21.3《实际问题与一元二次方程(2)》教学课件

1、21.3 实际问题与一元二次方程第二课时（1）列方程解应用题的一般步骤：审，找，设，列，解，检验，答.（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解.（3）正方形，长方形，三角形，圆等几何图形的周长及面积计算公式；长方体，正方体的体积及表面积计算公式.探究一：面积体积问题活动1面积问题例. 如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程重点知识（1）挂图长为_cm，宽为_cm.（2）等量关系是：_.（80+2x）（50+2x）挂图面积为5400 cm2如何

2、列方程？解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；所以（80+2x）（50+2x）=5400，即4x2+160 x+4000+100 x=5400，所以4x2+260 x-1400=0即x2+65x-350=0【思路点拨】找出挂图的长和宽，根据其积为5400，即长宽=5400，列方程进行化简即可探究一：面积体积问题重点知识探究一：面积体积问题活动2体积问题重点知识如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽

3、为x米：（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积（2）请列出关于x的方程问题：（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为_m，进而得到容积为_m3. （2）等量关系是：_.容积是15m3（x+2）x（x+2）如何列方程？解：（1）长方体运输箱底面的宽为x m，则长为（x+2）m 容积为x（x+2）1=x2+2x； （2）x2+2x=15探究一：面积体积问题重点知识问题：（1）设最短边为2x，另外两边长为:_，_.（2）等量关系是：_.探究二：勾股定理中的一元二次方程活动1勾股定理的应用重点知识例. 直角三角形的三边长是3个连续偶数，求这个三角形的三边长. 直角三角形两直角边的平方和=

4、斜边的平方2x+22x+4解：设最短边为2x，则另外两边的长为2x+2，2x+4，根据题意得：（2x）2+（2x+2）2=（2x+4）2；化为一般形式为：x2-2x-3=0故x1=3，x2=-1（舍）所以三边长为 6，8，10.如何列方程求解？探究二：勾股定理中的一元二次方程活动2航行问题中的勾股定理重点知识例. 如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，台风中心 海里的圆形区域（包括边界）都属台风区当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台

5、风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由. 解：若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到E点，如图所示： 则可知AC=20t，AE=100-40t， 根据勾股定理得：EC2=AC2+AE2,问题：（1）设t时刻，轮船行驶到C点，此时AC=_； 台风中心运动到E点，此时AE=_； （2）等量关系是：_.EC2=AC2+AE220t 100-40t 如何列方程求解？整理得出：t2-4t+3=0解得：t1=1，t2=3，求最初遇台风时间，t=1.答：点C在台风影响的范围内，会受到影响，轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时当EC= 时，探究

6、二：勾股定理中的一元二次方程重点知识探究三：动点问题活动1三角形背景下的三角形面积例. 已知：如图，在ABC中，B=90，AB=5cm，BC=7cm点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，PQB的面积能否等于8cm2？说明理由重点、难点知识问题：（1）设经过x秒钟，BQ=_, BP=_.（2）等量关系是：_.BP2+BQ2=PQ22x5-x如何列方程求解？解：（1）设：

7、经过x秒以后PBQ面积为6， （5-x）2x=6整理得：x2-5x+6=0解得：x=2或x=3答：2或3秒后PBQ的面积等于6cm2 探究三：动点问题重点、难点知识（2）当PQ=5时，在RtPBQ中，BP2+BQ2=PQ2， （5-x）2+（2x）2=52， 5x2-10 x=0， x（5x-10）=0， x1=0，x2=2， 当x=0或2时，PQ的长度等于5cm（3）设经过x秒以后PBQ面积为8，整理得：x2-5x+8=0PQB的面积不能等于8cm2（5-x）2x=8探究三：动点问题重点、难点知识如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm动点P

8、、Q都从点C同时出发，点P沿CB方向做匀速运动，点Q沿CDA方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动若点P以1cm/s速度运动，点Q以 cm/s的速度运动，连接BQ、PQ当时间t为_秒时，BQP的面积为24cm2探究三：动点问题活动2四边形背景下的三角形面积重点、难点知识此时，BP=_，QG=_.问题：整个运动过程中有几种情况？ 两种情况的时间的分界点是多少？ 4s分两种情况讨论：点Q在CD上；点Q在DA上 14-t2t问题：当Q在CD上，要表示BPQ的面积，需要知道它的底和高.若以BP为底，则需要做什么辅助线？ 过Q点作QGBC于G探究三：动点问题重点、难点知识问题：

