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文档简介

1、第五章定积分 积分学不定积分定积分第1页，共24页。第一节一、定积分问题举例二、 定积分的定义三、 定积分的近似计算定积分的概念及性质 第五章 四、 定积分的性质第2页，共24页。一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .矩形面积梯形面积第3页，共24页。解决步骤 :1) 分割：在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似代替：在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得第4页，共24页。3) 求和：4) 取极限：令则曲边梯形面积第5页，

2、共24页。2. 变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤:1) 分割：将它分成在每个小段上物体经2) 近似代替：得已知速度n 个小段过的路程为第6页，共24页。3) 求和：4) 取极限 ：上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 :“近似 , 代替 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限第7页，共24页。二、定积分定义 (P225 )任一种分法任取总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数在区间上的定积分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .记作第8页，共24页。积分上限积分下限被积函数被积表达

3、式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分变量用什么字母表示无关 ,即第9页，共24页。定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和第10页，共24页。可积的充分条件:取定理1.定理2.且只有有限个间断点 (证明略)例1. 利用定义计算定积分解:将 0,1 n 等分, 分点为第11页，共24页。注注 注. 当n 较大时, 此值可作为 的近似值第12页，共24页。注 利用得两端分别相加, 得即第13页，共24页。三. 定积分的近似计算根据定积分定义可得如下近似计算方法:将 a , b 分成 n 等份: 1. 左矩形公式例12. 右矩形公式第14页，共24页

4、。3. 梯形公式第15页，共24页。四、定积分的性质(设所列定积分都存在)( k 为常数)第16页，共24页。当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如则有第17页，共24页。6. 若在 a , b 上则证:推论1. 若在 a , b 上则第18页，共24页。推论2.证:即7. 设则第19页，共24页。8. 积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7 第20页，共24页。说明: 可把故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对因第21页，共24页。例3. 试证:证: 设则在上, 有即故即第22页，共24页。内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理矩形公式 梯形公式连续

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