大学物理学(下册)第15章量子物理基础课件

1、大学物理学(下册)第15章 量子物理基础第1页，共105页。本章内容15.1 量子理论的诞生15.2 光的波粒二象性15.3 实物粒子的波粒二象性15.4 不确定关系15.5 波函数 薛定谔方程15.6 一维无限深势阱和势垒 15.7 氢原子的量子力学简介 15.8 多电子原子中的电子分布 第2页，共105页。量子物理简介：力学电磁学热学相对论量子论时间 t关键概念的发展1600 1700 1800 1900物理学经典物理现代物理力学热学电磁学光学相对论量子论非线性第3页，共105页。15.1 量子理论的诞生 一切物质中的原子、分子因热激发而向外辐射电磁波。实验证明,不同温度下物体能发出不同的

2、电磁波，这种能量按频率的分布随温度而不同的电磁辐射叫做热辐射。15.1.1 黑体辐射1.热辐射现象物体以电磁波的形式向外发射能量辐射。物体向外辐射的能量辐射能。由物体的温度所决定的辐射热辐射。说明：任何物体在任何温度下都要辐射电磁波。热辐射具有：温度特性；频率特性。第4页，共105页。 物体向外辐射能量，也会自外界吸收能量，如果单位时间内物体向外辐射的能量大于吸收的能量，则物体温度要降低，反之升高，若两者相等则温度不变，此时物体达到热辐射平衡。物体此时的辐射状态可用温度T来表示。2.热辐射平衡15.1.2 黑体辐射规律1.辐射能 温度为 T 的物体，在单位时间内，从单位面积上所辐射出的、在波长

3、 附近单位波长间隔内的能量。称为单色辐射出射度或单色辐出度。单位：T第5页，共105页。 温度为 T 的物体，在单位时间内，从单位面积上所辐射出的各种波长的电磁波的能量总和。称为辐射出射度或辐出度。单位：0 2 4 6 8 10 1221210468可见光区太阳钨丝太阳和钨丝的单色辐出度曲线第6页，共105页。2. 斯特藩 玻尔兹曼定律.该定律是斯特藩于1879年由实验发现的，1884年玻尔兹曼从经典热力学理论出发也导出同样的结论；.该定律仅适用于黑体；.称为斯特藩玻尔兹曼恒量。黑体的辐出度与其绝对温度的四次方成正比，即：说明：第7页，共105页。3. 维恩位移定律说明：该定律是从经典热力学得

4、到的，上式在短波部分与实验曲线符合比较好，由此1911年获诺贝尔物理学奖；黑体温度升高时，曲线的峰值所对应的波长m向短波方向移动。第8页，共105页。由维恩位移定律： （1）温度为室温（20）的黑体，其单色辐出度的峰值所对应的波长是多少？（2）辐出度是多少？解：由斯特藩玻尔兹曼定律：例 1第9页，共105页。由维恩位移定律：太阳可近似看成一黑体，实验测得太阳单色辐出度的峰值波长为465nm，计算太阳的表面温度和单位面积上发射的功率。解：由斯特藩玻尔兹曼定律：对宇宙中其他发光星体的表面温度也可用这种方法测定。例 2第10页，共105页。15.1.3 能量子假设 19世纪末，许多物理学家企图用经典

5、理论建立黑体辐射的单色辐出度随波长的变化规律，并对黑体辐射的实验曲线作出解释。但是都未能成功，其中较有影响的有两个： 一个是1893年维恩用热力学理论给出的维恩曲线，维恩曲线在短波部分与实验曲线符合比较好，但长波部分有偏离；另一个是1900年由瑞利和金斯两人按照经典电磁理论和统计理论得出的瑞利金斯曲线，该曲线在长波部分与实验曲线符合的很好，但在短波部分出现错误，这一错误被称为紫外灾难。维恩曲线瑞利-金斯曲线实验曲线第11页，共105页。 1900年德国物理学家普朗克为了得到与实验曲线相一致的公式，在维恩公式和瑞利金斯公式之间用内插法建立一个普遍公式，提出了一个与经典物理学概念截然不同的“能量子

