2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：热点探究课1导数应用中的高考热点问题

1、热点探究课(一)导数应用中的高考热点问题命题解读函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因 此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间卜求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、 求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数 形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有.热点1利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质 必须在定义域内进展，因此，务必遵循定义域优先的原那么，本热点主要有三种 考察方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区

2、间；(2)求函数的极值或最值；(3)利 用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围.卜例值(本小题总分值12分)(2021全国卷H)函数f(x)=lnx+a(1 x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a 2时，求a的取值范围.思路点拨(1)求出导数后对a分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结 论分析函数的最大值，对得到的不等式进展等价转化，通过构造函数并分析该函 数的单调性求a的范围. TOC o 1-5 h z 1八标准解答(1)f(x)的定义域为(0, +oo), f)=;-a.2分x假设a0,所以f(x)在(0, +8)上递增.3分，、，1 ,假

3、设a0,那么当x 0, 1时，fx)0; a当 xC -, +8 时 x)0时，f(x)在x=-取得最大值，最大值为af - = In - + a 1 1 = In a+ a 1. a a a因止匕f1 2a 2等价于In a+ a- 10.10分a令 g(a)=ln a+ a-1,那么 g(a)在(0, +00)上递增，g(i)=。.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1).12分答题本K板讨论含参函数f(x)的单调性的一般步骤第一步：求函数f(x)的定义域(根据函数解析式确定).第二步：求函数f(x)的导数fx).第三步：根据f x)= 0的零点是否

4、存在或零点的大小对参数分类讨论.第四步：求解(令fx)0或令f x) 0或fx) 0或fx)&0在单调区间上 包成立问题求解.对点训练1 (2021郑州模拟)函数f(x)=x2efax, aC R.当a=1时，求函数v= f(x)的图像在点(一1, f(1)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性.解(1)因为当 a=1 时，f(x) = x2e x, fx) = 2xe x x2e x=(2x x2)e x,2分所以 f(1) = e, f Y 1)= - 3e.从而y=f(x)的图像在点(一1, f(1)处的切线方程为ye= -3e(x+1),即y= 3ex 2e.4 分(2)f x)=

5、2xe ax ax2e ax= (2x-ax2)e ax.当a=0时，假设x0,那么fxl0,那么 fx)0.所以当a = 0时，函数f(x)在区间(一8, 0)上为减函数，在区间(0, +oo)上为增函数.6分2当 a0 时，由 2x ax20,解得 x,由 2xax20,解得 0 ax2.所以f(x)在区间(一飙0)与2, +00上为减函数，在0, 2上为增函数. TOC o 1-5 h z aaa8分当 a0 时，由 2x ax20,解得2Vx0,解得 x0.所以，当a0时，f(x)在(8 0), 2, + 00上递减，在0, 2上递增； aa当a 0 且 c32 0 时，存在 X1C(

6、 4, -2), X2 -2, -3 ,2 732-，一X3 3 , 0 ,使得 f(X1) = f(X2)= f(X3)= 0.由f(x)的单调性知，当且仅当cC 0,券 时，函数Kx) = x3+4x2+4x+c有三 个不同零点.12分规律方法用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数 的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图像的交点问 题，利用数形结合来解决.对点训练2设函数f(x)=ln x+mm，mCR.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； 一X (2)讨论函数g(x)=f x)鼻布点的个数.3【导学号:57962128】解(1

7、)由题设，当 m=e时，f(x)=ln x+e, Xx a .那么 f x)= x2 ,由 f x)=0,得 x= e.2 分当 xC (0, e), fx)0, f(x)在(e, +00)上递增，.当乂= e时，f(x)取得极小值 f(e) = ln e+e=2,e.f(x)的极小值为2.4分(2)由题设 g(x) = f，x) 3=： m23(x0),1 Q令 g(x) = 0,得 m= 3x +x(x0).5分设(Kx) = ；x3+x(x0), 3那么(|)x)= x2+1 = (x1)(x+1),当xC (0,1)时，Jx)0,3)在(0,1)上递增;当 xC (1, +oo)时，x

8、)a时，函数g(x)无布点； 3当m=2时，函数g(x)有且只有一个零点；32-当0Vm|时，函数g(x)无零点； TOC o 1-5 h z ,2 ,、当m=,或m00时，函数g(x)有且只有一个布点；3-2一当0m0 时，f(x)2a+aln|. aa解(1)f(x)的定义域为(0, +oo), f/x)=2e2x-(x0).当a00时，fx)0, fx)没有零点；当 a0 时，设 u(x)=e2x, v(x)= a, 3分 x因为u(x) = e2x在(0, +8)上递增，v(x)= a在(0, +oo)上递增, x所以f x)在(0, +8)上递增.a 一 1 一又 f a)0,当 b

9、 满足 0ba且 b1 时，f b)0时，f x)存在唯一零点.(2)证明：由(1),可设fx)在(0, +8)上的唯一零点为xO,当xC (0, x0)时, fx)0.f(x)取得最小9分12分故f(x)在(0, x0)上递减，在(x。，+)上递增，所以当x = x。时, 值，最小值为f(x0).由于2e2x0一旦=0, x0，所以 f(x0)=鲁+2ax0+aln2 2a + aln 2. 2x0aa故当 a0 时,f(x)2a+ aln 2. a?角度2不等式包成立问题例睦(2021 全国卷 H)函数 f(x)=(x+ 1)ln x-a(x-1).(1)当a = 4时，求曲线y= f(x

10、)在(1, f(1)处的切线方程;假设当x (1, +00)时，f(x)0,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0, + 00).1分 当 a=4 时，f(x) = (x+ 1)ln x 4(x 1),f(1) = 0, fx)=ln x+ 13, f(写一2. x故曲线y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程为2x+ y 2 = 0.a x 1(2)当 xC(1, +00)时，f(x)0 等价于 In x- 0. x I Ia X 1设 g(x) = ln x- x+1 ,那么 g&T1ap=X+j：尸1， g(1)=0.9分x xx x当 a02, xC (1, +oo)时，x2

11、 + 2(1 -a)x+ 1 x2-2x+ 1 0,故 gx)0,g(x)在(1, +oo)递增，因此 g(x)0；当 a2时，令gx) = 0得xi = a 11a 1 2 1 ,x2=a 1 +yj a 1 2 1.由 x21 和 x1x2= 1 得 x1 1 ,故当 x (1 , x2)时，gx)0, g(x)在(1 , x2)递 减，因此g(x)例E (2021 全国卷 I)设函数 f(x)=aln x+ 2-x2bx(aw 1),曲线 y= f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为0.求b;(2)假设存在xo1,使得f(x0)0, f(x)在(1, +oo) 递增.所以，存在x2 1,使得f(x0)1力的充要条件为f(1)-ar,即1fa175, a a 2 a i解得啦1aV21.7分假设1a1,故当 xC 1,渣；时，fx)0, f(x)在1, ta上递减，在匚， +00上递增.9分所以存在xo1,使得f(X0)a7的充要条件为f ra7 a1 -a 2 1 a a 1 a 1所以不合题意.假设a1,那么f(1) = LU仁二爱1.22a 1综上,a的取值范围是(色1, 2-1)U(1, +oo).12分规律方法1.运用导数证明不等式，常转化