注重数学本质提高数学素养

1、注重数学本质 提高数学素养张奠宙 教授 数学教育家 华东师范大学唐彩斌 中学高级教师 浙江杭州现代小学数学教育研究中心唐：各位老师大家好。今天我们交流研讨的话题是“注重数学本质，提高数学 素养”。讨论小学数学教学中常见的“数学问题”，为什么强调是数学问题呢，是因为我们希望今天的交流能突出数学的本质，帮助大家一起提升数学素养。也正如 大家常说“教什么比怎样教更重要”，我们今天讨论的就应该属于“教什么”的范畴。张： 各位老师，大家可能都听到一句俗语叫做要给学生一杯水，教师必须有一桶水。所以我们今天来谈谈小学数学的内容，大家不会觉得太简单吗？实际上我们要关注小 学数学教材里边背后的内容，就是说我们是

2、要源于教材但是要高于教材；另外，就是要居高临下，我们有一些更高的观点来观察小学教材的内容；其次，我们要有全 面的整体的意识，知道小学数学教材他在整个教育当中的地位和作用，然后，我们就可以心中有数；最后，小学教材虽然看来比较简单，但是它与时俱进，还是有许 多时代特色需要我们展示，需要我们深入的了解。所以，我们愿意给大家来探讨，小学当中的一些数学问题，我想，希望给各位理解教材，理解课程标准有所帮助。【PPT】（PPT内 容为画线部分，下同）一、数与代数领域问题的讨论10为什么是自然数唐： 现在我们就按照小学数学的几大领域来选择一些问题来具体分析。我们都知道，小学数学中最大的学习领域是数与代数领域。

3、首先我们讨论关于自然数。大家可能会 问： 自然数谁不懂？ 这里还会有数学问题吗？其实与时俱进地看，自然数的问题还真不少。大家可能争论最多的是“0本 来不作为自然数，现在怎么又说是自然数了，为什么”？张： 在上世纪90年代以前，自然数不包括0， 但是1993之后，就包括0在内，这当然是 一个规定所产生的，那是在1993年颁布的中华人民共和国国家标准里面有一句话说规定自然数包 含0，从此之后，0就属于自然数的范围了。 【PPT】唐： 从近年来编写新课标小学数学教材中，我们可以发现教材也都根据上述国家标准进行了修改。具体的表述是：用0表示“一个物体也没有”所对应的计数。【PPT】只是在教学中，有 些

4、老师觉得把0作为自然数，与传统不同，不太习惯。张： 这 只是习惯问题。0 是自然数有许多理由。首先， 人的经验是，从无到有。 魔术师先交代两手空空， 再变出一只兔子， 然后两只兔子。铅笔盒中本来是空的，然后装进一支铅笔、两只等等。第二，更重要的是书写的需要， 十的位置记数写法是10。【PPT】 没有0， 就写不出10，20，30， 100。 所以0，1，29， 共十个数字是最基本的。第三， 0的出现可以保证自然数集有单位元 a+0 =0+a=a. 【PPT】在自然数中550，如果0不 是自然数，那么55岂不是不能减了。此 外，大数学家冯诺依曼用集合论的语言写自然数， 第一个是“空集”， 用0

5、表示，【PPT】 然后把以空集为元素的集合叫做1， 依次类推。从文化的角度看来“有”也是从没有开始的。唐： 这么说， 0 是自然数的说法，既有生活经验， 又符合数学规则， 还有文化背景和科学依据， 是合乎情理的。 说起习惯，从某种意义上是老师的习惯，学生其实没有这样的习惯。从这个角度来说，有时有些新的事物老师认为难接受，但学生反而觉得好接受，可 能也是这样的原因吧。2数位的分级是三位一级还是四位一 级唐：下面的类似问题是关于数位 的分级。自然数用十进位记数。在小学里教材上，读数与写数的时候，一向强调四位一级，分为个级、万级、亿级，但是在现实生活，无论是银行里的计数，还是信 息技术中的计数都是三

