福建省龙岩市上杭县2022届高三下学期5月模拟考数学试题【含答案】

1、福建省龙岩市上杭县2022届高三下学期5月模拟考数学试题题号一二三四五总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1已知复数，则（）A2B3CD2已知集合，则（）ABCD3已知圆锥的表面积为3，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）ABCD4江南的周庄、同里、用直、西塘、号镇、南浔古镇，并称为江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴，清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴依软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处，某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅

2、游，则至少选一个苏州古镇的概率为（）ABCD5我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（）倍.A1BCD6如图，在平面四边形中，分别为，的中点，若，则实数的值是（）ABCD7设双曲线C：的左右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（）ABCD8设实数，若不等

3、式对恒成立，则t的取值范围为（）A BCD评卷人得分二、多选题9下列结论正确的是（）A命题“的否定是B已知回归模型为，则样本点的残差为C若样本数据的方差为2，则数据的方差为8D若的展开式中各项的二项式系数之和为32，则展开式中项的系数为10设函数的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（ ）AB在单调递减C的周期为D把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为11已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（）A的最小值为1B的最小值为C的最小值为4D的最小值为12为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了诵经典，获新知的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和

4、一个托盘组成，如图，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图.则下列结论正确的是（）A经过三个顶点的球的截面圆的面积为B异面直线与所成的角的余弦值为C直线与平面所成的角为D球离球托底面的最小距离为评卷人得分三、填空题13曲线在处的切线的倾斜角为，则_.14若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则_.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)15设，则的大小关系为_.（从小到大顺序排）评卷人得分四、双空题16已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为_；若数列为等差数列，_评卷人得分五、解答题17如图，在四边形中，(1)证明：为直角三角形

5、；(2)若，求四边形面积S的最大值18中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价（元/件）88.28.48.68.89销量（万件）908483807568(1)（i）根据以上数据，求关于的线性回归方程；（ii）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润.(2)为了解该产品的价格是否合理，在试销平台上购买了该产品的顾客中

6、随机抽了400人，阅读“购买后的评价”得知：对价格满意的有300人，基本满意的有50人，不满意的有50人.为进一步了解顾客对该产品价格满意度形成的原因，在购买该产品的顾客中随机抽取4人进行电话回访，记抽取的4人中对价格满意的人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.（视频率为相应事件发生的概率）附：参考公式：回归方程，其中，.参考数据：，.19设为等差数列的前n项和，且，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前30项和20如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF=2BE=2，EF=3(1)证明：平面ACF平面BEFD；(2)若二面角A-EF

7、-C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值21已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T(1)求曲线C的方程；(2)设点P、T的横坐标分别为x1，x2，证明：x1x21；(3)设TAB与POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且，求的取值范围22已知函数(1)证明：当时，；(2)记函数，判断在区间上零点的个数答案：1D【分析】先求，结合复数的模求解公式即可求解【详解】因为，所以，则，所以故选：D2B【分析】由分式不等式求得集合，再根据并集的原则求解即可.【详解】对于集合，满

8、足，即，解得，即，又，所以，故选：B3C【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由，得，又，所以，解得；所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为故选：C4D【分析】根据题意，结合组合数公式求得基本事件的总数为种，再求得至少选一个苏州古镇的不同的选择种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，共有种不同的选择方式，则至少选一个苏州古镇，有种不同的选择方式，所以至少选一个苏州古镇的概率为.故选：D.5A【分析】由题意可得，再根据结合两角差的正切公式即可得解.【详解】解：由题意可得，所

9、以，即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.故选：A.6D【分析】根据题意得分别求出和的坐标，再分别求出和的坐标，再利用数量积坐标运算求解即可.【详解】根据题意得：，,因为，分别为，的中点，所以，所以，又，即，解得.故选：D.7A【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率,【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径等于圆心到切线的距离，即，又该圆过线段的中点，故，所以离心率为.故答案为.8B【分析】对恒成立，即，令，对求导得出在单调递增，故，故，问题转化为.【详解】对恒成立，即，即，令，则，故在单调递增，故

10、，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故.故选：B9ABC【分析】根据命题的否定可判断A，根据残差的计算即可判断B，根据方差的性质即可求解C，根据二项式系数和可求，再根据通项即可求解.【详解】对于A,命题“的否定是,故正确；对于B,当时，故残差为，故正确，对于C,由方差的性质可知：的方差为，故正确，对于D,的展开式中各项的二项式系数之和为，故的通项为，令，故项的系数为，故错误，故选：ABC10BC【分析】把函数式化为一个角的一个三角函数形式，根据三角函数的性质求出参数值，然后判断各选项【详解】由已知，所以，又，又，所以，A错误；，时，由余弦函数性质得B正

11、确；是偶函数，周期为，C正确；把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数解析式这，D错故选：BC11AC【分析】根据抛物线的性质判断A，根据圆的性质判断B，结合抛物线的定义判断C，D.【详解】抛物线焦点为，准线为，作出图象，对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确；对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误；对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误故选：AC.12BCD【分析】求出外接圆面积判断A，作出异面直线所成的角并求出这个角后判断是B，根据直线民平面所成的角定

