人教版八年级数学上册19《完全平方公式》知识讲解+巩固练习(提高版)（含答案）

1、PAGE 完全平方公式（提高）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和

2、的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止【典型例题】类型一、公式法完全平方公式【高清课堂400108 因式分解之公式法 例4】1、分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）【总结升华】

3、（1）提公因式法是因式分解的首选法多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：提公因式法；运用公式法（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止举一反三：【变式】分解因式：（1）（2）【答案】解：（1）原式（2）原式2、（2016大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3【思路点拨】先提公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算即可得解【答案与解析】解：a3b+2a2b2+ab3 = ab（a2+2ab+b2）= ab（a+b）2将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=232=18故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18【总

4、结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号举一反三：【变式】若，是整数，求证：是一个完全平方数.【答案】解：令上式即类型二、配方法分解因式3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如添上什么就可以成为完全平方式？因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：.【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.【答案与解析】解：如 【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二

5、次项系数不是1的时候，转化为二次项系数为1来解决.类型三、完全平方公式的应用4、（2015春娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x22xy+y2=（xy）2及（xy）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x4的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x2+6x2）=2（x2+6x+992）=2（x+3）211=2（x+3）222因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数所以（x+3）2的最小值为0，此时x=3进而2（x+3）222的最小值是2022=22所以当x=3时，原多项式的最小值是22.解决问题：请根据上面的解题思路，

6、探求多项式3x26x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值【答案与解析】解：原式=3（x22x+4）=3（x22x+11+4）=3（x1）2+9，无论x取什么数，都有（x1）2的值为非负数，（x1）2的最小值为0，此时x=1，3（x1）2+9的最小值为：30+9=9，则当x=1时，原多项式的最小值是9【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键举一反三：【变式1】若ABC的三边长分别为、,且满足， 求证：.【答案】解： 所以所以所以因为ABC的三边长分别为、，所以，矛盾，舍去.所以.【变式2】（2015春萧山区期中）若（2015x）

7、（2013x）=，则（2015x）2+（2013x）2= 【答案】4032解：（2015x）（2013x）=，（2015x）（2013x）2=（2015x）2+（2013x）22（2015x）（2013x）=4，则（2015x）2+（2013x）2=4+2=4032【巩固练习】一.选择题1. 若是完全平方式，则的值为（ ）A5 B7 C1 D7或12（2016富顺县校级模拟）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）x210 x+25；4a2+4a1；x22x1；A1个 B2个 C3个 D4个3. 如果是一个完全平方公式，那么是（ ） A. B. C. D. 4. （2015永州模拟）已知

8、a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2abbcac的值为（）A 0B1C2D35. 若，则的值为（ ） A.12 B.6 C.3 D.06. 若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（ ） A. B. C. D. 二.填空题7（2016赤峰）分解因式：4x24xy+y2= 8. 因式分解:_. 9. 因式分解: _.10. 若，_.11. 当取_时，多项式有最小值_.12.（2015宁波模拟）如果实数x、y满足2x26xy+9y24x+4=0，那么= 三.解答题13.若，求的值.14.（2015春怀集县期末）已

9、知a+=，求下列各式的值：（1）（a+）2；（2）（a）2；（3）a15. 若三角形的三边长是，且满足，试判断三角形的形状. 小明是这样做的： 解：，. 即 ，. 该三角形是等边三角形. 仿照小明的解法解答问题： 已知： 为三角形的三条边，且，试判断三角形的形状.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D； 【解析】由题意，4，.2. 【答案】C； 【解析】 不能用完全平方公式分解.3. 【答案】B；【解析】，所以，选B.4. 【答案】D； 【解析】解：由题意可知ab=1，bc=1，ac=2，所求式=（2a2+2b2+2c22ab2bc2ca），=（a22ab+b2）+（b22bc+c2）+（a22ac+c2），=（ab）2+（bc）2+（ac）2，=（1）2+（1）2+（2）2，=3故选D5. 【答案】A； 【解析】原式.6. 【答案】B； 【解析】，由题意得，所以.二.填空题7. 【答案】（2xy）2 【解析】4x24xy+y2=（2x）222xy+y2=（2xy）28. 【答案】；【解析】.9. 【答案】【解析】.10.【答案】1； 【解析】，所以，.11.【答案】3，1； 【解析】，当时有最小值1.12.【答案】【解析】解：可把条件变成（x26xy+9y2）+（x24x+4）=0，即（x3y）2+（x2）2=0