人教版数学九上23《弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）

1、PAGE 弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的表示1圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公

2、式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式 半径为R的圆中360的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系

3、：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n，则圆锥的侧面积，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1如图（1），AB切O于点B，OA=，AB=3，弦BCOA，则劣弧的弧长为（ ）A CBAO BCD 图（1） 【答案】A.【解析】连结OB、OC，如图（2）则，OB=，由弦BCOA得，所以OBC为等边三角形，.则劣弧的弧长为，故选A.

4、 图（2）【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110的长=76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm【高清ID号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2如图，O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留） 【答案与解析】弦AB和半径OC互相平分，OCAB， OM=MC=OC=OA B=A=30， AOB=120 S扇形=【总结升华】运用

5、了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图（1），在ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是A上的一点，且EPF=40，则图中阴影部分的面积是（）A B C DAEBDCFP 图（1） 【答案】连结AD，则ADBC，ABC的面积是：BCAD=42=4，A=2EPF=80则扇形EAF的面积是：故阴影部分的面积=ABC的面积-扇形EAF的面积= 图（2）故选B类型二、圆锥面积的计算3（2014秋广东期末）如图，一个圆

6、锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可【答案与解析】解：（1）由题意可知，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在RtAOC中，R2=r2+h2，4r2=r2+27r2=9，r=3r0r=3，R=6.S侧=Rr=18（cm2）（cm2） S全=S侧+S底=18+9=27（cm2）【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关

7、的公式类型三、组合图形面积的计算4（2015槐荫区三模）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，CDB=30，CD=2，求图中阴影部分的面积【答案与解析】解：AB是O的直径，弦CDAB，CE=CDB=30，COE=60，在RtOEC中，OC=2，CE=DE，COE=DBE=60RtCOERtDBE，S阴影=S扇形OBC=OC2=4=【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A.5 B. 4 C.3 D.22如图所示，边

8、长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且ABBCCD3m现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在( ) AA处 BB处 CC处 DD处3劳技课上，王红制作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10 cm，母线长为50 cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸的面积至少为( ) A250cm2 B500cm2 C600cm2 D1000cm24一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( ) A120 B180 C240 D3005底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是( ) A7.5

9、 cm2 B12 cm2 C15cm2 D24 cm26（2015新宾县模拟）如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）ABCD 二、填空题7已知扇形圆心角是150，弧长为20cm，则扇形的面积为_8如图，某传送带的一个转动轮的半径为40cm，转动轮转90传送带上的物品A被传送 厘米. 第8题图 第9题图 第11题图9如图所示，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120，则扇形的面积为_cm2(结果保留)10.（2015北海）用一个圆心角为120，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是11如图所示，把一块A30的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点

10、C按顺时针方向旋转到的位置若BC的长为15cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长 12如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于 三、解答题13如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心， AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由 14. 圆心角都是90的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD (1)求证：AOCBOD；(2)若OA3cm，OC1cm，求阴影部分的面积15如图所示，线段AB与O相切于点C，连接OA、OB，OB交0于点D，已知OAOB6

11、cm，ABcm，求：(1)O的半径；(2)图中阴影部分的面积16.（2015温州模拟）已知：如图ABC内接于O，OHAC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，B=30，请求出：（1）AOC的度数；（2）线段AD的长（结果保留根号）；（3）求图中阴影部分的面积【答案与解析】一、选择题1.【答案】C .【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为2，圆锥的侧面面积为2，底面半径为1，圆锥的底面面积为，则该圆锥的全面积是2+=3.故选C.2.【答案】B 【解析】小羊的活动区域是扇形，或是扇形的组合图形，只要算出每个扇形的面积，即可比较出拴在B处时活动区域的面积最大3.【答案】B；4.【答案】B；【解析】由得

12、， n1805.【答案】C； 【解析】可求圆锥母线长是5cm6.【答案】B；【解析】因为正五边形ABCDE的内角和是（52）180=540，则正五边形ABCDE的一个内角=108；连接OA、OB、OC，圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，OAE=OCD=90，OAB=OCB=10890=18，AOC=144所以劣弧AC的长度为=故选B二、填空题7.【答案】240cm2 ； 【解析】先由弧长求出扇形的半径，再计算扇形的面积8【答案】20（cm）；【解析】(cm)9【答案】3；【解析】由扇形面积公式得(cm2)10【答案】2 ；【解析】扇形的弧长=4，圆锥的底面半径为42=2故答案为：211【答案】； 【解析】顶点A经过的路径是一段弧，弧所在的扇形的圆心角是120，半径AC=2BC=30cm, .12【答案】 ；【解析】 连接AC，知ACABBC， BAC60， 弧三、解答题13.【答案与解析】将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，过O作OCAB于C点，则AC=BC=12，AB是大半圆的弦且与小半圆相切，OC为小圆的半径，S阴影部分=S大半圆-S小半圆=OB2-OC2=（OB2-OC2）=AC2=72故答案为7214.【答案与解析】(1)证明：同圆中的半径相等，即OAOB，OCOD再由AOBCOD90，得12，所以AOCBOD