园轴扭转横截面上剪应力计算及扭转变形构件的强度与刚度条件

1、园轴扭转横截面上剪应力计算及扭转变形构件的强度与刚度条件本章要点（1）园轴扭转横截面上剪应力计算公式推导与应用（2）园轴扭转变形的计算（3）扭转变形构件的强度与刚度条件重要概念 外力偶矩、扭矩、扭矩图、圆柱形密圈螺旋弹簧、非圆截面杆扭转、自由扭转、约束扭转4-1 扭转的概念 作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。 FFM一、引例二、概念目录受扭转构件的受力特点在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等值，反向的力偶。mm变形特征：横截面绕轴线转动。 轴以扭转变形为主的杆件 -称为轴

2、本章主要讨论等直圆轴的强度刚度计算4-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图一、外力偶矩的计算 在工程实践中，外力偶矩往往不是直接给出的。而直接给出的往往都是轴所传递的功率和轴的转速。例如：下图中，外力偶矩没有给出，给出的仅仅是电动机的转速和输出的功率。如果我们要分析传动轴中某点处的应力情况，首先必须知道A端皮带轮上的外力偶矩，下面我们来看看如何根据电动机的转速和输出功率来求解外力偶矩M的大小。 AB已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为N千瓦。AB轴 的转速n转/分。则： 电动机每秒钟所作的功为：（a）设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为M则：M在每秒内完成的功为：(b) 由于M所作的功

3、也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功故：如果功率N以马力为单位，代入c式则可得：将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：（Nm） (c)（Nm） nn例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。 解：计算外力偶矩BCADMAMBMCMD三、扭矩的计算和扭矩图： 1、扭矩：横截面上的内力： (T /Mn)TTT=T 2、扭矩的计算 例2、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转

4、速n=300r/min，计算各段轴上所受的扭矩。 解：根据例1的计算结果可知各轮上的外力偶矩分别为：BCADMAMBMCMD112233 应用截面法将横截面1-1处假想的截开为二，如图，并保留左半部分为研究对象MB11xT1xBCMBMC1122T2DMD33T3xBCA 横截面3-3处的扭矩T3也可以利用33截面左边的受力平衡来解决。MAMBMC112233 从上述33截面上扭矩的两种计算方法所获得的计算结果可以看到，两个结果虽在数值上相等，但是在转向上却相反，由于二者均为同一截面处的内力，故其在正负号上应该一致，为了使二者的正负号一致。因此我们有必要进行正负号的规定。3、扭转正、负号的规定

5、：右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。扭矩符号规定：mITImIITmITImIIT4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化 的坐标图（与轴力图作法完全相同）。 扭矩图的作法同轴力图的作法完全一样。如图所示：以x轴表示杆件各横截面的位置，以垂直向上的纵轴表示Mn的大小。例3、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，试绘出各段轴的扭矩图。 解：从例2中可知，BC、CA、AD各段横截面上的扭

6、矩分别为： 如果不画坐标轴，那么一定要标明正、负号。在水平线之上为正，在水平线之下为负。目录 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm， mB10kNm, mC6kN m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。练习11122轮轴轴承6KNm4KNm一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A输入的功率为NA400KW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NBNC120KW，ND160KW。试画出此圆轴的扭距图。练习21122333.82kNm7.64kNm5.10kNm1、各圆周线绕轴有相对转动，但形状、大小及两圆周线间的距离不变。2、各纵向线仍为直线，但都倾斜了同一角度，原来的

7、小矩形变成平行四边形。 横截面上必有存在，其方向垂直于圆筒半径。 每个小矩形的切应变都等于纵向线倾斜的角度，故圆筒表面上每个小矩形侧面上的均相等。4-3 薄壁圆筒扭转时的应力 剪切虎克定律、纯剪切1、扭转实验圆周切线方向有剪应力在包含半径的纵面截面上无正应力横截面上没有正应力纯剪切 圆筒横截面上只有剪应力而无正应力， 在包含半径的纵面截面上也无正应力 对这种只有剪切应力而无正应力的情况，称为纯剪切。:剪应变直角的改变量例：三个正方形微元体受力后变形如图，求：三者剪应变2、横截面上剪应力的计算 用一平面从mm截面处假想的把杆件分成两部分，留左边部分为研究对象，由于筒壁的厚度很小可认为沿壁厚剪应力

