fx=2x+a，fx在0，1上是单调递增函数，fx0恒成立，即2x+a0可得：2xa恒成立，令gx=2x，x0，1gx=2sinx0，1是gx0，且g00，g10；gx在区间0，1上存在唯一零点x；所以gx在区间0，x上

30、单调递增，在区间x，1上单调递减，故有，解得：a所以fx在0，1上是单调递增函数，a的取值范围是，+证明：2当a=2时，fx=，x0，1那么fx=2x2，令hx=2x2，即fx=hx；那么hx=2sin显然x0，1上，hx是单调递减又h0=20，h1=20，故存在唯一实数根0，1使得h=0；所以hx在区间0，上单调递增，在区间，1上单调递减，即fx在区间0，上单调递增，在区间，1上单调递减；又f0=2+0，f1=0；f0；因为fxfx0恒成立，所以x0是fx的极小值点，由fx0=0，可知0 x01fx在区间0，x0上单调递减，在区间x0，1上单调递增f=1+，0 x0；不妨设x1x2，由题意：

31、fx1=fx2，那么：0 x1x0 x21要证明：x1+x22x0，即证明：2x0 x1x2，x02x0 x11，x0 x21，所以只要证：f2x0 x1fx2fx1；即要证f2x0 x1fx1；设Fx=f2x0 x1fx1；即证Fx0在x0，1上恒成立，Fx=f2x0 x1fx1=h2x0 x1hx1令Mx=h2x0 x1hx1那么Mx=h2x0 x1hx1hx在x0，1上单调递减x02x0 x11，h2x0 x1hx10即hx0，x0，1上单调递减hxhx0=2fx0=0；可得Fx0，在x0，x0上恒成立，那么Fx在x0，x0上单调递增，FxFx0=0；所以：x1+x22x0选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的一条弦，延长AB到点C，使得AB=BC，过点B作BDAC且DB=AB，连接AD与O交于点E，连接CE与O交于点F求证：D，F，B，C四点共圆；假设AB=，DF=，求BE2【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定【分析】先由割线定理得CACB=CFCE，再由图中的等量关系，得CACB=2CB2=DC2=CFCE，再通证明CDE和CFD相似，从而得出CFD=CDE=90，即DFCE，再由BDAC，即可得证；在等腰RtCDB中，CD=2，在RtDFC中，DCF=30