D42微积分基本定理课件

1、一 微分形式的微积分基本定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.2 微积分的基本定理二 积分形式的微积分基本定理第1页，共21页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 一 微分形式的微积分基本定理用定积分的法变（上）限的定积分法可以构造函数。我们研究了的一个性质：定理 4.1.12设在上可积,在上连续。我们将进一研究性质。第2页，共21页。在直线运动的速度为机动 目录 上页 下页 返回 结束 运动的路程为则任给则又有又即有这具有普遍性 .第3页，共21页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理4.2.1设在上可积,在连续，则函数在可微，并有证明取使则有故第4页，共21页。机动 目录 上页

2、下页 返回 结束 在连续，由于故对于使当时有故对取则当时有第5页，共21页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理4.2.2设则是的一个原函数，即有注（1）是满足条件的唯一原函数。(2) 定理 表明连续函数的原函数是存在的.（3）定理把定积分这个特殊极限与导数这个完全不同的极限联系起来。第6页，共21页。思考用定理4.2.2证明积分中值定理则使积分中值定理证明令则由定理4.2.2知在可导，且由Lagrange中值知使又得第7页，共21页。例证明在内为单调递增函数 . 证:只要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共21页。例.试证使分析:要证即故作辅助函数机动 目录 上页 下页 返回

3、 结束 至少存在一点第9页，共21页。证明: 令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0 ,从而不变号,因此故所证等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知 ,存在一点第10页，共21页。例.试证使分析机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点故若令则第11页，共21页。例.试证使证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点则显然令、在连续且在可导，又故由Cauchy定理知至少存在一点使即第12页，共21页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 4.2.3（Newton-Leibniz)二 积分形式的微积分基本定理设在是的任一个原函数，则证明法一：由定理4.

4、1.2立即可得。法二：注意到与均是在原函数，故注意到可得故第13页，共21页。（2）变限积分求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 注（1）对是积分中值定理对是微分中值定理微分和积分在这里联系起来了。第14页，共21页。（2）变限积分求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别的第15页，共21页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 设是的一个原函数,则证明:故第16页，共21页。例解原式说明 目录 上页 下页 返回 结束 求令则是连续函数，故故上述极限是型，故第17页，共21页。说明 目录 上页 下页 返回 结束 例确定常数 a , b , c 的值, 使解令则是连续函数，故其中介于0与b之间。故第18页，共21页。说明 目录 上页 下页 返回 结束 例确定常数 a , b , c 的值, 使原式 = c 0 , 故又由, 得第19页，共21页。设例求解故第20页