专题04等时圆问题（解析版）

1、专题04等时圆问题.如下图，Pa Pb Pc是竖直面内三根固定的光滑细杆，P、a、b 。位于同一圆周上，点d为圆 周的最高点，。点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从。处释放（初速 为。），用力、，2、依次表示各滑环到达。、8、。所用的时间，那么（ ）A. txt2t2 t3C. t3tx t2D. tx=t2= t3【答案】B【解析】以。点为最高点，取合适的竖直直径在作圆，如图虚线所示三个滑环从P静止释放到达虚线圆上/、g、6的时间设为如杆与竖直方向的夹角为a,虚线圆的直径为小根据位移时间公式可得dcosa =!gcosa/解得3那么知虚线圆为等时圆，即从0 2V

2、 g至I/、b、g是等时的，比拟图示位移出/，PcPg,故推得h乂2%故B正确，ACD错误。应选B。.如下图，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，Q点为圆周的最 高点，bd为圆周的一条直径。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环环分别从。、b、c处静 止释放，用h、t2、3依次表示滑环到达d所用的时间，那么（）A. tlt2t3C. t3tlt2D. tl=t2=t3【答案】A【解析】过d点做竖直线，过da、db和de分别作以竖直线为直径的圆，对小滑环，受重力和支持力，将 重力沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，根据牛顿第二定律得小滑环做初速为零

3、的匀加速直线运动的加 速度为4 = gsin8 （。为杆与水平方向的夹角）由图中的直角三角形可知，小滑环的位移S = 2Rsin8 所以庐邛x2吗公怪可知所作圆直径越大,下落时间t越大；应选A。V a V gsin。 V g.如下图，在倾角为。二30&的斜面上方的八点处悬挂一光滑的木板AB, B端刚好在斜面上.木板与竖直 方向4c所成角度为戊，一小物块自八端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，那么Q角的大小 为（）A. a=102a= 15530。a=60-【答案】B【解析】如下图:在竖直线AC上取一点。，以适当的长度为半径画圆，使该圆过4点，且与斜面相切与。点，根据等时圆的结论可知

4、：A点滑到圆上任一点的时间都相等，所以由A点滑到。点所用时间比由A 到达斜面上其他各点时间都短，将木板下端8点与。点重合即可，而角C。为。所以。=5=15。，应选B.如下图，在斜面上同一竖直面内有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，。8杆与。杆等长，OC杆与 斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，四个环分别从。点由静止释放，沿04 OB、OC、。滑到斜面上所用的时间依次为5匕、t3、U.以下关系正确的选项是()tlts12 =七412Vt4【答案】D【解析】以OA为直径画圆，根据等时圆模型，对小滑环，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，根据牛顿第二定律得小滑环

5、做初速为零的匀加速直线运动的加速度为a=gcos0(0为杆与竖直 方向的夹角)由图中的直角三角形可知，小滑环的位移S=2Rcos6所以t=，=、空=把零=竺，t与0无关, V a V geos， V g可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到底所用时间相同，故沿0A和0C滑到底的时间相同，即ti=t3, 0B不 是一条完整的弦，时间最短，即0D长度超过一条弦，时间最长，即12Vt4.故ABC错误，D正确 应选D.如下图，AD是固定斜面体底边BC的高，F、G分别是光滑斜面AB、AC的中点，DE垂直于AB,DH垂直于AC,甲、乙两个小球（均视为质点）从斜面的顶点A分别沿斜面AB、AC同时由静止下滑，以下说

6、法正确的是A.当甲球运动到E点时, B.当甲球运动到E点时, C.当甲球运动到F点时, D.当甲球运动到F点时,A.当甲球运动到E点时, B.当甲球运动到E点时, C.当甲球运动到F点时, D.当甲球运动到F点时,乙球可能运动到AG间某点乙球一定运动到H点乙球一定运动到G点乙球一定运动到H点【答案】B【解析】设斜面AB和AC的倾角分别为a, p, AD=h,那么小球在两个斜面上下滑的加速度分别为q = gsina , 生= gsin/7,当小球甲到达E点时所需时间 = J詈 =R，同理乙球到达H点所需时间也为L =杼 即当甲球运动到E点时，乙球一定运动到H点，选项B正确，A错误；甲球到达F点的

