2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第6章第1节不等式的性质与一元二次不等式

1、第六章 不等式、推理与证明深研高考备考导航五年考情为教师备课、授课提供丰富教学资源考点2021 年2021 年2021 年2021 年2021 年不等关系与/、等式全国卷I T8一一一一不等式的证明全国卷I T21全国卷n T21全国卷m T21一全国卷I T21全国卷n T17一一根本不等式一一全国卷I T24全国卷n T24全国卷n T17一一Tt 二次不等式及其解法全国卷I T1全国卷m T1一全国卷I T1全国卷n T1全国卷I T1全国卷n T1一简单线性规划全国卷I T16全国卷m T13全国卷I T15全国卷 H T14全国卷I T9全国卷n T9全国卷n T9全国卷T14合情推

2、理与演绎推理一一全国卷I T14全国卷I T12一直接证明与间接证明全国卷I T18全国卷I T20全国卷n T19全国卷n T21全国卷I T18全国卷 H T20全国卷n T18全国卷I T18 全国卷n T18 全全国卷T19全国卷m T17全国卷m T19全国卷m T21国卷R T21数学归纳法一一一一一重点关注.从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题.客观题主要考察不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划， 合情推理与演绎推理，解答题主要考察不等式的证明、根本不等式与直接证明.不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章 节，因

3、此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考察，对于证明， 主要表达在不等式证明和不等式包成立证明以及几何证明.从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考 察.导学心语.加强不等式根底知识的复习. 不等式的根底知识是进展推理和解不等式 的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、根本不等式是 解决问题的根本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等 式问题.强化推理证明和不等式的应用意识. 从近年命题看，试题多与数列、函 数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高.抓好推理论证，强 化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键.重视数

4、学思想方法的复习.明确不等式的求解和推理证明就是一个把条 件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函 数与方程三者密不可分，相互转化.第一节不等式的性质与一元二次不等式考纲 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式 （组）的实 际背景2会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 .3.通过函数图像了解一元 二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.抓基础自主学习I双感自主测利知识梳理.实数的大小顺序与运算性质的关系ab? a-b0;(2)a=b? ab = 0；(3)ab? abb?

5、bb, bc? ac；(单向性)可加性：ab? a+cb+c；(双向性)ab, cd? a+ cb+d；(单向性)可乘性：ab, c0? acbc；ab, c0? acb0, cd0? acbd ；(单向性)(5)乘方法那么：ab0? anbn(n2, nCN);(单向性)(6)开方法那么：ab0? n/anb(n2, nC N)；(单向性)1 1 一，倒数性质：设ab0,那么a1.(双向性) a b3. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式A= b2 4ac20A= 0&0二次函数y=ax2 + bx+ c (a0)的图像y一J0一二次方程ax2+ bx+ c=0 (a0

6、)启两相异实根X1,启两相等实根X1b= x2=-2a没有实数根的根学情自测 TOC o 1-5 h z .(思考辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“，错误的打x)ab? ac2bc2.()_ a bab0, cd0? 1/)(3)假设不等式ax2+bx+c0.()(4)假设方程ax2+bx+ c= 0(a*0)没有实数根，那么不等式 ax2+bx+c0的解集为R.()答案(1)X ，X.(教材改编)以下四个结论，正确的选项是()ab, cb d；ab0, cdbd；ab0? 3/a3/b；ab0?亚，.A .B .C .D.D 利用不等式的同向可加性可知 正确；对于，根据不等式的性质可知一

7、 一 .一一 1 acb031 1可知a2b20,所以/b,那么以下不等式包成立的是（）【导学号:57962268】A. a2b2B. b1C. 2a2bD. lg（a b）0C 取 a= 1, b= 2,排除 A, B, D.应选 C.（2021广东高考）不等式x2 3x+ 40的解集为:（用 区间表示）（4,1）由一x23x+40 得 x2+3x 40,解得一4x0 的解集为（一4,1）.假设不等式mx2 + 2mx+ 10的解集为R,那么m的取值范围是.【导学号:57962269】0,1）当m=0时，10显然成立；m0,当mw0时，由条件知 2得0m1,A= 4m2 4m0,由知0&my

8、0,那么（）A. 01 ic. 1x- 2 y0D . In x+ In y0(2)函数 f(x)=ax2+bx,且 1&f(一1户2,2&f(1)&4,求 f( 2)的取值范围.,1 x1 x 1 y 谶 1(1)C 函数y= 2在(0, +0)上为减函数，当xy0时，2 2，即Q；y0? -1?-2xx y x yy0时，不能比拟sin x 与 sin y 的大小，故 B 错误；xy0? xy0? / ln(xy)0? / ln x+ln y 0,故 D 错 误.(2)由题意知 f(1)=a b, f(1)=a+b,f( 2)=4a 2b.设 m(a+b)+n(ab) = 4a 2b,那么