12、义判断C，求出球心到平面的距离可判断D【详解】根据图形的形成，知三点在底面上的射影分别是三边中点，如图，与全等且所在面平行，截面圆就是的外接圆与的外接圆相同由题意的边长为1，其外接圆半径为，圆面积为，A错；由上面讨论知与平行且相等，而与平行且相等，因此与平行且相等，从而是平行四边形，所以是异面直线与所成的角（或其补角）由已知，B正确；由平面与平面垂直知在平面内的射影是，所以为直线与平面所成的角，此角大小，C正确由上面讨论知，设是球心，球半径为，由得，则是正四面体，棱长为1，设是的中心，则平面，又平面，所以，则，又所以球离球托底面的最小距离为，D正确故选：BCD关键点点睛：本题考查空间折叠问题，

13、掌握空间的垂直关系是解题关键由垂直平行关系得出与全等且所在面平行，从而易得截面圆与的外接圆相同，从而可得，得异面直线所成的角，得直线与平面所成的角，根据正四面体积的性质求得其高，得出距离的最小值13【分析】对函数求导代入，即可得出，进而可得结果.【详解】则故14型的都对【分析】本题属于开放性题，只需填写符合题意的答案即可，依题意可以判断函数在上单调递增，又，（且，）即可得解；【详解】解：对于任意实数，当时，都有，说明该函数在上单调递增，又对数函数满足运算性质：，故可选一个递增的对数函数：故15【分析】构造函数和，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.【详解】记，则，当时，,故在上单调递增，故

14、，故，记，则，当时，,故在单调递减，故，故，因此故16 44【分析】根据题意计算的值，从而可求出其对称中心，由等差数列的性质结合，可得，再利用等差数的性质和的对称性可求出的值【详解】因为，所以，所以的图象的对称中心为，即为，因为等差数列中，所以，得，因为的图象的对称中心为，所以， ，因为，所以 ，故，4417(1)证明见解析(2)12【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；（2）由与，结合与基本不等式求解即可（1），由与余弦定理，整理得，为直角三角形（2），由，得（当且仅当时取等号）所以四边形面积S的最大值为1218(1)（i）；（ii）产品的单价定为9.75元(2)分布列见解析，3【分

15、析】（1）利用最小二乘法求解；（2）根据题意得到对价格满意的频率为，基本满意和不满意的频率为，然后由随机变量求解.（1）解：（i），.，回归直线方程为.（ii）设工厂获得的利润为万元，则，该产品的单价定为9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为151.25万元.（2）由题设可知对价格满意的频率为，基本满意和不满意的频率为，随机变量，随机变量的分布列如下表：01234随机变量的数学期望为.19(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为d，由，求解；（2）由（1）得到，然后计算即可.（1）解：设等差数列的公差为d，由，得：，解得，故数列的通项公式为；（2）由（1）可知，故，首先对任意的都有，于

16、是.20(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质证明即可；（2）以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，再利用线面角的向量求法求解即可（1）四边形ABCD是菱形，ACBDBE平面ABCD，BEAC，BDBE=B，AC平面BEFD，平面ACF平面BEFD（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得ACBD，分别以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，BE平面ABCD，BEBD，DFBE，DFBD，BD2=EF2-(DF-BE)2=8，BD=2设OA=

17、a(a0)，则A(a，0，0)，C(-a，0，0)，E(0，1)，F(0，-，2)，=(0，-2，1)，=(-a，1)，=(a，1)设是平面AEF的法向量，则，即，令z1=2，是平面AEF的一个法向量，设，是平面CEF的法向量，则，即，令z2=2， 二面角A-EF-C是直二面角，a=BE平面ABCD，BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，AB=2，tanBAE=故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为21(1)(2)证明见解析(3)(0，1【分析】（1）设椭圆的方程为，依题意可得A（1，0），B（1，0），推出b1，又椭圆的离心率为，解得a2，即可得出答案（2）设点P（x1，y1），T（x2

18、，y2）（xi0，yi0，i1，2），直线AP的斜率为k（k0），则直线AP的方程为yk(x+1)，联立椭圆的方程，解得x2，同理可得，进而可得x1x21（3）由（2）得，由，得，再计算S1，S2，结合基本不等式得S12S22的取值范围（1）设椭圆的方程为，依题意可得A（1，0），B（1，0），所以b1，因为椭圆的离心率为，所以，即a24，所以椭圆方程为（2）证明：设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi0，yi0，i1，2），直线AP的斜率为k（k0），则直线AP的方程为yk(x+1)，联立方程组，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k240，解得x1或，所以，同理联立直线AP和双曲线可得，所以x1x21（3）由（2），因为，所以，即，因为点P在双曲线上，则，所以，即，因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以，因为，所以由（2）知，x1x21，即，设，则1t3，则设f（t）5t5（t）541，当且仅当，即t2时取等号，结合对勾函数单调性知函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，3上单调递减因为，所以f(1)f(3)，所以的取值范围为（0，122(1)证明见解析(2)个零点【分析】（1）求导后可知在上单调递增，由可得结论；（2）由可知是的一个零点；分别在、和的情况下，结合零点存在定理判断导函数的正负，从而得到的单调性，确定区间内零点个数，得到在上的零点个数；根据奇函数性