6、位一级，即个、千、百万，从数学角度上怎样看这种现象？ 张： 这个问题我觉得应该“与时俱进”，在以前我关注到，小学数学教学中只讲四位一级，只讲个、万、亿。但是现在与国际接轨之后“千”的用途越来越大。所以说四 位计数是我们的传统，必须保持，【PPT】我们的学生应该懂，三位一级更是国际惯 例，又必须与国际接轨，【PPT】我们也应该让学生掌握。两种并存，是必然趋势，逐步与国 际接轨。我们也注意到，像尺和寸现在就用的比较少了，米和厘米用的比较多了。将来，会通过社会的选择来确定哪一种是主要的。我想，两种都要学，这大概是不 可避免的。唐：听张老师这么一说，我们知道既要保存传统，又要与国际接轨。也有学 者把数

7、位的分级与空间图形结合起来，认为“三位一级”更符合数形结合的规律。具体地说，一个小立方体表示1， 那么10个一排就是10，10个10排成1个 面就是一个百，每一百算一层，10层就是一个新立方体，表示“千”。 再从“千立方体”出发， 10个一排， 10排构成面， 10个面叠成新的立方体就是一百万。这就很形象地描绘出“三位一级”的构造。【PPT】这样看来，“三位一级”也是可以通过数形结合来描述这种结构。张： 我还注意到，不管是“四位一级”还是“三位一级”，百万是大家共用的名词， 例如“百万雄师”，“和百万英镑， 中外都用百万形容很多。所以对百万我们还应该多多的关注。唐：张老师说起那个百万，就不仅让

8、我想起我们经常看到的一些课题教 学。我们经常听到这样的片段，1百万有多大？让学生认识 “1百 万颗黄豆有多少体积。” 【PPT】张：当初设计这样的教案，它的初衷是好的，就是要大家体验一下一百万是怎么样过来的。它一定是从一开始，然后到十、百、千一点一点数出来的。当 数目很大的时候，数起来很费力。让儿童经历这样一个过程还是很有好处。不过，我又觉得，我们本质上还是要关注100万 这个数的结构。至于说100万粒米有多大，这个不是数学要研究的问题，这是个别的体验，100万粒米， 100万颗花生， 100万个篮球有多大等像这样的问题是没有穷尽的，也不是我们每个人都需要去体验的。所以。我觉得还是要把精 力放

9、在100万的结构上面，比如100万里 面有多少个1000，100万里面有多少个1万，我们每人捐款1000元，要捐到100万需要多少个人捐，这样的素材不仅有现实背景，而且还有数学意义，可能更值得我们去思考。3分数的定义唐： 听张老师这么说，就是我们在组织这样的活动的时候，一方面要关注现 实背景，但是更重要的是要关注数学的意义。前面我们主要讨论的是关于自然数的问题。接下来我们要讨论的是一个比较难学，但却很重要的课题：分数。我想我们 从分数的定义开始谈起。教材很多都是从份数的定义开始的。【PPT】 一般都这样描述：单位1平均分 为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。【PPT】这样的描述听起来比

10、较自然，也符合“几分之几”的称呼。因而是引入分数的首选。张老师你怎么看。张： 对，用份数的定义来引入分数是非常自然的。但我觉得这样也有缺点，最后是一份或几份，那究竟是自然数还是分数？这样不太明确。因此必须尽快过渡到分数的 “商”定义，分数的定义就是，分数是两个正整数a，b，a 除以b 的商。所以分数是一个商，这个概念我们现 在注意的不够，而这恰恰是我们学习分数的核心所在。用a除以b， 当除的进时（整除），就是原来的自然数，没什么问题，问题就在除不进的情况下面，那么我们就得到了一个分数，这就是分数所以要成为分数根本的原因，就是除 不进的情况下需要分数，除的进就不需要分数了。例如1/4， 它是一个