8、不变 。由于圆周方向各点情况相同圆周各点的应力相等。 由 二、剪应力互等定理 用两组互相垂直的平面从薄壁筒中取出一个单元体，如图所示。 由上面的分析可知：在单元体的两侧面上分别受有一对大小相等，方向相反的剪应力。两面上的剪应力之合力组成了一个力偶： 推测：为了维持单元体的平衡，在上、下两个面上一定有剪应力的作用，分别记为 、 ，二者组成的力偶正好与 大小相等，方向相反，从而保持单元体处于平衡状态。由 由 剪应力互等定理 物理意义：在相互垂直的两个面上，剪应力必然成对存在，且数值 相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向 或背离这一交线，这就是剪应力互等定理。 试根据切应力互等定理，判断

9、图中所示的各单元体上的切应力是否正确。30kN例题三、剪切虎克定律： 扭转前，我们在薄壁筒的表面上画两对互相平行的直线如图所示，在右端面上再做出一条相应的半径“oe”。 扭后我们发现，原先所画的水平直线和半径 “oe”都移动到了图中斜线所示的位置，其中：水平线移动了一个角度，而右端面相对左端面则转动了一个角度 ，由图看中可看出： 分析：薄壁圆筒扭转变形的情况 1、公式推导 （c）（c） 然后，从薄壁圆筒中取出单元体abcd，发现单元体abcd受扭后，原先的直角也发生了改变，从图中可看出：这个直角的改变量正好等于，这个 也就是我们在绪论中提到的剪应变。 由式（c）可见：剪应变与扭转角成正比在做上

10、述的薄壁圆筒实验是，我们发现：当 时： 剪切虎克定律 G剪切弹性模量，单位同 常用GN/m22、E、G、u三者关系对各向同性材料： （37） 从上式中可看出：我们只要知道其中的两个，就可求出第三个。因此，三个弹性常数中只有两个是独立的。目录例题：挂架由AC及BC杆组成，二杆的EA相同，C处作用有载荷P。求：C点水平及铅垂位移解：C/ACBPaaa复 习4-1 扭转的概念 1 扭转 2 轴4-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 1 两个公式 2 扭矩的正负规定4-3 薄壁圆筒扭转时的应力 剪切虎克定律 1 应力计算方法和公式 2 剪切虎克定律公式 3 E G 之间的关系4-4 圆轴扭转时的应力和强

11、度条件 一、圆轴扭转时的应力受扭圆轴横截面上有何应力？其应力公式如何分析与推导？ 几何关系 应变分布 物理关系应力分布 平衡方程应力表达式应力分析方法试验观察1、变形几何关系：（1）圆轴扭转的平面假设： 圆轴的扭转变形实验：同薄壁圆筒的扭转相似，在圆轴表面上作纵向线和圆周线，如图所示：TT 1、各纵向线倾斜同角度2、各圆周线大小形状间距不变圆轴扭转时的应力变形特征 实验结果：各圆周线绕轴线相对的旋转了一个角度，但大小，形状和相邻两圆周线之间的距离不变，在小变形的情况下，各纵向线仍近似的是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度，变形前，圆轴表面的方格，变形后扭歪成菱形。 结论：圆轴变形前的横截面，变

12、形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。 圆轴扭转的基本假设：平面假设（2）剪应变的变化规律： 于是单元体abcd的ab边相对于cd也发生了微小的相对错动，引起单元体abcd的剪切变形。 如图所示：ab边对cd 边相对错动的距离是： 现从圆轴中取出长为dx的微段，即上图中的mm-nn之间微段，再于上述微段中取单元体abcd。若截面nn对mm的相对转角为 .根据平面假设，可知：横截面 nn相对于mm象刚性平面一样，绕角，半径oa也转过了一个 角到达oa。 轴线转了一个直角abc的角度改变量： （a） 圆截面a点处的剪应变，在垂直于半径oa的平面内。 同样道理

