三次函数对称中心

1、三次函数的再探索一一对称中心问题三次函逊凶已经戍为中学阶段1个重要的函数，在高考和1些重大考试中频饕岀现有关它的单独命题，而/W=3。工十加七C为二次函数，利用/来研究三泱函数的库性、极值等三次函数的性质己成为常用工具，而三次函数的对称中、（/W=处），虽然不是高考的重点，但还是应该引起我们的重渕。一.三次函数必定存在对称中心吗*?结论；三次函数肯定存在对称中心。证明：假设三次函数的对称中心为CM,N）.即证/0）曲线上的任意一点（兀刃，关于（M,毎的对称点（2M入2丁）必在/0）曲线上。因为2N-y=aM-b（2M-xf（2M-x）+d2尹二a（创沪一兰十6报？一12必劝十6（4山十/一4必

2、）十2施;一肚十丁二/十十（12加/十4必代）“引/一4刼十2N2胚对比y=ctb7?十ex十分(1)0)(3b=-aM-h有“2aM2+4Af&+c=c一8曲一AhM2一/+2商一2Mc=dM=-由（i）有丸代入有十滋十4切护十2胚N=AaM3+2bN2Mcd=27?y-a说明三次函数的对称中心不仅存在，而且是曲线上的某一个点，即对称中心为例1】求/w=F_3/+6x_7的对称中比解：令C（Af,N）粉=/W的对称中心兀尹）为丿二/W曲线上任意一点则2（2M兀2N-刃也在，二/W曲线上.即22V-y=（2M-计一3（2肚-a）2十6（2M-）-7=8Af3-x3十6诡2一12必亏一12吻十1

3、2忍一3扌十12加一6兀一7整理得y=2“一8忍口卩6A+12Af4+i2册2滋+玄2一12虫+&+7尸=9+;?（-6巫+3）+双1宓2+6_1酗）+（7_1负+1负2-紘耳+2眄对比y=入3_3兀2十6兀_7-6M+3=-3亘实三次函数对称中心在因象上还有它的独特位置。/（x）=3ax2+26z+c（4）结论（力是可导函数，若y=J（x）的因象关于点3,希对称，则尹二于（兀）阂象关于直线尤=吻对瓠证明：尹=了（兀）的團象关于（承,m）对称，则JW十了（2滋一兀）二2,:f畑_巧=limg-zm=lim毙一小一列一加rbAxAxbMfQAt心-0对照上述证明和，两图，不难发现A，B两处分别为

4、，=畑的根犬值，根小值处，而从虏拒的曲线是单调逸减的，但注意劃对称中心C（M，旳处两恻鮒逬的曲钱形弍（凹_b凸性）发生变化，即c为J7=/W的拐点Cf（M）二0）,而c的橫坐袜呈兀一一壬恰为的对称轴。令同1必）I3（可必）则丿（）I旦並心、这样由得码313/I所氏对称中心Cg也是葩ei的中点。综上所述：三次函数的对称中心几人旳是必定存在的，就是图彖中的捋点处，横坐标一芬就是/B的中点三过三次函数对希中心的切錢条数结论:过三次函数对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上際对称中心外的枉一直与该三次曲线相切的直线有爾条。由于三次曲线都是中心对称曲线，因此为便于研究，将三次曲钱的

5、对称中心移至坐标原乩it样便可将三次函数的解析弍简化为f（）=心证明：若是三次曲线畑=怎+力上的任一点，设过M的切线与曲线/=/W相切于（张儿）则切銭方程为尸一兀=/（册）（兀一册儿因为点M在此切线上故必-儿=f（&）（x心），又凡二扇十沁x=ax+bxlt所以处J+如1-堀）=（丸;+3）（更-牝）丿整理導:（励一烦）（2册十兔）=辭得丿牝=无或比.7n由此可见，不仅切线号三次曲线的公共点可以多于一个，而但过三次曲线上点的切线也不一定唯一。二兰显【例3】已知曲线丁一丁1,求曲线在点（2,4）处的切线方程=曲线在点厶4）处的切线斜率为=/（2）=4:.代入直线方程的斜截式得切线方程为V-4=4（兀一2）即歹=4兀一4壬4娈式：已知曲线一33，则曲线过点（24）的切线方程-谙解:依卜藏做沬，百持埴I答家4兀一尸一4=0错因分析：因为求过曲线上某点的切钱方稈不一走这査就星切査，逮与圆的切线星有不同的I本题点4）在曲钱Z_T3-所以求过点【s4）的切线，点，也）可以是切点也可以不是正确解法；设过点（24的切歧对应的切点为33T寸斜率対此=ro21切线方程対（牛+）=疔A如）点M的坐标代入，得4=2+了2a03-6a024-8=0j:.?r03-瓯$十4=0-.-+1-（3-3）=0（叼+1）（Aq2Aq+1）3（叼_1）（0+