数列极限引例和讲解

1、数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解一、引例1、割圆术: “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣”.刘徽播放正六边形的面积A1, 正十二边形的面积A2, 正62n-1边形的面积An.数列极限引例和讲解A1, A2, A3, , An, S2、截杖问题：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”.第一天截下的杖长为X1=第二天截下的杖长之和为X2=第n天截下的杖长之和为Xn=数列极限引例和讲解二、数列的定义例如: 2, 4, 8, , 2n, ; 记为2n. 定义: 按正整数1, 2, 3, 编号依次排列的一列数 x1, x2, , xn, (1)称为无穷数列,

2、简称数列. 其中的每个数称为数列的项, xn称为通项(或一般项). 数列(1)记为 xn .记为记为记为数列极限引例和讲解 注意1. 数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴上依次取x1, x2, , xn, 注意2. 数列是整标函数, 即定义在正整数集合Z+或自然集合N上的函数 xn = f (n).播放三、数列的极限观察数列当n时的变化趋势播放观察数列当n时的变化趋势 问题: 当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值? 如果是, 如何确定?数列极限引例和讲解通过对上面演示实验的观察: 当n无限增大时, 数对极限仅停留于直观的描述和观察是非常不够的.凭观察是不能判定数列的极限

3、.无限接近于1. 问题: “无限接近”意味着什么? 如何用数学语言刻划它? 列数列极限引例和讲解 这就是“当n无限增大时, xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述. 定义: 设数列xn, 如果存在常数a, 对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式| xn a | 都成立, 那么, 就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为或 xna (n). 如果不存在这样的常数a, 就说数列xn没有极限, 或者说数列xn是发散的, 习惯上也说 不存在.数列极限引例和讲解 注: 此极限定义习惯上称为极限的 N定义. 它用动态指标 和N刻画

4、极限的实质, 用| xna |0, 标志着“要多小可以有多小”的要求, 用nN表示n充分大. 这个定义有三个要素: 10, 正数 ; 20, 正数N; 30, 不等式|xna|N以后的所有xn ). 注: 定义中的N是一个特定的项数, 与给定的 有关, 有时记作N(). 重要的是它的存在性, 它是在 相对固定后才能确定, 且由| xna |N时, 不等式| xna |0, N, 使得N项以后的所有项xN+1, xN+2 , xN+3, 都落在点 a 的 邻域( a, a+ )内. 因而, 在这个邻域之外至多有数列中的有限个点. 这表明: 若 xna (n), 则xn所对应的点列, 除了前面有限

5、个点外的所有(无穷多)点都能凝聚在点 a的任意小邻域内, 到一定程度时, 数列xn中的项其变化是很微小, 呈现出一种稳定的状态, 这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”, 也称 a 为“聚点”.注意: 数列极限的定义未给出求极限的方法.数列极限引例和讲解例1: 已知证明: 由于因此,则当 n N 时,就有| xn0 | 得证 利用定义验证数列极限, 遇到的不等式| xna |0, N, 使得nN时, 恒有| xn-a |N时, 恒有| xna | 1, 注意: 有界性是数列收敛的必要条件. 推论:无界数列必定发散.| xn |=| xn- a + a | | xn- a |+| a | 0,

6、则N, 使得nN时, xn( a, a+ ), 即在 a 的任一 邻域内聚集着xn中的无穷多个点, 而在该邻域之外至多有 xn中的有限个点.证:用反证法.不妨设a N1时, 恒有又 N2, 使得nN2时, 恒有取两者矛盾. 取N=maxN1, N2, 则当 nN 时,与两式同时成立,这说明结论成立.数列极限引例和讲解六、小结 数列及其极限:研究其变化规律, 极限思想, 精确定义和几何意义; 收敛数列的性质:有界性, 唯一性数列极限引例和讲解作业：P28-1,3(1),(2),4数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引例和讲解数列极限引