变形举例及应变能解析课件

1、上节回顾：五、拉压杆的强度条件其有三方面应用：（2）截面设计（1） 强度校核（3）确定许可荷载第1页，共33页。 六、拉压杆的变形计算FFbh 1、轴向线应变b1ll12）轴向线应变1）轴向变形第2页，共33页。2、横向线应变3、泊松比(横向变形系数) 称为泊松比 (Poissons ratio)2）横向线应变FFbhb1ll11）横向变形第3页，共33页。4、胡克定律 (Hookes law) 式中 E 称为弹性模量 (modulus of elasticity) ，EA称为抗拉（压）刚度(rigidity). 实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.

2、上式改写为由第4页，共33页。 例1 一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知F=50kN,材料的弹性模量 E=3103MPa 。试求砖柱顶面的位移。FABCFF300040003702402150kN150kN 解：首先作轴力图。若认为基础无沉陷，则砖柱顶面下降的位移等于全柱的缩短。 由于此柱为变截面杆，且上下两段轴力不等,因此要分段计算。第5页，共33页。由此得第6页，共33页。例2 图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN. l1=l3=300mm，l2=400mm， d1=12mm，d2=16mm，d3=24m

3、m. 试求：（1） -、-、III-III截面的轴力并作轴力图（2） 杆的最大正应力max（3） B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3l1l2l3ABCD第7页，共33页。解:求支座反力 FRD = -50kNF1F2F3l1l2l3ABCDFRD（1）-、-、III-III截面的轴力并作轴力图F1FN1第8页，共33页。F2F1FN2F1F2F3l1l2l3ABCDFRDFRDFN3第9页，共33页。FN2 =-15kN （-）FN1 =20kN （+）FN3 =- 50kN （-）+-15kN20kN50kNF1F2F3l1l2l3ABCDFRD第10页，共33页。（2） 杆的最大正应力

4、maxAB段DC段BC段FN2 =-15kN ( - )FN1 =20kN （+）FN3 =- 50kN ( - )F1F2F3l1l2l3ABCDFRDmax = 176.8MPa 发生在AB段.第11页，共33页。（3） B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3l1l2l3ABCDFRD第12页，共33页。 解：要研究自重对杆的强度的影响，应探讨自重与杆内最大正应力的关系，为此可先算出杆的任一横截面上的轴力，从而求出杆的最大轴力。例3 图示一等直杆在自重和力F 作用下的示意图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为，许用应力为 。试分析杆的自重对强度的影响；并求杆的总伸长。第13页，共33页。作

5、轴力图： 由此可见，若杆的rgl与其材料的s 相比很小，则杆的自重影响很小而可忽略不计。第14页，共33页。FN(x)= F+Arg x求杆的总伸长 可知：自重引起的伸长等于将杆重的一半作用在杆端所引起的伸长。第15页，共33页。 在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性应变能,简称应变能。七、拉压杆的应变能、应变能、功能原理 可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功. 对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能. V = W第16页，共33页。.轴向拉压的应变能 此外力功的增量为：当拉力为F1 时,杆件的

6、伸长为l1，当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(l1)；FFll积分得:FlFOll1dl1dF1F1第17页，共33页。 根据功能原理 当轴力或截面发生变化时: V= W , 可得以下变形能表达式 当轴力或截面连续变化时：第18页，共33页。（单位 J/m3) 比能 ：单位体积的应变能. 记作u第19页，共33页。例1 拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI ,受到F1和F2 两个力作用.若先在 B 截面加 F1, 然后在 C 截面加 F2;若先在 C 截面加 F2, 然后在 B 截面加 F1. 分别计算两种加力方法拉杆的应变能.ABCabF1F2第20页，共33页。（1）先在 B 截面

7、加 F1,然后在 C 截面加 F2ABCabF1 （a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为 外力作功为 （b）再在C截面加 F2F2 C截面的位移为 F2 作功为第21页，共33页。（c）在加F2 后,B截面又有位移 在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功） 所以应变能为ABCabF1F2第22页，共33页。（2）若先在C截面加F2 ,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2 后,F2 作功（b） 在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F2（c）加 F1引起 C 截面的位移 在加F1过程中F2作功（常力作功）第23页，共33页。ABCabF1F2 所以应变能为注意： （1） 计算外力作功

8、时,注意变力作功与常力作功的区别. （2）应变能V只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.第24页，共33页。例2 如图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成. 已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成 =30的角度, 长度均为 l = 2m,直径均为 d=25mm,钢的弹性模量为 E=210GPa.设在A点处悬挂一重物 F=100 kN,试求 A点的位移 A.ABC12第25页，共33页。ABC12解一：（1） 列平衡方程,求杆的轴力FyFN1FN2A12x第26页，共33页。A（2）两杆的变形为变形的几何相容条件是变形后，两杆仍应铰结在一起.ABC12ABC12（伸长）第27页，共33页。

9、以两杆伸长后的长度BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A,即为A点的新位置.AA 就是A点的位移.AABC12A2A1A12因变形很小,故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A A可认为A第28页，共33页。 其结构的应变能为: 由功能原理:W = V,即: 由前例已知:FyFN1FN2A12x解二：若用功能原理求解A点的铅垂位移；第29页，共33页。FAFN1FN2x30yA1例3 图示三角形架AB和AC 杆的弹性模量 E=200GPaA1=2172mm2，A2=2548mm2. 求 当F=130kN时节点的位移.2mABCF3012解一：(1)由平衡方程得两杆的轴力1 杆受拉,2 杆受压A2（2）两杆的变形第30页，共33页。30AA1A2A30AA3