2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第10章第6节模拟方法-概率的应用

1、第六节模拟方法一一概率的应用考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型 的意义.抓基础自主学习|知识植理.模拟方法对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发 生的概率.用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验.几何概型（1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M,假设点M落在子区域G1 G_的概率与Gi的面积成正比.而与G的形状、位置无关.即P（点M落在Gi）,那么称这种模型为几何概型.（2）几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域、相应的概率是体 积之比或长度之比.学情自测 W W ,W :! TOC o 1-5 h z 1.（思

2、考辨析）判断以下结论的正误.（正确的打“，错误的打X）（1）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.（）1从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是10.（）（3）概率为0的事件一定是不可能事件.（）（4）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.（）答案 ，（2）X （3）X ，2.（教材改编）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球， 假设小球落在阴影局部，那么可中奖，小明要想增加中奖时机，应选择的游戏盘 是（） TOC o 1-5 h z 3221A 尸=3,呻12, P(C)=2 P=3, .P(A)P(C)=P(D)P(B).（2021全国卷R）某路口人行横道

3、的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯 持续时间为40秒.假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）7 A.WB5B.8c.8D.130B 如图，假设该行人在时间段 AB的某一时刻来到该路口，那么该行人至 少等待15秒才出现绿灯.AB长度为4015= 25,由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为401n 15=5,应选B. 408（2021唐山检测）如图10-6-1所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影局部，据此估计阴影局部的面积为 .0.Se 1 000图 10-6-1= 0.18. S正=1, ；S阴= 0.

4、18.0 x2,5设不等式组0y 2表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于 2的概率是【导学号：57962466】14 如下图，区域D为正方形OABC及其内部，且区域D的面积SD内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影局部的面积 S阴=4九，- 、4 .所求事件的概率p=z= 1 41明考向题型突破I考向与长度(角度)有关的几何概1L(2021全国卷I)某公司的班车在7: 30,8: 00,8: 30发车，小明在7: 50至8: 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么 TOC o 1-5 h z 他等车时间不超过10分钟的概率是()A.

5、13c2C 3C.3D, 4(2)如图10-6-2所示，四边形ABCD为矩形，AB = 2R,c IMmC 1PP圆的周长 2由直线y= kx与圆(x 5)2 + y2 = 9相交，得J点、3,一 033即 16k 9,解得一4k73_ _3一、一、,，4一43由几何概型的概率计算公式可知 P=42=3.I一向2|与面积幻总圈几何概型?角度1与随机模拟相关的几何概型例EB1 (2021全国卷H)从区间0,1随机抽取2n个数xi, x2,，xn, yi, 平,，yn,构成n个数对(x1, y1), (x2, y2),，(xn, yn),其中两数的平方和 小于1的数对共有m个，那么用随机模拟的方法

6、得到的圆周率冗的近似值为八4n A.mB.2nmC.4mnD.2mC 因为 x1, x2,，xn, y1, y2,，yn都在区间0,1内随机抽取，所以构成的n个数对(Xi, y1), (x2, y2),，(xn, yn)都在正方形OABC内(包括边界),如下图.假设两数的平方和小于1,那么对应的数对在扇形 OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个.用随机模拟的方法可得S扇形Se方形m m4ml=, 即4=,所以 k .n 4 nn ?角度2与线性规划交汇问题x0, 确定的平面区域记为Q1,不等式组yx2 0 0 x+ ya oab = 2X2X2 = 2,故P

7、=S OACD?角度3与定积分交汇的几何概型卜例百（2021福建高考）如图10-6-3,点A的坐标为（1,0）,点C的坐标为（2,4）,函数f（x） = x2假设在矩形ABCD内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率等于图 10-6-35点由题意知，阴影局部的面积i1 34x- 3x所求概率 规律方法S= 2（4 x2）dx=25 =3 i5S 35P=SABCD=K=12-.（文理共用）与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，根本方法是数形结 合.解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验 结果构成的平面图形，以便求

8、解.I考向3I与体积有关的几何概型卜例EJ在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，点O为底面ABCD的中 心，在正方体ABCD-AiBiCiDi内随机取一点P,那么点P到点。的距离大于i 的概率为（）冗A.i2冗B.1一立冗C.6B 设”点P到点O的距离大于i为事件A.那么事件A发生时，点P位于以点。为球心，以i为半径的半球的外部. V正方体=2 = 8, V半球=3冗，x2=3几.232 几3, 九一P(A) = 23 =1 i21规律方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总 空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解.变式训练2 如

9、图10-6-4,正方体 ABCD-AiBiCiDi的棱长为1,在正方体内随机取点M,那么使四棱锥M-ABCD的体积小于1的概率为6图 10-6-412 设四棱锥M-ABCD的图为h,由于V正方体=1.1 -1那么3 Sabcd h6,-1又 Sabcd = 1, h2,即点M在正方体的下半局部,12V正方体1所求卞s率p=h丁 = 21名师微博思想与方法1,古典概型与几何概型的区别在于：前者根本领件的个数有限，后者根本 领件的个数无限.2.判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系.(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：假设变量在线 段上移动，那么几何度量是长度；假设变量在平面区域 (空间区域)内移动，那么 几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的 区域.易错与防范1,易