2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第4章第1节平面向量的概念及线性运算

1、第四章平面向量、数系的扩大与复数的引入深研高考 备考导航为教师备课、授课提供丰富教学资源五年考情考点2021 年2021 年2021 年2021 年2021 年平间向量的线性运算一全国卷I T7全国卷 H T13全国卷I T10一一平而向量根本定理及坐标运算一全国卷I T7一一一平间向量的数量积及其应用全国卷I T13 全国卷H T3全国卷m T3全国卷I T5全国卷I T15全国卷H T3全国卷I T13全国卷 H T13全国卷T13复数的相关概念及其运算全国卷I T2全国卷H T1全全国卷I T1全国卷H T2全国卷I T2全国卷H T2全国卷I T2全国卷H T2全国卷T3国卷m T2重

2、点关注.从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主 要考察平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量 积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四那么运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小.平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针 引线的载体作用.本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与”数的两个 特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁.导学心语.透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法那么是学好本章的根底.（1）向量的几何运算侧重于“形，坐标运算侧重于“数，要善于将二者有机结合 和转化.（2）平面向量的数量积是高考的

3、重点，要熟练掌握和运用.平面向量与其他知识的综合渗透充分表达了平面向量的载体作用.平面 向量的复习应做到：立足根底知识和根本技能，强化应用.复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算， 属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实的思想方法.第一节平面向量的概念及线性运算考纲 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运 算的性质及其几何意义.抓基础自主学习I知识梳理.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向

4、的量叫作向量,向量的大小叫作向量的长度(或也.零向量：长度为零的向量,其方向是任意的.(3)单位向量：长度为单位1的向量.(4)向量平行(或共线)：表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合、那 么称这两个向量平行或共线，规定零向量与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向一样的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.向量的加法和减法(1)加法法那么：服从三角形法那么，平行四边形法那么.运算律：交换律a+b= b+ a;结合律(a+ b) + c= a+(b+c).(2)减法法那么：减法与加法互为逆运算；服从三角形运算法那么.实数与向量的积实数人与向量a的积是一个向量，记作 词 规

5、定：长度：|同=曲；方向：当 红时，启与a的方向一样；当 0时,a与a的方向相反； 当人=0时，冶=0,方向任意.(2)运算律：设入户R,那么 XM=ma；(狂j)a电+; Xa+ b)= B+ 2b.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，假设存在一个实数入使得b=(,那么向量b与非零向量a共线.(2)性质定理：假设向量b与非零向量a共线，那么存在一个实数 使得上 =启.学情自测 TOC o 1-5 h z .(思考辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“，错误的打x)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2)彳贸设 a / b, b / c,

6、那么 a / c.()(3)a / b是a= ?b(入C R)的充要条件.(), 一 一，-1 Y(4)zABC 中，D 是 BC 的中点，那么 AD=2(AC + AB).()答案(1)X (2)X (3)X ， .一一 、一 一 一一，一_. . . 一一. (2021全国卷I)设D为4ABC所在平面内一点，BC = 3CD,那么()1 4 A.AD = -oAB + zAC 331 4 B.AD = 3AB3AC 4-1之C.AD = aAB+” 33 4 1 D.AD、AB ” 33A AD= AC+CD = AC+1BC = AC + 1(AC-AB) = 4AC-1AB = -1A

7、B + j4 333333AC.应选A. 一. . 一，. 、一. 一 一一，一_. . ,一 一 (2021银川质检)设点P是4ABC所在平面内一点，且BC+BA=2BP,那. 一么 pc+pa=.一 ._. 一一一. ， 一. ，,0 因为BC + BA=2BP,由平行四边形法那么知，点P为AC的中点，故PC一+ PA=0. .、 . (教材改编)?ABCD的对角线AC和BD相父于点O,且OA=a, OB=b, 一 .一那么DC =, BC=州a, b表小).b-a -a-b 如图，DC = AB = OB OA=b a, BC = OC OB= OAOB= ab.a与b是两个不共线向量，

8、且向量 a+ b与一（b3a）共线，那么 上【导学号：57962190 TOC o 1-5 h z _11七-k, 上3,3 由得 a+ 七=一k(b 3a),._ 得 13k=1，k= 3.明考向题型突破|考向11n平面向量的有关概念卜例给出以下六个命题：假设|a|= |b|,那么a= b或a= b；假设AB= DC,那么ABCD为平行四边形；假设a与b同向，且|a|b|,那么ab；入以为实数,假设治=肉，那么a与b共线；电=0（人为实数），那么人必为零；a, b为非零向量，a=b的充要条件是|a|=|b|且a/b.其中假命题的序号为.【导学号:57962191不正确.|a|=|b|.但a,

