人教A版《集合论的进一步发展与完善》公开课教学课件

1、集合论的进一步发展与完善第1页，共37页。集 合 这门研究集合的数学理论在现代数学中被恰当地称为集合论。第2页，共37页。 为科学而疯的人 -康托儿（Kangtuoer）第3页，共37页。康 托 儿 简 介康托儿(18451918) 康托儿(18451918)， 生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。第4页，共37页。康托儿的个人简历1、1845年3月3日，乔治康托生于俄国的一个丹麦犹太血统的家庭。 2、10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。3、18岁康托进入

2、了柏林大学 。4、 23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。5、 24岁(1869年)的康托取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授。6、1874年29岁的康托在克列勒的数学杂志上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。这篇文章的发表标志着集合论的诞生。 7、34(1879年)岁的康托被升为正教授。8、52岁的康托由于过度的思维劳累以及强烈的外界刺激使康托患了精神分裂症。9、1918年1月6日，享年73岁的康托在哈勒大学的精神病院中去世。 第5页，共37页。集合论产生前的背景 集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。在之后的一二百年

3、中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。 第6页，共37页。 1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是： 把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。我们学习的集合的概念： 一般地，指定的某些对象的全体称为集合。 集合中的每个对象叫做这个集合的元素。第7

4、页，共37页。向“无限”迈进 在中学数学中我们所学习的只是集合论的最基本知识。学习过程中，同学们或许觉得一切都是很自然与简单的，根本无法想象它在诞生之日遭到激烈反对的情景，也体会不到康托尔的功绩之所在。前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”。因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来。 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第8页，共37页。数学界的潘多拉盒子 数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了

5、陷阱。因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念。但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路。他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界。对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子。下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么。人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第9页，共37页。“无限思想”的碰撞 “我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生。但

6、同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作。在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释。无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限。十八世纪数学王子高斯就持这种观点。用他的话说，就是“我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许 的。所谓无穷，只是一种说话的方式”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想。由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔

7、的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的。然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷。他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论。这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界。人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第10页，共37页。几个关于无限集合的问题1、自然数的无穷与实数的无穷一样吗？2、无穷集合与无穷集合所含元素一样多吗？3、如果无穷集合所含元素个数一样多，怎么证明；如果不一样多，又怎么证明呢？人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1

8、人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第11页，共37页。最能显示出康托儿独创性的是： 他对无穷集元素个数问题的研究。 他提出用“一一对应”准则来比较无穷集元素的个数。他把元素间能建立“一一对应”的集合称为个数相同的集合，用他自己的概念是“等势”。 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第12页，共37页。 自然数集合N，非负偶数集合都是无限集。两个集合所含元素个数谁多谁少呢？N=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，, n , 非负偶数集=0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, , 2n

9、, 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第13页，共37页。1自然数集与非负偶数集元素的个数是一样多的！ A=x | x=2n , nN ， 集合A就是一个非负偶数集合，这种表示集合的方法就是建立了一种对应，用一个自然数对应一个正偶数，并且是一一对应。n 2n人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第14页，共37页。自然数集 和 整数集的元素个数一样多吗?就是要看他们两个集合元素之间能否建立一种“一一对应”.人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合

10、论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第15页，共37页。2.自然数集和整数集等势N与Z之间可以建立一一对应关系，例如1，2， 3，4， 5， 0，1，-1，2，-2，人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第16页，共37页。自然数与有理数等势吗?自然数和有理数的元素个数也是一样多的！人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第17页，共37页。3两个同心圆上所含的点一样多。 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1

11、第18页，共37页。4两条长度不同的线段上也包含了相同多个点。人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第19页，共37页。5直线上的点与圆周上的点一样多。A点与那个点对应？人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第20页，共37页。 房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4， 希尔伯特旅馆人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第21页，共37页。神秘的希尔伯特旅馆 一个有着无数房间的旅馆 一天夜里，已经

