三角函数知识点归纳

1、 三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1任意角角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角.正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角按终边位置不同分为象限角和轴线角.角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a为第几象限角.第一象限角的集合为x|k-360。ak-360。+90,kgz)第二象限角的集合为Ik-360。+90。k-360。+180。,kgz)终边在x轴上的角的集合为第三象限角的集合为4|k-360。+180。ak-360。+270。,kgZ第四象限角的集合为k-360+270。a/!

2、/hJafiJ1定义域RR2J值域-1,1-1,1R最值当x=2k兀+(kgZ)时，2y=1；当x=2kmax2(kgZ)时，y=1.min当x=2k(kgZ)时，y=1；当x=2k+max(kgZ)时，y=-1.min既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(k2k(k2k,2k+22三z)上是增函数；“3+,2k+22_三Z)上是减函数.在在bk-,2k(kgZ)上是增函数；在bk,2k+(kgZ)上是减函数.在(k(,k-一，k+k22丿gZ)上是增函数.对称性对称中心(加,0)(keZ)对称轴x=k兀+上(keZ)2对称中心心?02eZ)对称轴x=k兀(keZ)对

3、称中心(2,0)(kez)无对称轴5、研究函数y二Asin(x+申)性质的方法：类比于研究y二sinx的性质，只需将y二Asin(x+申)中的x+申看成y=sinx中的x。函数y=Asin(or+9)(A0,0)的性质。定义域：R2)值域：-A,A3)周期性：T=汙(1)f(x)二Asinx+p)和f(x)二Acosx+p)的最小正周期都是T=gII兀f(x)二Atanx+p)的最小正周期都是T=厂II(4)单调性：函数y=Asin(rox+p)(A0,w0)的兀兀单调增区间可由2k兀一Wrox+pW2k兀+,kWz解得；22兀3兀单调减区间可由2k兀+Wrox+pW2k兀+,kWz解得。22

4、在求y二Asin(rox+p)的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。兀如函数y二sin(-2x+-)的递减区间是答：一青+用眄誇+肚(血匕力)解析：y=sin=sm，所以求y的递减区间即是求的递增区间，由-F+肚：.：.生一工斗+2/,TT.得-I-knykfZ，所以y的递减区间是-巨+刼，了亍+窃(k匸另)四、函数y=AsinCx+cp)的图像和三角函数模型的简单应用一、知识要点1、2、几个物理量：振幅：A；周期：T=；频率：f=；相位：rox+p；初相：proT2兀函数y=Asin(rox+p)表达式的确定：A由最值确定；ro由周期确定；P由图象上的特殊点确定.函数y=

5、Asin(rox+p)+B,当xxi时，取得最小值为ymin；当xx1TA=(y-y)B=(y+y)=x-x(x0）的图象y=sinxy=sinx横坐标严y=sinrox伸（缩）丄倍roy=sin血+9）伸纵坐标Al左（右）平移-ro左（右）y=Asinrox伸（缩）A倍平移ro横坐标.y=sin（rox+Q）纵坐标1，亠伸（缩）A倍伸（缩）一倍ro纵坐标-4.（）横坐标伸（缩）A倍尸应血知y=Asinfex+甲)伸（缩）上倍ro横坐标y=Asinrox-左（j纵坐标=Asinx伸（缩）Ay倍|inx伸（缩）丄倍平移roro伸（缩）丄倍ro左（右）y=Asin（x+q）横坐标平移Q5、函数y=

6、Asin（rox+Q）+b的图象与y=sinx图象间的关系：函数y=sinx的图象向左（q0）或向右（q0）或向下（b0）平移IbI个单位，得到y=Asin（rox+Q）+b的图象。要特别注意，若由y=sin（rox）得到y=sin（x+Q）的图象，贝恫左或向右平移应平移I-1个单位，ron如要得到函数y=sin（2x3）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）（A）向左平移3个单位（B）向右平移扌个单位（C）向左平移6个单位）向右平移6个单位6、函数y=Acos（rox+）和y=Atan（rox+）的性质和图象的变换与y=Asin（rox+）类似。三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正

7、切公式：cos（a+p）=cosacos卩-sinasin卩；（2）cos（a-p）=cosacos卩+sinasin卩；sin(a+p)=sinacosp+cosasin卩；(4)sin(a-p)=sinacos卩一cosasin卩；tan(a+p)=it-ItZZlp=(tana+tanp=tan(a+p)(1-tanatanp)tan业主鸣1+tanatanp(tana-tanp=tan(a-p)(1+tanatanp).如tan20o+tan40o+、3tan20otan40o=；(答案：3)2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin2a=2sinacosa.n1土sin2a=sin2a

8、+cos2a土2sinacosa=(sina土cosa)2（答案:5）丄-5兀1ni5nn*心.十如COS212十cos22十cosJ2cosJ2的值等于cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2an升幕公式1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a1+cos2a1一cos2an降幕公式cos2a=，sin2a=tan2a=亠込1-tan2a3、二弦归一n把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：asin0+bcosG=Ja2+b2sin（0+p），其中tan申=.a4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法.常用

9、的方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补,互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：aaa2a是a的二倍；4a是2a的二倍；a是-的二倍；-是-的二倍；TOC o 1-5 h z厶厶I兀兀15。=45。一30o=60。一45。：问：sin=；cos=；1212兀兀兀兀兀a（a+p）一p+a一（一a）2a（a+p）+（a一p）（+a）一（一a）:等等.42444如1tan(a+p)=2,tan（兀、1=一,贝Vtan(冗)a+14J4I4丿3（答案：刃）,cos2=44n3n2若c

10、os(a+)=5,cos(a)=5，且2VaVn,2a+V2n，贝Vcos2a=7（答案：一25，1）st=1,tan6-卩）=-3,则tan（卩-2a）=:（答案：8）1-cos2a38（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦,变异名为同名（二弦归一）。如sin50o(1+.3tan10o)=解析：原式=sin50o-/cos10o石sin10o、+cos10ocos10o(1丘)2一cos10。+sin10。22丿=sin50o丄cos10o2sin(30o+10o)=sin50o_2sin40ocos40。sin80。“1co

11、s10ocos10ocos10o丿（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“”的代换变形有:1=sin2a+cos2a=sin90o=tan45o（4）幕的变换：降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幕处理的方法。常用降幕公式有：;。有时需要升幕，常用升幕公式有：；.如对无理式、：1+COSQ常用升幕化为有理式.(5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。女如cosacosP-sinasinP=；sinacosP+cosasinP=；tana+tanP=；1-tanatanP=；tana-tanP=；1+tanatan