人教版八年级数学上册09《角的平分线的性质》知识讲解+巩固练习(基础版)(含答案)

1、PAGE 角的平分线的性质（基础）【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质2掌握角平分线的判定及角平分线的画法3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PEAD于点E，PFBD于点

2、F，PEPF，则PD平分ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC的内心为，旁心为，这四个点到ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、

3、角的平分线的性质1（2015春启东市校级月考）如图，已知BD为ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PMAD于M，PNCD于N，求证：PM=PN【思路点拨】根据角平分线的定义可得ABD=CBD，然后利用“边角边”证明ABD和CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得ADB=CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可【答案与解析】证明：BD为ABC的平分线，ABD=CBD，在ABD和CBD中，ABDCBD（SAS），ADB=CDB，点P在BD上，PMAD，PNCD，PM=PN【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形

4、并得到ADB=CDB是解题的关键2、（2016春潜江校级期中）如图在ABC中C=90，AC=BC，AD平分CAB，DEAB于E，若AB=6cm，求DEB的周长【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算DEB的周长【答案与解析】解：C=90，AD平分CAB， DEAB，CD=DE，CADEAD(HL)AC=AE，AC=BC，B=45，BE=DE，DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm【总结升华】将DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD是ABC的角平分线，且，则ABD

5、与ACD的面积之比为（ ）A3：2 B C2：3 D.【答案】B；提示：AD是ABC的角平分线，点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又，则ABD与ACD的面积之比为3、如图，OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论【思路点拨】利用角平分线的性质证明PDPE，再根据“HL”定理证明OPDOPE，从而得到OPDOPE，DPFEPF再证明DPFEPF，得到结论.【答案与解析】解：DFEF理由如下：OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，PDPE，由

6、HL定理易证OPDOPE，OPDOPE，DPFEPF在DPF与EPF中，DPFEPF，DFEF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂：388612 角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CEAB,BDAC,BC，BFCF.求证：AF为BAC的平分线.【答案与解析】证明： CEAB,BDAC（已知） CDFBEF90 DFCBFE(对顶角相等) BFCF(已知) DFCEFB(AAS) DFEF(全等三角形对应边相等) FEAB，FDAC（已知） 点F在BAC的平分线上(到一个角的

7、两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（秋肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PDOA于D，PEOB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG求证：OC是AOB的平分线【答案】证明：在RtPFD和RtPGE中，RtPFDRtPGE（HL），PD=PE，P是OC上一点，PDOA，PEOB，OC是AOB的平分线【巩固练习】一.选择题1. AD是ABC的角平分线, 自D点向AB、AC两边作垂线, 垂足为E、F, 那么下列结论

8、中错误的是( ) A.DE DFB. AE AF C.BD CD D. ADE ADF2（2015高新区校级模拟）如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和38，则EDF的面积为（）A8 B12 C4 D63（2016淮安）如图，在RtABC中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是（）A15B30C45D604. 到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三角形三条高线的交点 B.三角形

9、三条中线的交点C三角形三边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点5. 如图，下列条件中不能确定点O在APB的平分线上的是（ ） APBAPDC B. AODCOB C. ABPD，DCPB D.点O到APB两边的距离相等.6. 已知，如图，ABCD，BAC、ACD的平分线交于点O，OEAC于E，且OE5，则直线AB与CD的距离为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20二.填空题7（2016西宁）如图，OP平分AOB，AOP=15，PCOA，PDOA于点D，PC=4，则PD=8. 如图，在ABC中，C90，DEAB，12，且AC6，那么线段BE是ABC的 ，AEDE。9. 已

10、知：如图，在ABC中，BD、CE分别平分ABC、ACB，且BD、CE交于点O，过O作OPBC于P，OMAB于M，ONAC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_10.如图,直线、表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供选择的地址有 处.11（2015春晋江市期末）如图，DEAB于点E，DFBC于点F，且DE=DF，若DBC=50，则ABC= （度）12.已知如图点D是ABC的两外角平分线的交点，下列说法（1）ADCD (2)D到AB、BC的距离相等（3）D到ABC的三边的距离相等 （4）点D在B的平分线上其中正确的说法的序号是_.三.解答题13（秋赣州期末）

11、已知：如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC（1）求证：AM平分BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果14如图，在ABC中，C90，BD平分ABC，DEAB于E，若BCD与BCA的面积比为38，求ADE与BCA的面积之比15. 已知：如图，ABC的外角CBD和BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在DAE的平分线上【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；2.【答案】D； 【解析】解：如图，过点D作DHAC于H，AD是ABC的角平分线，DFAB，DF=DH，在RtDEF和RtDGH中，RtDEFRtDGH（

12、HL），SEDF=SGDH，设面积为S，同理RtADFRtADH，SADF=SADH，即38+S=50S，解得S=6故选D3.【答案】B；【解析】由题意得AP是BAC的平分线，过点D作DEAB于E，又C=90，DE=CD，ABD的面积=ABDE=154=304.【答案】D； 【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等.5.【答案】C ； 【解析】C项中，仅表示了到两边的距离，没说明相等.6.【答案】B； 【解析】由题意知点O到AC、AB、CD的距离相等，都等于5，所以两平行线间的距离为5510.二.填空题7. 【答案】2； 【解析】作PEOA于E，AOP=BOP，PDOB，PEOA，PE=P

13、D（角平分线上的点到角两边的距离相等），BOP=AOP=15，AOB=30，PCOB，ACP=AOB=30，在RtPCE中，PE=PC=4=2PD=PE=2.8. 【答案】角平分线，6； 【解析】AEDEAEECAC6.9. 【答案】OPOMON 【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等.10.【答案】4；【解析】内角平分线交点一个，外角平分线交点三个.11.【答案】100；【解析】解：DEAB于点E，DFBC于点F，且DE=DF，BD平分ABC，ABC=2DBC，DBC=50，ABC=100，故答案为：10012【答案】(2)(3)(4).三.解答题13.【解析】（1）证明：作MEAD于E，MCDC，MEDA，MD平分ADC，ME=MC，M为BC中点，MB=MC，又ME=MC，ME=MB，又MEAD，MBAB，AM平分DAB（2）解：DMAM，理由是：DM平分CDA，AM平分DAB，1=2，3=4，DCAB，CDA+BAD=180，1+3=90，DMA=180（1+3）=90，即DMAM（3）解：CD+AB=AD，理由是：MEAD，MCCD，C=DEM=90，在RtDCM和RtDEM中RtDCMRtDEM（HL），CD=DE，同理AE=AB，AE+DE=AD，CD+AB=AD14.【解析】解