7、时间,_ 1 伍，同理乙球到达G点的时间为。=二、口，因a不一定等于B，故当甲球运动h = 1:Lsin。、gV g sin asina gx到F点时，乙球不一定运动到G点，选项C错误；a不能等于90。，故当甲球运动到F点时，乙球一定不能 运动到H点，选项D错误；应选B.如下图，让物体同时从竖直圆上的生、P2处由静止开始下滑，沿光滑的弦轨道P后、巳八滑到八处，P1A,巳八与竖直直径的夹角分别为、2那么（）A.物体沿P/、。2人下滑加速度之比为sin%:sin&B.物体沿PN、P2A下滑到八处的速度之比为cos%:cos为C.物体沿PN、。2八下滑的时间之比为1:1D.两物体质量相同，那么两物体

8、所受的合外力之比为cos9i：cos92【答案】BCD【解析】A.物体受重力、支持力，根据牛顿第二定律?3。=函解得 = gcos8物体沿生4、P2八下滑加速度之比为q：4 = geos，： geos% = cos:cos% ， A 错误；B.末速度为F =2a2Rcos6; Q = gcos6解得u = 27cos。速度之比为匕：岭=cos ：cos2, B正确;C.下滑的时间为2Rcose =G2, = gcos。解得/ =下滑的时间之比为C正确；2gD.合夕卜力之比为:6=2gcosq :2gcos62 =cosq :cos62，D 正确。应选 BCD。7.如下图，圆1和圆2外切，它们的

9、圆心在同一竖直线上，有四块光滑的板，它们的一端人搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2上，其中8、C, D三块板都通过两圆的切点，8在圆1上，C在圆1内，。在圆1外，八板与。板最低点交于一点Q （d）,且两板与竖直墙面的夹角分别为30。、60,从A、B、C,。四处同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到达叫板底端的时间分别为tA、通tc、tD,以下判断正确的选项是（）A.友最短B.攵最短C. tAtBD. tA=tD【答案】BCD【解析】设板与竖直方向的夹角为巴 沿板运动的加速度为：a = X = gcos6设上面圆1的半径为，下 m面圆2的半径为R,那么助轨道的长度为：s = 2cose+2Rco

10、s8根据位移时间公式得：s = L 那么口 处辿2 Ng故从上面圆1上的任一点沿光滑直轨道到达下面圆2的任一点的时间相等；因8在圆1上，C在圆1内，。在圆1外，且板的低端堵在下面圆2上，故有Y ；轨道Aa和Dd相交于最低点Q（d）, LAsin0A= LDsm0D2L2Lgeos。24g cos eA;=%24 geos 302L0geos%2除 sin %sin cos %国2La sin 30 /ig - sin60 -cos60那么对4。有：。=处幽= gcos。，L = 联立解得：i = m2故故有：左故A错误，BCD正确。应选BCD。（2020山东聊城模拟）如下图，ad、bd、cd是

11、竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆 周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个完全相同的小滑环（图中未画出），三个 滑环分别从3 c点无初速度释放，以下关于它们下滑到d的过程的说法中正确的选项是A.沿cd细杆下滑的滑环用时最长B.重力对各环的冲量中a的最小C.弹力对各环的冲量中c的最大D.各力对各环的冲量大小相等【答案】C【名师解析】此题为等时圆模型，设光滑细杆的长度为L,与竖直方向的夹角为那么L=2RcosB。小滑环沿光滑细杆下滑，由牛顿第二定律，mgcos0=ma,由匀变速直线运动规律，at?,联立解得：t=2E,由 2g此可知，三个滑环分别从c点无初速度

12、释放，所用时间相等，选项A错误；根据冲量的定义，l=Ft, 可知重力对各环的冲量相等，选项B错误；由于沿cd光滑细杆的小滑环所受的弹力最大，根据冲量的定义， l=Ft,可知弹力对各环的冲量中c的最大，选项C正确；由于三个滑环分别从3 c点无初速度释放的加速度不同，所受合外力不同，所以各力对各环的冲量大小不相等，选项D错误。【知识拓展】等时圆模型模型表述【】【】：（1）质点沿任一光滑弦自竖直圆最高点A从静止下滑至圆上另一点用时相等。（或者：质点从同一点 沿光滑直线从静止运动用时相等的点共圆。）（2）质点从圆上任一点沿光滑弦从静止下滑至最低点B用时相等。（或者：质点从不同点沿光滑直线 从静止运动至