6、”假设：能量是分立的，不是连续的。 普朗克（1858-1947），量子论的奠基人，1900年12月14日他在德国物理学会上，宣读了以关于正常光谱中能量分布定律的理论为题的论文，提出了能量的量子化假设，并导出黑体辐射的能量的分布公式，劳厄称这一天是“量子论的诞生日”。第12页，共105页。1. 普朗克量子假设其中h为普朗克常数。.构成黑体的分子、原子可看成是谐振子，谐振子可发射、吸收电磁波能量；.谐振子的最小能量单元称为能量子，能量子的能量与振子的频率成正比，即.谐振子和周围电磁场交换能量时，辐射或吸收的能量也是量子化的，此时可认为谐振子是在上述能级之间跃迁。.谐振子可能具有的能量是不连续的，只

7、能取一些分立值，其量值是能量子的整数倍，即：其中n称为量子数第13页，共105页。谐振子的能量谐振子和外界交换能量第14页，共105页。 根据经典统计理论和上述能量子假设，普朗克导出了温度为 T 的黑体的辐射公式：普朗克公式的理论曲线实验值第15页，共105页。 普朗克在1900年10月19日的德国物理学会上说：“即使这个辐射公式能证明是绝对精确的，但是如果仅仅是一个侥幸猜测出来的内插公式，那么它的价值也是有限的。” 普朗克由于提出了能量子假设和黑体辐射公式，为此获1918年诺贝尔物理学奖。 普朗克量子假设不仅圆满地解释了黑体的辐射规律，也解决了在经典热力学中固体比热与实验不符的问题。普朗克提

8、出的全新概念能量量子化，已成为现代物理理论的重要概念。第16页，共105页。2. 普朗克理论与经典理论不同经典理论的基本观点普朗克能量子假设（1）电磁波辐射来源于带电粒子的振动，电磁波频率与带电粒子振动频率相同。（2）振子辐射电磁波含各种波长，是连续的，辐射能量也是连续的。（3）温度升高，振子振动加强，辐射能量加大。对于频率为 的振子，振子辐射的能量不是连续的，而是分立的，它的取值是某一最小能量 的整数倍第17页，共105页。设音叉尖端的质量为0.05kg，将其频率调到 = 480Hz，振幅 A=1.0mm。求：(1)尖端振动的量子数; (2)当量子数由n增加到n+1时，振幅的变化是多少？解：

9、（2）由第一式，有（1）振动能量为例 3第18页，共105页。 著名物理学家、皇家学会会长汤姆孙说： “爱因斯坦的相对论是人类思想最伟大的成果之一”。 20世纪最伟大的物理学家,于1905年和1915年先后创立了狭义相对论和广义相对论,他于1905年提出了光量子假设,为此他于1921年获得诺贝尔物理学奖,他还在量子理论方面具有很多的重要的贡献 . Albert Einstein ( 1879 1955 )第19页，共105页。15.2 光的波粒二象性光的波动性用光波的波长 和频率 描述，光的粒子性用光子的质量、能量和动量描述光子能量光子质量光子动量第20页，共105页。 锌板在紫外光的照射下释

10、放出了电子。这种现象称为光电效应。15.2.1 光电效应1. 现象光电子从金属中逸出的电子。外光电效应金属表面的电子吸收光的能量，克服金属的束缚而逸出金属表面的现象。内光电效应半导体内的电子吸收光的能量，使其导电性能增强的现象。第21页，共105页。VGKAR2.实验装置实验一：入射光的强度和频率不变。.增加电压U，光电流随之增加，直至饱和。称为饱和光电流IH 。.电压U=-Ua时,光电流I=0。.电压U=0时，光电流I0。第22页，共105页。VGKAR 改变入射光的强度和频率。.入射光频率不变，增加光强，饱和光电流IH 随之增加，有：.入射光强度不变，增大频率，遏止电压Ua增大。或：光强越

11、大，光电子数越多。即：遏止电压（光电子的最大初动能）与入射光的频率有关。光强饱和光电流与入射光频率无关。实验二第23页，共105页。遏止频率（红限）实验指出，遏止电压与入射光的频率满足线性关系：式中 、 均为正数， 为普适恒量， 与金属性质有关。称为光电效应的遏止频率（红限）。金 属铯钠锌铱铂遏止频率（1014Hz）4.5455.508.06511.5315.32第24页，共105页。3. 实验规律.饱和光电流IH与入射光的强度成正比，或单位时间内被击出的光电子数n与入射光的强度成正比；.入射光有一个极限频率0遏止频率（红限）。当入射光频率 0时，才能产生光电效应；当 0时，遏止电压（光电子的

