2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第2章第7节函数的图像

1、第七节函数的图像考纲会运用函数的图像理解和研究函数的性质.抓基础自主学习I理教材.双基自主知识植理1.利用描点法作函数的图像方法步骤：(1)确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等);描点连线.2.利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)对称变换关于x轴对称丫 = f(x)的图像 y = f(x)的图像；关于丫轴对称丫 = f(x)的图像 y = f( x)的图像；关于原点对称丫;f(x)的图像 y= f(x)的图像；关于直线v=对称丫二ax(a0 且 aw 1)的图像 y=logax(a0 且 awl)的图像.(3)伸缩变换丫;f(x)的图像1

2、a1,横坐标缩短为原来的纵坐标不变 a1 y = f(ax)的 图像；0a1,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 y = af(X)的图像.0a y = |f(x)|的图像；x轴及上方局部不变游由右侧局部翻折到左侧丫:f(x)的图像 y = f(|x|)的图像.原y轴左侧局部去掉，右侧不变学情自测 : n .(思考辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“，错误的打X)(1)函数y = f(1 x)的图像，可由y = f( x)的图像向左平移1个单位得到.()(2)函数v= f(x)的图像关于y轴对称即函数y= f(x)与y=f( x)的图像关于y 轴对称.()(3)当xC(0, +oo)时，函数

3、y=f(|x|)的图像与v= |f(x)|的图像一样.()(4)假设函数丫=*乂)满足*1+乂)=K1乂),那么函数f(x)的图像关于直线x=1 对称.()答案(1)X (2)x (3)x ，.(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中 点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地.甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图像表示，那么以下给出的四个函数图像中, 甲、乙的图像应该是()图 2-7-1A.甲是图，乙是图B.甲是图，乙是图C.甲是图，乙是图D.甲是图，乙是图B 设甲骑车速度为V甲

4、骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑 步速度为V乙跑，依题意 V甲骑 V乙骑V乙跑 V甲跑，应选B.函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y=ex关于y轴 对称，那么f(x) = ()A. ex+1B. ex 1C. e x1D. e x 1D 依题意，与曲线y=ex关于y轴对称的曲线是y=e x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果，.-.f(x)=e (x+1)= e x 1. (2021浙江高考)函数y=sin x2的图像是()D . y=sin(x)2 = sin x2,函数为偶函数，可排除A项和C项；当x=,sin x2= sin 4金1,排

5、除B项，应选D.假设关于x的方程|x|=ax只有一个解，那么实数a的取值范围是【导学号：57962067(0, +)在同一个坐标系中画出函数y=|xpf y=a x的图像，如下图.由 图像知当a0时，方程x|=a x只有一个解.明考向题型突破IT%iSTf作函数的图像作出以下函数的图像:1(1)y= 2|; (2)y=|log2(x+1); TOC o 1-5 h z 2x 1o(3)y=-v; (4)y=x22|x|一1. xI一 ,11 、一解(1)先作出y= 2 x的图像，保存y= /x图像中x 0的局部，再作出y1-2|x|的图像，如图实1 V ,I=1x的图像中x0局部关于y轴的对称

6、局部，即得v=线局部.(2)将函数y= log2x的图像向左平移一个单位，冉将x轴下方的局部沿x轴翻 TOC o 1-5 h z 折上去，即可得到函数y= |log2(x+ 1)|的图像，如图.6分11 一(3)：y= 2+7,故函数图像可由y=一图像向右平移1个单包，再向上平x 1x移2个单位得到，如图 x 2x 1, x0,(4)：y= 2且函数为偶函数，先用描点法作出0, +8)x2+2x-1, x0,上的图像，再根据对称性作出(00, 0)上的图像，得图像如图 .12分规律方法画函数图像的一般方法(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的根本函数时，就可根据这些函数的特征直