13、：在距离圆心为处的剪应变为： （b） 讨论：由图中可看出：（a）(b)两式中的 为扭转角 沿轴线x的变化率。对某一给定的截面来说，=常量。 2、物理关系：将剪切虎克定律代入上面的剪应变公式（b）中。 （c） 讨论：由于对于某一特定的横截面 =常数。 故由（c）式可看出： 再根据剪应力互等定理可知：在纵截面和横截面上，沿半径剪应力的分布规律如图所示： 对于某一特定的横截面来说 与 成正比。又因为 发生在垂直于半径的平面 内，所以 也与半径垂直。3、静力关系： 虽然前面已经求出了剪应力表达式，但由于该式中的 尚未求出，所以仍然无法用它计算剪应力，为此，我们还必须来研究静力平衡关系。 （1）公式推导

14、： 如图所示在横截面内取微分面积dA 则：整个横截面上的扭矩， A dA=T 故：Ip截面的极惯性矩（2） 讨论：公式4-6，4-7的适用范围：（4-7）（4-6）则：p 由公式可见，当时。代入，得：用p时的情况。b. 当圆形截面沿轴线的变化缓慢时，例如小锥度的圆锥形杆， 也可近似的应用以上公式。c. 由于在推导上述公式时运用了虎克定律，因此只适用于a. 由于上述公式是在平面假设的基础上导出的。试验结果表明，只有对横截面不变的圆轴，平面假设才是正确的。因此上述公式只适用于等直圆杆。dxTTdxIp截面的极惯性矩yxrdrRIp=A 2 dA横截面的极惯性矩对于实心圆截面对于圆环截面Wp=D 3

15、16Wp=D 316( 1- 4 )圆轴扭转时横截面上的切应力分布：T实心圆轴：T空心圆轴：二、强度条件不超过材料的许用剪切应力 。故强度条件为： 同拉伸和压缩的强度计算类似，圆轴扭转时的强度要求仍然是：讨论：的确定处），即：发生在Tnmax 处（扭转最大的截面 对于等截面直杆，不一定发生在Tnmax 对于阶梯形轴，因为Wp不是常量，所在的截面。这就要求综合考虑扭矩Tp和抗扭截面模量Wp两者的变化情况来确定。的值，从而可减小在作截面设计时，可以把杆件设计成空心杆件，以增大 Wp和的数值。强度条件可进行：强度校核; 选择截面; 计算许可荷载。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力t与许用

16、正应力之间存在下述关系：对于塑性材料 t 一0.577) 对于脆性材料， t (0.81.0) l式中， l 代表许用拉应力。目录TTTTT例1例汽车传动轴为无缝钢管， D90mm，t，材料为45钢。TMAX1.5kNm。t=60MPa，校核轴的强度。解:D90mm，t，TMAX1.5kNm。t=60MPa，校核轴的强度。结论：安全若： 把上例改为实心轴实心轴截面积空心轴截面积空心轴与实心轴截面积比复 习4-3 薄壁圆筒扭转时的应力 剪切虎克定律 1 应力计算方法和公式 2 剪切虎克定律公式 3 E G 之间的关系4-4 圆轴扭转时的应力和强度条件 1 圆轴扭转横截面上剪应力计算公式和Wp,I

17、p的公式2 扭转变形构件的强度条件 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。例2(A)(B)(C)(D)解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。 因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪

18、切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。 在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。 根据以上分析，正确答案是（C）一、圆轴扭转时的变形（a） 由上节内容可知：受扭杆件某一微段两端面的相对转角为：则：距离为L的两个横截面之间的相对转角为：4-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件（b） 扭转变形是用两个横截面绕轴线的相对扭转角来表示的讨论当两个截面之间Mn值不变，且轴为等直杆时， 故：（b）式为： （4-12）式中：