12、最大初动能）与入射光的频率成线性关系，而与光的强度无关；第25页，共105页。.当 0时，即使光的强度很弱，光电效应是瞬时发生的，延迟时间小于10-9s。光强第26页，共105页。 按照光的波动学说，当光波照射到金属表面后，金属中的自由电子在光矢量的作用下作受迫振动，根据受迫振动理论，光电子的最大速度：4、经典理论解释光电效应遇到的困难即：光电子的最大初动能与入射光的强度成正比关系，而与光的频率无关。与实验结果不符。第27页，共105页。 按上述理论,无论何种频率的入射光,只要其强度足够大，就能使电子具有足够的能量逸出金属，不存在红限问题。与实验结果不符。 按上述理论,如果入射光强很弱，则电子

13、逸出金属所需的能量，需要有一定的时间来积累。与实验结果不符。驰豫时间红限问题第28页，共105页。.光是一束以光速c运动的粒子流，这些粒子称为光子；1）.爱因斯坦光子假设.光子的能量：.光的强度：2）.爱因斯坦光电效应方程 爱因斯坦认为：在光电效应中，金属中的电子吸收一个光子的能量h，一部分消耗在使金属中电子挣脱原子的束缚成为光电子所需作的功A，另一部分变为光电子的初动能EKm。即光电效应方程5、爱因斯坦的光子假说和光电效应方程第29页，共105页。.饱和光电流IH与入射光的强度成正比，或单位时间内被击出的光电子数n与入射光的强度成正比；3）.爱因斯坦对光电效应的解释N为单位时间通过垂直光的传

14、播方向单位面积的光子数。光强越大，光电子越多，饱和光电流就越大。截面积第30页，共105页。.入射光有一个极限频率0截止频率（红限）。当入射光频率 0时，才能产生光电效应；当 0时，遏止电压（光电子的最大初动能）与入射光的频率成线性关系，而与光的强度无关；.当 0时，即使光的强度很弱，光电效应是瞬时发生的，延迟时间小于10-9s。 只要光子频率大于截止频率，电子就能立即逸出金属表面，几乎无需积累能量的时间，所以光的照射和光电子的产生几乎是同时的。第32页，共105页。6、光电效应的应用(1).光控继电器可用于自动控制，自动计数、自动报警、自动跟踪等。放大器控制机构光电管第33页，共105页。(

15、2).光电倍增管 可对微弱光信号进行放大，可使光电流放大105108 倍，灵敏度高，用在工程、天文、科研、军事等方面。光电倍增管第34页，共105页。 波长为400nm的光照在金属铯上，问光电子的最大初速度为多少？（铯的红限为4.81014Hz）解：由光电效应方程：例 1第35页，共105页。15.2.2 康普顿效应实验装置 x射线源发出单一波长的x光，通过光阑形成一束细光束，投射到石墨上发生散射。在散射的x射线中，不但存在与入射光波长相同的x射线，同时还存在波长大于入射光波长的x射线。这一现象称为康普顿效应。石墨体x射线摄谱仪x射线源第36页，共105页。1. 康普顿效应的实验现象.康普顿散

16、射光波长中不仅有原入射波长 ，还有 大于 的射线.在原子量小的散射物质中，康普顿散射强度较强，原子量较大的物质中，康普顿散射较弱。第37页，共105页。 在同一散射角下，对于所有散射物质,波长的改变量 都相同；在散射光中，x光波长的改变量 与散射角有关，随着散射角的增大， 变大，同时原波长的谱线强度减小，新波长的谱线强度增大。第38页，共105页。2、康普顿效应的理论解释 根据经典电磁理论，当波长为0的x光通过物质时，物质中带电粒子将作受迫振动，其振动频率等于入射光频率，则带电粒子向各个方向发射的散射光波长等于入射光波长。光的波动理论无法解释康普顿效应。 光子理论认为康普顿效应是光子和自由电子

17、作弹性碰撞的结果，具体解释如下：.若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子,散射光子的能量减少，于是散射光的波长大于入射光的波长。 第39页，共105页。.若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞，则相当于和整个原子碰撞,由于光子质量远小于原子质量，根据碰撞理论，碰撞前后光子能量几乎不变，波长不变。.因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以波长的改变量和散射角有关。.对于轻原子，其中电子束缚较弱，则外层自由电子较多，x光多与此类电子碰撞，则产生较多新波长；对于重原子，外层自由电子较少，则新波长强度较小。第40页，共105页。 康普顿，美国著名的物理学家。1923年发现了“康普顿效应”，该效应