9、 b的方向不确定，故a, b不一定是相等或相反向量;不正确.因为AB=DC, A, B, C, D可能在同一直线上，所以 ABCD不定是平行四边形.不正确.两向量不能比拟大小.不正确.当壮尸0时，a与b可以为任意向量，满足电=由，但a与b 不一定共线.不正确.当 人=1, a = 0时，Oi = 0.不正确.对于非零向量a, b, a=b的充要条件是冏= |b|且a, b同向.规律方法1.（1）易无视零向量这一特殊向量，误认为 是正确的；（2）充分 利用反例进展否认是对向量的有关概念题进展判定的行之有效的方法. （1）相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.（2）共线向量（平行向量）和相

10、等向量均与向量的起点无关.假设a为非零向量，那么己是与a同向的单位向量，一昌是与a反向的|a| |a|单位向量. TOC o 1-5 h z 变式训练1设ao为单位向量，假设a为平面内的某个向量，那么a= |a|ao；假设a与ao平行，那么a=|a|ao;假设a与ao平行且|a|=1,那么a = ao.上述命题中，假命题的个数是（）A. oB. 1C. 2D. 3D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|ao的模一样，但方向不一定一样， 故是假命题；假设a与ao平行，那么a与ao的方向有两种情况：一是同向， 二是反向，反向时a=|a|ao,故也是假命题.综上所述，假命题的个数是 3.L艺2d

11、_一_面向量的线性运算1例（2。21全国卷I ）设D, E, F分别为 ABC的三边 BC, CA, AB 的中点，那么EB+FC =（）A.BC-1心B.2 A DC.ADr 1 fDB C(2)(2021广东广少M模拟)在梯形ABCD中，AD / BC, AD = 4, BC=6,假设CD= mBA+ nBC(mnCR),那么三=()【导学号:5796219231C.3D.C (2)A(1)如图，EB+FC = EC+CB+FB + BC= EC+FB =1 2(AC + AB) TOC o 1-5 h z 1 =5 2AD = AD.一、，一 广 31 (2)如图，过 D 作 DE/AB

12、, CD = mBA+ nBC= CE+ED = BC+BA,所以n= m=1,所以m= 3.应选A.3n规律方法向量的线性运算的求解方法(1)进展向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的根本向量或首尾相接的向量， 运用向量加、减法运算及数乘运算来求 解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与向量有直接关系的向量来求解.变式训练2 (1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，那么 OA+OB+OC+OD等于()【导学号：5

13、7962193】A.OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM一 一. 一一 二 Y 一(2)D为三角形ABC边BC的中点，点P潴足PA+BP+CP = 0, AP=?PD, 那么实数人的值为.一一 一 一 一. ,一 .一 .一一一. (1)D (2)-2 (1)因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法那么，得OA因止匕AP = AB + AC+ OC=2OM, OB+OD = 2OM,所以 OA+ OB+OC+OD = 4OM.应选 D.(2)因为D是BC的中点，那么AB + AC = 2AD., 由PA+BP+CP = 0,得BA=PC. 又 AP= PD,所以点P是以AB,AC为邻边的平

14、行四边形的第四个顶点,= 2AD= 2PD,所以上-2.考奥工1 共线向量定理的应用，例盯 设两个非零向量a与b不共线，(1)假设AB = a+b, BC = 2a+8b, CD = 3(ab),求证：A, B, D 三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.解(1)证明：. AB=a+b, BC = 2a+8b, CD = 3(ab),2分 .BD=BC + CD = 2a+8b+3(a b)=2a + 8b+ 3a 3b= 5(a+ b) = 5AB.AB, bD共线,又丁它们有公共点B, TOC o 1-5 h z .A, B, D三点共线.5分(2)ka+b 和 a+kb

15、 共线,存在实数 小使ka+b= Xa+kb),即 ka+b=2a+ 入氏. .(k2)a=(入 b 1)b.9分. a, b是两个不共线的非零向量，.k入=入 b1 = 0,k21=0,.k=土.12 分规律方法共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a, b,假设存在实数%使a=七，那么a与b 共线. . (2)证明三点共线：假设存在实数入使AB= :AC,那么A, B, C三点共线.(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的化易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.变式训练 3 向量AB = a+3b, BC=5a+3b, CD = 3a+

16、3b,那么()【导学号:57962194】A, B, C三点共线A, B, D三点共线A, C, D三点共线B, C, D三点共线(2)(2021全国卷H)设向量a, b不平行，向量 均+b与a +2b平行，那么实 数上.1 一 一 一一(1)B (2)2 (1) BD = BC+CD = 2a +6b=2(a+3b) = 2AB,BD, AB共线，又有公共点B,.A, B, D三点共线.应选B.(2)启+b 与 a +2b 平行，. . B+b = t(a+2b)即为+b=ta + 2tb,1=2t名姬微博。思想与方法.向量加法的三角形法那么应注意 “首尾相接，指向终点；向量减法的三角形法那么应注意“起点重合，指向被减向量；平行四边形法那么应注意起点重合.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的