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1、垂径定理问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗? 赵州桥主桥拱的半径是多少? 问题情境学习目标1、理解圆的轴对称性;2、掌握垂径定理及其推论;3、能用垂径定理进行简单的计算。 实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴活动一如图,AB是O的一条弦,作直径CD,使CDAB,垂足为E(1)圆是轴对称图形吗?如果是
2、,它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么??思考OABCDE活 动 二(1)是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴(2) 线段: AE=BE弧:AC=BC,AD=BD把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,AC , AD分别与BC 、BD重合垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。题设结论(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧 练习在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧解得:R279(m)BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在RtOAD中,由勾
3、股定理,得即 R2=18.72+(R7.2)2赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4,CD=7.2,OD=OCCD=R7.2在图中如图,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为垂足,OC与AB 相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C是 的中点,CD 就是拱高ABABAB例1 如图,已知在O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离为3厘米,求O的半径。解:连结OA。过O作OEAB,垂足为E,则OE3厘米,AEBE。AB8厘米 AE4厘米 在RtAOE中,根据勾股定理有OA5厘米 O的半径为5厘米。.AEBO讲解例2 已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。求证:ACBD。证明:过O作OEAB,垂足为E,则AEBE,CEDE。AECEBEDE。所以,ACBDE.ACDBO讲解例3 已知:O中弦ABCD。求证:ACBD证明:作直径MNAB。ABCD,MNCD。则AMBM,CMDM(垂直平分弦的直径平分弦所对的弧)AMCMBMDMACBD .MCDABON讲解结论:圆的两条平行弦所夹的弧相等小结: 解决弦时常用的辅助线:过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形,根据
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