18、进一步证实了爱因斯坦的光子理论，揭示出光的二象性，从而导致了近代量子物理学的诞生和发展；另一方面康普顿效应也阐明了电磁辐射与物质相互作用的基本规律他因此于1927年获得了诺贝尔物理学奖。他还确定了磁性晶体的磁化效应，并科学地预言了铁磁性起源于电子的内禀磁矩，即自旋。Arthur Holly Compton（1892-1962）第41页，共105页。3、康普顿效应的定量分析1）.物理模型.入射光子（x射线）能量大，约为104105eV。.原子核对电子束缚较弱（几个eV），可视为自由电子。光子电子电子光子.电子热运动的能量约为10-2 eV，可近似为静止电子。 .碰撞过程遵守能量守恒定律和动量守恒

19、定律。第42页，共105页。2）.定量计算由能量守恒：由动量守恒：康普顿公式康普顿波长第43页，共105页。.波长改变量与散射物质无关,仅决定于散射角；波长改变量随散射角增大而增加。理论值与实验值符合得很好。说 明. 与散射物质无关，说明光子是和自由电子相互作用。.若 则 , 观察不到康普顿效应。只有当入射波长0与c可比拟时，康普顿效应才显著。因此要用x射线才能观察到。.当 ， 。第44页，共105页。4、康普顿散射实验的意义1）.证实了光量子理论；3）.证实了能量守恒和动量守恒两条定律，在微观粒 子相互作用的过程中，也同样严格地遵守。2）.证实了狭义相对论力学的正确性；5、康普顿效应与光电效

20、应的异同：都涉及光子与电子 相互作用康普顿散射中，入射光为X射线或射线，光子能量为104eV量级，甚至更高，远大于原子中电子的束缚能，原子中的电子可视为自由电子，光子能量只被电子吸收一部分并发生散射。不同 相同第45页，共105页。15-3 实物粒子的波粒二象性15.3.1 德布罗意波 德布罗意（de Broglie 1892 1987 )，法国物理学家。1913年大学毕业后到军队工作了六年，从事历史学的研究，后受其兄的影响改行研究物理。1924年在向巴黎大学提交的一篇博士论文中提出物质波学说德布罗意波，时年30岁左右。1927年，戴维孙和革末用实验证实了电子具有波动性，此后，人们相继证实了原

21、子、分子、中子等都具有波动性。德布罗意于1929年获得诺贝尔物理学奖。第46页，共105页。 德布罗意认为：“自然界在许多方面是对称的，一切实物粒子和光子一样，也具有波粒二象性。”.如同光子与电磁波联系一样，一切实物粒子（m0 0）也联系着一种波德布罗意波或物质波；.如同光子一样，物质波的波长、频率与物质粒子的能量、动量满足下列关系：第47页，共105页。 电子静止质量 m0=9.110-31Kg，以v=6.0106m/s 速率运动。质量 m= 50Kg的人，以 v=15 m/s 的速度运动，试比较电子与人的德布罗意波长。解： 可见，宏观物体是由于质量太大使得其波长极小，实验根本观察不到，所以

22、宏观物体不必考虑其波动性，只需考虑粒子性；微观实物粒子（如电子）一般由于其速度较大，使得其德布罗意波长较小而不易观察。例第48页，共105页。 两束电子，其动能分别为100eV和200eV，求电子的德布罗意波长。解： 电子的波长与x射线接近，其波动性可通过实验检测出来。例第49页，共105页。15.3.2 实验验证 1927年美国物理学家戴维孙和革末用电子衍射实验证实了电子具有波动性。获得1937年的诺贝尔物理学奖。 如图，灯丝K发出的电子束通过狭缝后，垂直投射到镍单晶体上。在散射角不变时，测量在不同加速电压下晶体散射的电子束的强度发现，当加速电压U=54V时，沿=50的散射方向探测到电子束的