7、接作出；(2)图像变换法.假设函数图像可由某个根本函数的图像经过平移、翻折、 对称得到，可利用图像变换作出.易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.变式训练1分别画出以下函数的图像：(1)y=|lg x|； (2)y= sinX|.lg x, 解lg x|= lg x, 0 x0时，y= sin|xpW y= sin x的图像完全一样，又 图像关于y轴对称，其图像如图 .识图与辨图例(2021全国卷I )函数y= 2x2e|x|在 2,2的图像大致为(。是ABB两点(2)(2021全国卷H)如图2-7-2,长方形ABCD的边AB=2, BC=1, 的中点.点P沿着边BC

8、, CD与DA运动，记/ BOP = x.将动点P到A距离之和表示为x的函数f(x),那么y=f(x)的图像大致为()【导学号：57962068】图 2-7-2= 2x23,个极值点,D (2)B (1)f(x) = 2x2 即|, xC 2,2是偶函数，又 f(2) = 8 e2C g(x)那么 gxl= 4x ex.又 g (0)0, g (2)0, . .g(x)在(0,2)内至少存在一.f(x) = 2x2 ex|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C应选D.(2)当点P沿着边BC运动，即0Wx&4tt,在 RtzXPOB 中，|PB|=|OB|tan/ POB = tan x,在

9、RtzXPAB 中，|PA|=/|AB|2+|PB|2 = 14 + tan2x,那么f(x) = |PA|+|PB|= wn&+ tan x,它不是关于x的一次函数，图像不 是线段，故排除A和C;当点 P 与点 C 重合，即 x=4M，由上得 f/ =、/4 + 124t + tan4= V5+ 1, 又当点P与边CD的中点重合，即x=2W，4PAO与PBO是全等的腰长为1 的等腰直角三角形，故f 2 = |PA|+|PB| = y2 + M2=2V2,知f 20且b*1)的图像如图2-7-4所示，那么函数y= 1ogb(x a)的图像可能是() _1 (1)A (2)C (1)由函数图像可

10、知，函数f(xf(x) = x那么x + oo时，f(x)一 x+ 8,排除D,应选A.由题图可得a1,且最小正周期T = /阳所以b2,那么y= logb(x a)是增函数，排除A和B;当x= 2时，y=logb(2 a) 0,x2 2x, x0,2|x|, x0,组).函数f(x)=有两个“伙伴点组，那么实数k的取值范In x , x 0围是()A. ( 8, 0)B. (0,1)1C. 0, 2D. (0, +00)B 根据题意可知，”伙伴点组的点满足: 都在函数图像上，且关于坐标原点对称.可作出函数y= ln( x)(x0)的图像,使它与直线y= kx- 1(x0)的交点个数为2即可.

11、当直线y=kx 1与y=ln x的图像相切时，设切点为(m, ln m),又y= ln x的导数为y=1, x即 km 1 = ln m,1k=m,解得 m=1, k=1,可得函数y=ln x(x0)的图像过(0, 1)点的切线的斜率为1,结合图像可知kC (0,1)时两函数图像有两个交点.应选 B.角度4求不等式的解集函数f(x)是定义在 4,4上的偶函数，其在0,4上的图像如图2-7-5. f x 所示，那么不等式fsx0,在 2，4 上，y= cos x0.由f(x)的图像知在1, J上上工 0,2 COS X因为f(x)为偶函数，y=cos x也是偶函数，所以v=上一为偶函数，c CO

12、S Xf x.、兀兀所以急 0的解集为一2，一 1 u 1, 2.规律方法函数图像应用的常见题型与求解方法(1)研究函数性质：根据或作出的函数图像，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值.从图像的对称性，分析函数的奇偶性.从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.从图像与x轴的交点情况，分析函数的零点等.(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值 (范围)：构造函数，转 化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形 结合求解.(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图 像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.名师微博0思想与方法.识图：对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋 势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图 像与函数解析式中参数的关系.用图：借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、 对称性等性质.利用函数的图像，还可以判断方程f(x) = g(x)的解的个数，求不