9、当Q在AD上，要表示BPQ的面积，需要知道它的底和高.若以BP为底，则需要做什么辅助线？ 过Q点作QGBC于G此时，BP=_，QG=_.如何列方程求解？ 14-t8探究三：动点问题重点、难点知识解：当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t如图1，当点Q在CD上时，过Q点作QGBC，垂足为点G，则QC=又DH=HC，DHBC， C=45 在RtQCG中，由勾股定理可得QG=2t又BP=BC-PC=14-t， SBPQ=14t-t2当Q运动到D点时所需要的时间S=14t-t2（0t4），当S=24时，14t-t2=24，解得：t1=2，t2=12（舍）探究三：动点问题重点、难点知识如图2，当点Q

10、在DA上时，过Q点作QGBC，垂足为点G，则：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t，当Q运动到A点时所需要的时间 S=56-4t当S=24时，56-4t=24解得： ，舍去=56-4t SBPQ=综上 ，当t=2时，S=24探究三：动点问题重点、难点知识【思路点拨】由于点P在线段CB上运动，而点Q沿CDA方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：点Q在CD上；点Q在DA上针对每一种情况，都可以过Q点作QGBC于G由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式列出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围，根据面积为24cm2，列出方程，解方

11、程并结合t的范围取舍探究三：动点问题重点、难点知识探究四：几何问题训练活动1基础型例题重点、难点知识例. 在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少？（只列方程）解：设修建的路宽为x米余下的面积表示为：2030-（30 x+20 x-x2）米2，根据题意可知：矩形地面所修路面积=耕地面积，依此列出等量关系：余下的面积表示为 2030-（30 x+20 x-x2）米2，则根据题意得： 2030-（30 x+20 x-x2）=551练习：如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形AD

12、GH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A21cm2 B16cm2C24cm2 D9cm2解：设AB=xcm，AD=（10-x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10-x）2cm2，根据题意得 x2+（10-x）2=68， 整理得 x2-10 x+16=0解之得 x1=2，x2=8所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，综上可求矩形ABCD的面积是16cm2B探究四：几何问题训练重点、难点知识探究四：几何问题训练活动2提升型例题重点、难点知识例. 已知ABC中，A=30，B=45，ABC的面积为 ，若

13、AC=m，则m的值为（）A1 B2 C D解：如图：作CDAB于点D，A=30，B=45，AC=m， CD=BD= 由勾股定理得： AB=AD+BD=解得：m=2或m=-2(舍去)，m=2B练习. 甲、乙两船同时从A港出航，甲船以30千米/时的速度正北航行，乙船以比甲船快10千米/时的速度向东航行，几小时后两船相距150千米？可列方程_.解：设x小时后两船相距150千米，则AC=30 x，AB=40 x， 列方程得（30 x）2+（40 x）2=1502【思路点拨】画出相应图形后，易得两船相距的路程，甲航线路程，乙航行路程组成以两船相距的路程为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解即可探究四：几何

14、问题训练重点、难点知识探究四：几何问题训练活动3探究型例题重点、难点知识例. 等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D设P点运动时间为t，PCQ的面积为S（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？ 证明你的结论解：（1）当t10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t当t10秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=t，PB=t-10（2）SABC

15、=当t10秒时，SPCQ=整理得 t2-10t-100=0 解得（舍去负值） 当t 10秒时，SPCQ= 当点P运动 秒时，SPCQ=SABC整理得 t2-10t+100=0 ，无解探究四：几何问题训练重点、难点知识（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变证明：过Q作QMAC，交直线AC于点M，易证APEQCMAE=PE=CM=QM=四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半 又 EM=AC=当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变 DE=同理，当点P在点B右侧时，DE=综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变探究四：几何问题训练重点、难点知识【思路点拨】由题可以看出

16、P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S= QCPB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系；另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答探究四：几何问题训练重点、难点知识练习： 如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，G为边AB上一点，GB=1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DGGBBC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动t s时，DEF的面积为5cm2，则t的值为_【思路点拨】分三种情况：点F在DG上；点F在BG上；点F在BC上；根据等量关系：DEF的面积为5cm2，列出方程求解即可探究四：几何问题训练重点、难点知识解：在RtADG中，DG=点F在DG