23、强度出现一个明显的极大。探测器电子枪散射线K电子束镍单晶第50页，共105页。 1927年英国物理学家汤姆生也独立地完成了电子多晶体衍射实验。由此与戴维孙共获1937年的Nobel物理学奖。 如图所示，灯丝K发出的电子束经加速后通过狭缝，垂直投射到多晶薄片上，穿过薄片后在底片上形成衍射图样。屏多晶薄片高压栅极阴极第51页，共105页。15.4 不确定关系 在经典力学中，对宏观物体的运动我们可以同时用确定的坐标和确定的动量来描述。这是经典力学赖以保持有效的关键。1. 问题的提出 那么，对具有波粒二象性的微观粒子，是否也能用确定的坐标和确定的动量来描述呢？ 量子力学可严格证明，微观粒子坐标和动量的

24、不确定度之积为： 即，对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述，这就是海森伯不确定度关系（测不准关系）。第52页，共105页。2. 电子的单缝衍射 设一电子束垂直入射缝宽为a的单缝，电子的动量为： 考虑单缝衍射的中央零级条纹，有： 如果仍用坐标和动量描述电子的运动，那么电子通过狭缝时，是从缝上的哪一点通过的呢？即电子通过狭缝的坐标 x 为多少？对此我们无法准确知道，但其位置的不确定量为： 通过狭缝后，电子动量的大小不变，但由于衍射效应，电子动量的方向发生了变化，其改变量为：第53页，共105页。.坐标和动量不能同时具有确定的数值；坐标或动量越准确，则与之对应的量就越不确定；.不确定度

25、关系是由于微观粒子的本质特性波粒二象性决定的，并非由于实验仪器、实验技术和方法的不精确所致，即使是无误差的理想实验，也不能排除量子体系这一固有的特性。说明：.由单缝衍射理论可知，当缝宽缩小时，电子位置坐标的确定度提高，但通过狭缝后的电子动量的不确定度变大，与之联系的是单缝衍射效应明显。第54页，共105页。.对宏观粒子，因 h 很小，所以 ,可视为位置和动量能同时准确测量。.不确定度关系也存在于能量和时间之间,即：第55页，共105页。子弹质量为10g，枪口直径为0.5cm，子弹从枪口出射速度为1000m/s。求子弹射出枪口时横向速度的不确定度。解： 由不确定度关系：和子弹的飞行速度相比，横向

26、速度可忽略不计，所以子弹的运动用经典力学描述是足够准确的。例 1第56页，共105页。15.5 波函数 薛定谔方程 德布罗意公式指出了实物粒子与波的联系，但没有给出描述德布罗意波的函数及其意义。不了解波函数本身及其变化规律，就不能预言粒子（波）的运动情况。问题的提出：薛定谔方程 薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子运动状态的基本定律.薛定谔方程在量子力学中的地位，相当于牛顿运动方程在经典力学中的地位。第57页，共105页。波函数是描述微观粒子运动状态的量。15.5.1 实物粒子波函数1. 波函数的定义机械波由欧拉公式可将上两式写成复数形式：2. 经典力学中平面波的波函数电磁波取其实部就是经典力学

27、中的波函数。第58页，共105页。3. 量子力学中平面波的波函数 一个能量为E，动量为p的自由粒子，由德布罗意假设，其物质波的波长和频率为： 从波动的观点来看，这表示一列单色平面波，其波动方程为：一般地：第59页，共105页。15.5.2 薛定谔方程1.薛定谔简介： 薛定谔（Erwin Schrodinger，18871961）奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，1926年建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定

28、谔对原子理论的发展贡献卓著，于1933年获诺贝尔物理学奖。第60页，共105页。已知能量为E，动量为p的自由粒子的波函数为：如果粒子的速度远小于光速，则不必考虑相对论效应，粒子的动能可用下式表示：2. 薛定谔方程对波函数求x的二阶导数：第61页，共105页。对波函数求t的一阶导数：.由于粒子是自由的，则有：讨 论：这就是一维自由粒子的薛定谔方程第62页，共105页。.若粒子在势场中运动，则有：这就是一维势场中粒子的薛定谔方程.如果是三维情况，则上式推广为：这就是一般的薛定谔方程哈密顿算符第63页，共105页。.如果势能函数与时间无关，这样的问题称为定态问题。 薛定谔方程的意义在于：要想知道微观