12、很晚了，一对年老的夫妻走进一家旅馆，他们想要一个房间。前台侍者回答说:“对不起，我们旅馆已经客满了，一间空房也没有剩下。”看着这对老人疲惫的神情，侍者又说:“但是，让我来想想办法”人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第22页，共37页。 这个好心的侍者开始动手为这对老人解决房间问题：他叫醒旅馆里已经睡下的房客，请他们换一换地方：1号房的客人换到2号房间，2号房的客人换到3号房间以此类推，直至每一位房客都从自己的房间搬到下一个房间。 这时奇迹出现了：1号房间竟然空了出来。侍者高兴地将这对老年夫妇安排了进去。没有增加房间，没有减少客人

13、，两位老人来到时所有的房间都住满了客人但是仅仅通过让每一位客人挪到下一个房间，结果第一个房间就空了出来，这是为什么呢？原来，两位老人进的是数学上著名的希尔伯特旅馆它被认为是一个有着无数房间的旅馆。人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第23页，共37页。 这时，旅馆又来了一个有无穷多个旅客的旅行团。 老板不慌不忙地让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号，k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号， 5号房间就都空出来了，让这个旅行团的所有旅客都住下了。 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展

14、与完善PPT公开课课件1第24页，共37页。又一个难题出现了 此时，又来了无穷多个旅行团，每个 旅行团有无穷多个旅客， 如果你是旅馆老板，将如何安排这些旅客!人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第25页，共37页。提 示 只见这个老板不慌不忙，让原来的旅客1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号，k号房间客人搬到2k号。 这样，1号，3号，5号所有奇数房间就都空出来人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第26页，共37页。让1号旅行团到让2号旅行团到让3号旅行团到让4

15、号旅行团到让号旅行团到 将所有奇素数排成一列，也是一个可列无穷集合，然后让1号旅行团到第1个素数的k次幂房间；2号旅行团到第2个素数的k次幂房间；3号旅行团到第3个素数的k次幂房间这样不仅安排下了所有旅客，而且空出了1，15，21，33，35这些不能表示为奇素数的k次幂的房间。 然后这样安排： 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第27页，共37页。结束就意味着开始 也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数。这与传统观念“全体大于部分”相矛盾。而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征。在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的

16、个数，他将其称为可数集。又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集。后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集。 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第28页，共37页。新问题接踵而来 但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集。这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一

17、两个而已。这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结。魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物。从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次。 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第29页，共37页。拨开乌云见青天 他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次。经过努力他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”。他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于

18、无限的所谓阿列夫谱系 它可以无限延长下去。就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景。可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了。 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第30页，共37页。极度碰撞 毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣。他们大叫大喊地反对他的理论。有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”。作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他

19、的理论受到激烈地批驳是正常的。当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧。公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品。在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。 1918年1月6日, 73岁的康托在哈勒大学的精神病院中去世。 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第31页，共37页。 数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起

20、整个数学的大厦。在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了”。然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。 数学危机的再次到来人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第32页，共37页。罗素简介 1872年，罗素出生在英国威尔士莫矛斯郡一个贵族世家。幼年时父母双亡，是祖母将他抚育成人。1890年他考人剑桥大学攻读数学，三年后转攻哲学。1908年成为剑桥大学讲师（后任研究员） . 1950年，当罗素获得该年度诺贝尔文学奖没有人感到吃惊作为一个涉猎众多社会科学领域并取得较高研究成果的哲学家、数学家、社会学家，罗素在诺贝尔文学奖设立的第50周年荣获该奖是当之无愧的。伯特兰亚瑟威廉罗素罗素（1872-1970 ）人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1第33页，共37页。 罗素悖论： 罗素於1902年提出的悖论。 悖论就是自相矛盾的命题，如果承认它是正确的，则可以推出它是错误的。而如果承认它是错误的，又能推出它是正确的。 人教A版集合论的进一步发展与完善PPT公开课课件1人教