9、m+ n = 4,m n = - 2,m= 1, 解得n = 3,10分12分a2b2f(2)= (a+b)+ 3(a- b) = f(1) + 3f( 1).v 1f(-1)2,2 f(1)4,.5f(-2) 10,即f(2)的取值范围为5,10.规律方法1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质 包括“单向性和“双向性两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是 解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形.判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.由af(x, y)b, cg(x, y)d求F(x, y)的取值范围,要利用待定系数法 解决，即设F(x, y)

10、= mf(x, y)+ng(x, y),用恒等变形求得m, n,再利用不等式 的性质求得F(x, y)的取值范围.变式训练1 (1)(2021河南六市2月模拟)假设110,那么以下结论不正 a b确的选项是()Ab2a+b|a+ b|(2)1x+y4,2x y3，求 3x+ 2y 的取值范围.(1)D 由题可知 ba0,所以 A, B, C 正确，而 |a| + |b|= a b=|a+b|, 故D错误，选D.(2)设 3x+ 2y = m(x+ y) + n(x y),m+n = 3,m n = 2,5 m=23分1n=2，51即 3x+2y= /+ y)+2(x-y),又一1x + y4,

11、2x-y3,5 513. 一 22(x+ y)10,12(x- y)2,.3 5 , x , 1 、坦一一22仅+ y)+2(xy)2 即一23x+ 2y0;(2)x2 (a+ 1)x+a0.解(1)原不等式化为x2-2x-30,即(x 3)(x+1)0,故所求不等式的解集为x| 1 & x0 3. 6分(2)原不等式可化为(x-a)(x-1)1时，原不等式的解集为(1, a);当a=1时，原不等式的解集为？；当a1时，原不等式的解集为(a,1).12分迁移探究将(2)中不等式改为ax2-(a+1)x+ 10,求不等式的解集.解假设a = 0,原不等式等价于x+ 11. TOC o 1-5 h

12、 z ， 一一一，一1假设a0,一 1 ,、八解彳#x1.3分a， 一一一，一1假设a0,原不等式等价于ax-a(x1)0.当 a=1 时，1=1, a x- 1(x1)1 时，11, a 解 x3 (x1)0 得x1 ； aaa当 0a1,解 ax2(x 1)0 得 1x1.10 分a ，aa1 ,、综上所述：当a0时，解集为x x1 ；a当a=0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x 1x1时，解集为x 1x0的解集是x| 1x：,那么不等式x2bxa0的解集是()23A. x|2x31C. x| 3x2B. x|x31e 1D . x| x2 TOC o 1-5 h z B .不等式

13、ax2 bx 10 的解集是 x| x ：,231 一1 一ax2 bx 1= 0 的解是 x1 二 与和 x2= 万，且 a0,解得x02或x3.I考向31?角度1形如f(x)0(xC R)求参数的范围卜例ESI (2021甘肃白银会宁一中月考)不等式(a 2)x2 + 2(a2)x 40对一切x C R包成立，那么实数a的取值范围是.【导学号：57962270】(2,2当a 2 = 0,即a=2时，不等式即为一40,对一切x R包成立,当aw2时，那么有a-20,-4 a-2 2+ 16a 2 0,a2,-2a2,- 2a0(x a, b)求参数的范围例6&设函数 f(x)= mx2 mx

14、xC 1,3, f(x) m+5 恒成立，求 m 的取值 范围.1 2 3.解 要使f(x)-m+5在xC 1,3上恒成立，即 mx- +m60时，g(x)在1,3上是增函数,所以 g(x)max= g(3)? 7m-60,6;Vmo当m= 0时，- 60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数,所以 g(x)max= g(1)? m60,所以 m6,所以 m0.6 TOC o 1-5 h z 综上所述：m的取值氾围是 m m0,26.又因为 m(x -x+ 1)-60,所以 mx2_x+1.7分因为函数v= 丁_64 = 62在1,3上的最小值为6,所以只需m6即 x xi 1377x-

15、2 +4可.所以m的取值范围是m m6 .12分?角度3 形如f(x)0(参数mC a, b)求x的范围对任意的kC 1,1,函数f(x) = x2+ (k 4)x+ 4- 2k的值恒大于零,那么x的取值范围是.x|x3x2+(k4)x+4 2k0 包成立,即 g(k) = (x2)k+(x2 4x+ 4)0,在k 1,1时恒成立.x2 5x+ 60, 只需 g(1)0 且 g(1)0,即 x2_3x+ 20解彳3x3.规律方法1.解决包成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地, 知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.2.对于一元二次不等式包成立问题，恒大于 0就是相应的二次函数的图像 在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的 区间上全部在x轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用别离参数法求最 化名婶微博,思想与方法.倒数性质，假设ab0,那么ab? 10, 水0.a= b= 0.不等式ax2 + bx+ c0对任意实数x包成立？c0,不等式ax2+bx+ c0对任意实数x包成立？a= b= 0, c0,a0,k0. “三个二次的关系是解一元二次不等式的理论根底，一般可把a0时的情形.解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进展分 类