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文档简介

1、第五节一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十一章 第1页，共26页。一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面麦比乌斯带（莫比乌斯带）曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共26页。玩一玩： 莫比乌斯带 单侧曲面第3页，共26页。其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0; 后侧取 cosa 0; 左侧取 cosb 0; 下侧取 cosg 0)第13页

2、，共26页。例1. 计算是以原点为中心, 边长为a的正立方体整个表面的外侧.解: 利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧机动 目录 上页 下页 返回 结束 (x + y)dydz + (y + z)dzdx + (z + x)dxdy, 其中第14页，共26页。解: 把 分为上下两部分根据对称性 思考: 下述解法是否正确:例2. 计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页，共26页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，共26页。四、两类曲面积分的联系 设光滑曲面 S: z = z (x, y), (x, y)Dxy ，取

3、上侧，是 上的连续函数, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，共26页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页，共26页。令向量形式( A 在 n 上的投影)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页，共26页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，共26页。例3. 计算曲面积分其中解: 利用两类曲面积分的联系, 有于是 原式 =旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，共26页。原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，共26页。内容小结定义:1. 两类曲面积分及其联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质:联系:第23页，共26页。2. 常用计算公式及方法曲面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (2) 积分元素投影第一类: 面积投影第二类: 有向投影(3) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 当S: z = z (x, y), (x, y) Dxy 时,（上侧取“+”, 下侧取“”)(方程不同时分片积分)第24页，共26页。类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与第25页

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