29、粒子的运动状态，即它的波函数。只要告诉粒子的质量及其在势场中的势能函数即可，剩下的就是根据初始和边界条件求解方程。令：第64页，共105页。 上式左边是空间坐标的函数，右边只是时间的函数，要使等式成立，只有两边都等于一个常数。单位：Js第65页，共105页。 上式称为定态薛定谔方程。如果方程可解，则波函数可知，则粒子在空间分布的几率密度为： 可见几率密度与时间无关，由于这个性质，将此类问题称为定态问题。处理定态问题的关键和核心是求解定态薛定谔方程。第66页，共105页。15.5.3 波函数的物理意义几率密度对于物质波， 无直接的物理意义，有意义的是：波的强度振幅的平方能流密度德布罗意波的统计意

30、义：某处物质波振幅的平方（物质波的强度）与粒子在该处附近出现的几率成正比。几率密度波的强度振幅A2粒子密度几率第67页，共105页。粒子观点电子密处，几率大；电子疏处，几率小。波动观点电子密处，波强大；电子疏处，波强小。电子衍射图样的形成是由于电子在各处出现的几率不同：dV 上式表示在空间某点，单位体积内粒子出现的几率，也就是几率（体）密度。这就是波函数的物理意义。第68页，共105页。. 由于在整个空间，粒子出现的几率为1，则有：称为波函数的归一化条件。. 由于在一定时刻，粒子在空间某点出现的几率是惟一的、有限的，并且随着位置的变化，几率的变化应当连续。所以波函数必须是空间的单值、有限、连续

31、的函数，这一条件称为波函数的标准化条件。. 波函数描述的即不是机械波，也不是电磁波，而是几率波。虽无实际意义，但其模方具有几率密度的意义。 说明：第69页，共105页。15-6 一维无限深势阱和势垒15.6.1 一维无限深势阱1.模型： 设质量为m的粒子只能在0 xa的势阱中运动，其势能函数为：2.一维无限深势阱中粒子的波函数：第70页，共105页。 设质量为m的粒子只能在0 xa的势阱中运动，其势能函数为： 由于势能U(x)与时间无关，则此问题属于定态问题，且属于一维情况。则由定态薛定谔方程：表明粒子不可能在势阱外出现第71页，共105页。令： 则方程的解为：由于波函数必须满足单值、连续的条

32、件，则有：又因为波函数需满足归一化条件，有：第72页，共105页。则一维无限深势阱中粒子的波函数为：上式给出了粒子在势阱中的运动状态。则定态薛定谔方程的解为：第73页，共105页。3. 粒子在势阱中的波函数曲线和几率密度分布曲线取波函数的实部，有：这是一驻波方程取波函数的模方，得粒子的几率密度分布：驻波方程：几率密度：第74页，共105页。4. 粒子能量的量子化由： 可见，粒子在势阱中的能量是量子化的，n称为能量量子数，En称为此问题中能量E的本征值，相应的波函数称为本征解或本征函数。能量的量子化在量子力学中是自然的结果，并不需要人为的假设。称为粒子的基态能，零点能。第75页，共105页。 经

33、典理论中，处于无限深势阱中的粒子能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，在各处出现的几率相等。而在量子力学中，粒子的能量是量子化的，粒子在阱内各处出现的几率不等。当n 很大时，相邻波腹靠得很近，接近于经典力学的粒子在各处几率相同。第76页，共105页。 计算一维无限深势阱中的粒子处于第一激发态时，在区间0.5a,0.75a内出现的几率。 解：粒子在势阱中的几率密度分布公式为：则粒子在0.5a,0.75a内出现的几率为：例 1第77页，共105页。15.6.2 一维方势垒、隧道效应1. 一维方势垒 设质量为m的粒子在如图所示的势场中沿x方向运动，其势能函数分布为：2. 隧道效应 设粒子在 x a

34、的区域。但在量子力学中，粒子在势垒内和势垒右侧区域的波函数都不为0.第78页，共105页。3. 隧道效应本质及应用隧道效应的本质:来源于微观粒子的波粒二象性。 1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描隧道显微镜 ( STM, Scanning Tunneling Microscopy ), 可观测固体表面原子排列的状况。1986年宾尼希又研制了原子力显微镜(AFM , Atomic Force Microscopy)。钻石中的原子第79页，共105页。15.7 氢原子的量子力学简介 19世纪末期以前，人们一直认为原子是组成物质的、不可分割的最小单元。但是19世纪末的一些重大发现（如