13、同一点用时相等的点共圆。）（3）等时圆上质点运动用时等于质点从最高点A自由下落至最低点B所用时间：t=2其中R为 等时圆半径。9、（2018山东青岛模拟）如下图，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为 A, B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB长为镜R, AC长为2gR.现沿AB和AC建立两条光滑 轨道，自A处由静止释放小球，小球沿AB轨道运动到B点所用时间为5沿AC轨道运动到C点所 用时间为t2,那么ti与t2之比为（）A. 1 ： V2B. 1 ： 2C. 1 ： y3D. 1 ： 3【答案】A【名师解析】设AB与竖直方向的夹角为仇 那么AB = 2RcosO

14、=4R,所以。=45。，小球沿AB下滑的加速度为a=gcos0,解得小球在AB运动的时间为同理知小球在AC上运动的时间为t2=那么u与t2之比为i:也，选项a正确.（2018石家庄一模）如下图，A8为竖直平面内某圆周的竖直直径，C。为过0点且与AB成60。夹角的 固定光滑细直杆，两细直杆上各套有一个小球，小球可视为质点。两小球分别从C点由静止释放，小球从C点运动到。点所用的时间为3另一小球从C点运动到B点所用的时间为3那么h：t2等于1 ： 12 ： 1V2 ： 1V2 ： 2【答案】.C【命题意图】此题考查牛顿运动定律、匀变速直线运动规律及其相关的知识点。【解题思路】对沿CO光滑细杆上运动的

15、小球，由牛顿第二定律，mgsin300=mai，解得g=g/2；设CD=d,由匀变速直线运动规律，解得tJ-o对沿CB光滑细杆上运动的小球，由牛顿第二定律， 2Kmgsin60o=ma2,解得G二石g/2；光滑杆CB=d sinGOagd/2,由匀变速直线运动规律，石d/2=1a2t22,2解得t2=Ji A。t ： t2=2 A ：乱出=乱：1,选项C正确。【易错警示】解答此题常见错误主要有：一是把该题的情景误认为是等时圆模型，导致错选A；二是不能正 确运用相关数学知识得出CB光滑光滑杆的长度和倾角；三是没有正确运用牛顿运动定律和匀变速直线运动 规律，导致计算错误。（2019河南名校联盟2月

16、）如下图，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于 同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套着一个质量相等的小滑环（图中未画出）, 三个滑环分别从a、b、。处由静止释放，用匕、P2、P3依次表示各滑环从静止滑到d过程中重力的平均功 率，那么0A. Pl V P2 V PsB. Pl 。2 P3c.尸3 尸1 P?D.尸1 = P2 =【答案】B【名师解析】对小滑环，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，根据牛顿第二定 律得小滑环做初速为零的匀加速直线运动的加速度为Q = gsine（e为杆与水平方向的夹角）由图中的直角三 角形可知，小

17、滑环的位移S = 2Rsin8所以t = J* = Jj,与。无关，即匕=t? = J根据卬=瓶9人可知三个 环重力做的功名 例 名，根据P=f可知故笈正确、力切错误。 V【方法点拨】。先受力分析后根据牛顿第二定律计算出滑环沿任意一根杆滑动的加速度，然后根据位移时 间关系公式计算出时间，对表达式分析，得出时间大小关系，再根据重力做功的计算公式得到做的功大小, 根据功率计算公式求解。此题关键从众多的杆中抽象出一根杆，假设其与水平方向的夹角为。，然后根据 牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学公式求出时间表达式讨论。12. （2019甘肃省庆阳市调研）如图所 示，竖直面内有一个固定圆环，是它在竖直方

18、向上的直径.两根光滑滑轨MP、QN的端点都在圆周上,MPQN.将两个完全相同的小滑块、8分别从M、。点无初速度释放，在它们各自沿MP、QN运动到圆周 上的过程中，以下说法中正确的选项是（）A.合力对两滑块的冲量大小相同B.重力对。滑块的冲量较大C.弹力对滑块的冲量较小D.两滑块的动量变化大小相同【答案】C【名师解析】 这是“等时圆”，即两滑块同时到达滑轨底端.合力尸=mgsin。(。为滑轨倾角)，FFb，因此 合力对a滑块的冲量较大，a滑块的动量变化也大；重力的冲量大小、方向都相同；弹力万n = 2gcos仇 FnSFm 因此弹力对。滑块的冲量较小.选C.13.在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知 OB=Lo那么小环从A滑到B的时间为。【答案】Ao【名师解析】以0为圆心A为最高点，半径为L做等时圆，根据等时圆模型可知，小环从A滑到B的 时间为2 J自，选项D正确。14.在设计三角形屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地 流动。在屋顶宽度(2L) 一定的条件下，以下说法正确的选项是A.屋顶的倾角应该是60B.屋顶的