19、圆杆的抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱） 若在两截面之间Mn不为常量， 或轴为阶梯轴（ 时，则应分段计算各段的扭转角，然后相加，此时（b）式为：（c）二、刚度条件 对于传动轴，有时即使满足了强度条件，还不一定能保证它正常工作。例如：机器的传动轴如有过大的扭转角，将会使机器在运转中产生较大的振动；精密机床上的轴若变形过大，则将影响机器的加工精度等。因此对传动轴的扭转变形要加以限制。一般地说：标志杆件扭转变形的物理量有两个： 相对扭转角 单位长度扭转角 其中： 杆件中任一截面的变形程度，故而它不能作为衡量扭转变形的物理量。；随着x的变化而变化，所以它不能够完全表明；对于Tn值不变的等直杆来说

20、， 表示了 杆件中单位长度上的扭转角，在杆件中的任意长度上 的变形程度。故而可以作为衡量扭转变形的物理量。 ，因此它是完全表明了杆件内部各截面处若：记 ；杆件因扭转而破坏时的 值为 。 则： 允许扭转角 刚度条件讨论对于等直杆来说： 注意：此处由 得到的单位为弧度/米。rad/m而 的单位为度/米 0/m 故上面的刚度条件应改为：思考题1：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？816思考题2：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比d2D2的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。解：P1=14kW,

21、 P2= P3= P1/2=7 kWn1=n2= 120r/minn3= n1 z3z1=1203612=360r/minMx1=T1Mx2=T2Mx3=T3习题43：已知：输入功率P114kW, 功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴C，另一半由水平轴H输出。n1= n2= 120r/min, z1=36, z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求:各轴横截面上的最大剪应力。计算各轴的横截面上的最大切应力目录求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。习题44、已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内

22、外直径之比 。二轴长度相同。解：计算作用在轴上的扭矩计算轴中最大的剪应力实心轴空心轴d2，D2=23 mm二轴的重量之比=A1 :A2因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计Dd设平均半径 R0=(d+)/2空心圆轴设计当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩T=5kNm，许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。例1例411、已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。解：（1）（2）例3 图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M19KN

23、m，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M24KNm，M33.5KNm，M41.5KNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角24。G80GPa，60MPa。5kN4kN例5500500500例题6:图示等截面实心圆轴,已知外力偶矩MB=400N.m,MC，G=80GPa，=40MPa，=0.25 0/m。试确定轴的直径.MBAD5001250MC700MBMCMDMA解:平衡方程:变形协调方程:MA=20N.m, MD=220N.m 5001250700MBMCMDMAMA=20N.m, MD=220N.m 220N.m380N.m20N.m+-

24、强度条件:刚度条件: 已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。例9例46、在强度相同的条件下，用的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?如果，情况又将怎样？解：设实心轴的直径为 d1 ，由（）例2例49、一空心轴，转速n=250r/m, 功率=60kW，=40MPa，求轴的外直径D和内直径d。解：例3例7、传动轴传递外力偶矩5kNm,材料的

25、=30MPa, G=80GPa, =0.5/m,试选择轴的直径。解：目录 一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。例10因两杆扭转变形时无相对转动 4-5-2 等直圆杆扭转时的变形能xyz单元体外力作功应变能密度(比能)等直圆杆扭转时的变形能O4-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形一、对圆柱形密圈螺旋弹簧的基本假设： 1、 时，可省略 弹簧轴线在

26、同一平面内。的影响，近似地认为簧丝的横截面与2、当簧丝的横截面直径d远小于弹簧圈的平均直径D时，还可略去簧丝曲率的影响，近似的用直杆公式计算。二、弹簧丝横截面上的应力1、内力计算：(a)(b)由 2、应力计算：与剪力Q对应的剪应力 的计算：根据实用计算方法（即假设 均匀分布于横截面上），与扭矩T对应的剪应力 的计算方法 根据假设可知：计算方法与轴线为直线的圆轴的扭转应力的计算方法相同。得：横截面上的某一点处的应力： 在簧丝横截面上，任意点处的总应力是剪切和扭转两种剪应力的矢量和，在A点处，达到最大值。注：上式中，第一项代表剪切的影响，后一项代表扭转的影响。当 时， 与1相比，显然可以省略不计，从而可得：修正公式 上面的应力分析实际上是在：没考虑簧丝是个曲杆，假设 均匀分布两种情况下进行的，实质上是个近似计算。 现将以上两个因素考虑进去，即可