35、电子、x射线和放射性元素的发现等）打破了这样的认识，使人们逐渐认识到原子也是可分的。 1897年，汤姆生发现电子以后，人们就断定原子中除有电子以外，一定还存在着带正电的部分。而且原子内正、负电荷相等。电子和正电荷是如何分布的呢？原子是怎样组成的？原子的运动规律如何？对这些问题的研究形成了原子的量子理论。第80页，共105页。 粒子散射实验肯定了原子的核式结构模型，但它对核外电子的分布并没有提供什么信息。 原子的发光光谱则提供了这方面的信息。每种原子的发光光谱有其固定分布，可根据光谱分析物质元素的组成。氢原子作为最简单的原子理所当然成为人们研究的对象。15.7.1 氢原子的光谱第81页，共105

36、页。 1885年，瑞士物理学家巴耳末首先发现氢原子的可见光部分的谱线。巴耳末公式：称为里德伯常量。则巴耳末公式写成：令： ，称为波数。 第82页，共105页。 通过实验又进一步发现氢光谱的其他谱线系，可用推广的巴耳末公式来表示，称为广义巴耳末公式（或里德伯方程）：当 时，相应的谱线系称为：赖曼系（紫外区） 巴耳末系（可见光）帕邢系（红外区）布拉开系（红外区）普丰德系（红外区）哈弗莱系（红外区）第83页，共105页。紫外区红外区可见光巴耳末系帕邢系布拉开系普丰德系哈弗莱系赖曼系赖曼系巴耳末系帕邢系第84页，共105页。由里德伯方程可得：令 ,称为光谱项。称为里兹并合原理，即谱线的波数可以表示为两

37、光谱项之差。这一原理对碱金属原子的发光也是适用的。氢原子光谱的规律:.氢原子光谱是分立的线状光谱，各条谱线具有明确的波长。.每一谱线的波数都可表示为两个光谱项之差。k变化形成不同的谱线系；n变化形成不同的谱线。第85页，共105页。 由于原子核的质量比电子大得多，可以认为原子核不动，电子绕核运动，电子的电势能为：15.7.2 氢原子的薛定谔方程1. 氢原子模型2. 氢原子的定态薛定谔方程 由于电子的电势能与时间无关，则氢原子问题属于定态问题，相应的定态薛定谔方程为：第86页，共105页。 考虑到氢原子系统具有球对称性，所以采用球坐标比较简单，其中：代入上边的定态薛定谔方程，有：采用分离变量法，

38、设：第87页，共105页。 其中，ml 和=l(l+1)是引入的常数，ml 称为磁量子数； l 称为角量子数。求解上述三个方程，并考虑到波函数应满足的标准化条件，即可得到波函数：代入整理可得三个独立的方程第88页，共105页。 求解方程(1)时，为了使R(r)满足标准化条件，氢原子的能量必须满足量子化条件：氢原子的基态能量。称为主量子数。 上述结果和玻尔理论一致，但在这里是自然而然的，不需人为的假设。 求解方程(2)和(3)时，要使方程有确定解，电子的角动量必须满足量子化条件：称为角量子数或副量子数。第89页，共105页。氢原子的能级跃迁与光谱系赖曼系巴耳末系帕邢系布拉开系普丰德系-13.6-

39、3.39-1.51-0.85-0.540En(eV)12354基态激发态电离态第90页，共105页。 求解方程(3)时，还要求电子角动量的空间取向必须是量子化的。则其在z轴的投影也是量子化的，由计算可知：m 称为磁量子数。 对于给定的角量子数l ， ml可取（2l+1）个值，这表明角动量在空间的取向有（2l+1） 种可能。这种现象称为角动量空间取向量子化，简称空间量子化。第91页，共105页。 通过求解氢原子的定态薛定谔方程可以得到电子的定态波函数为：15.7.3 氢原子中电子的几率分布电子云 对应每一组量子数（n, l, ml)，波函数描述一个确定的状态： 则氢原子中处于定态（n, l, ml)的电子在原子核周围的几率密度分布为：第92页，共105页。则电子在体积元 内出现的几率为：则电子在半径 的球壳体积元 内出现的几率为：这是电子几率密度的径向分布，与ml无关，只与n、l有关。第93页，共105页。氢原子的电子云图 为了形象地表示电子的空间分布规律，通常将几率大的区域用浓影、几率小的地方用淡影表示出来，称为电子云图。第94页，共105页。 对氢原子而言，若它的核外电子处于1s态，即n =1，l =0，则ml =0 。将氢原子置于外磁场中，电子的附加能量为0。如果让这样的氢原子垂直通过磁场，则氢原子的运动方向将保