11、整体平均分为4份中的一份。 但是， 这一份究竟有多大呢？ 1除以4的商是多大呢？它一定比1小， 却又比0大。于是我们在数射线上可以标出它的位 置：它在0和1之间，当中这一点是一半就是1/2，把1/2和0之间再分一半，那个地方就应该是1/4，这样一画，数 的概念就出来了。这就显示它是一个新的数，是原来自然数所没有的数，它是我们现在要研究的对象。商的分数的定义比份数的定义要深入一步，体现了分数出现的 必要性，特别是商和除法之间的关系，我想，如果理解了这一点，分数的价值才能完整的体现。份数定义还停留在“几份”的思考上，还没有摆 脱自然数的表示。1份，几份，是分数还是自然数？ 因此必须尽快过渡到分数的

12、“商”定义。 0 1【PPT】唐：刚才张老师也说起分数与除法的关系，但是以前我们描述分数与除法的关 系时只讲分数与除法之间的关系，一般描述为：分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。但到底是怎样的一种关系，尚不明晰。通过刚才的 介绍分数的商的定义，可能分数是一个新的数。张老 师，你刚才还提到了分数的另外一种定义，那是一种怎样的定义？张：分数的第三个定义是比的定义两个自然数 a比b, b 0, 即a/b 叫做分数。比和除，本来是一个问题的两个方面，我的意思 是说，用比的概念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。我记得我曾经请你做过一个实验，你把实验向大家介绍一下

13、。唐：好的，我们来 分享一下这个实验的结果。上次张老 师布置我做过一个小调查，我们就组织了100多名学生，分别来自三、四、六年级，调查的方法是，就 是当学生看到屏幕上有一个圆，我们把圆分成4份，其中的一份涂成蓝色，这时学生会想到哪些分数呢？ 我们给学生一些时间，让他们想，结果我们发现：（时间2分钟）【PPT】测试结果： 【PPT】总人数1/43/41/24/11/33/1三年级3938140四年级39361710882六年级3836833合计11611039138112百分率94.8333.6211.26.909.481.72张老师。你怎么看这个数据。张： 我想，比的定义和我们原来份数的定义是

14、相关的，份数的定义是说一个整体平均分之后，其中的几份。从这个小调查看出，以整个圆作为“整体单位”的思维定势还 是比较强的。但整体不仅仅是一个圆，也可以是1个半圆，或3/4个 圆，所以整体是可以变化的，是可以有多种多样的选择的。所以就一个大学的教师来看，我首先看到的是在1个 圆里面1快蓝3块白，蓝和白之比是1：3，然后马上就认为是一个1/3。所以说不能把一个整圆分成4等分作为一种定式， 以至于看不到一块蓝三块白之间的比。我想比的定义也许和份数之间的灵活转换有一定的关系，我也希望大家把份数和比的定义连接起来思考。唐： 如果电视机前面的老师也有兴趣的话，你也不妨对你班里的学生做这样的调查，或许你能更

15、加深刻的认识到刚才张老师所讲的从份数定义怎样过渡到商的定义的重要性。因为在这个过 渡的过程中，让我们明确了分数是不同于自然数的一种“新”的数，是我们的新朋友。当我们把1/3 ，1/6等等分数标在数轴（数射线）上的时候 ，新数的面貌就完全呈现出来了。【PPT】4分数基本性质唐：分数学习中有一个重要的性 质，是老师们都特别熟悉的，就是分数的基本性质。但是所谓基本性质，我们总是这样描述：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。除了这样的描述，究竟是什么性质呢？并没有明确的词语，好像总得有一个特别的名字才 好。从数学的角度应该怎么描述？张： 我想，这就是分数相等的性质，在自然数

16、里面，两个数相等，这两个数的表达是一样的，2等于2，2就是2。 在分数里面，不同形式的分数，它是相等的，但相等的东西可以不一样，这就是一个新问题了。在数学上面，这叫做“等价类”。就是把不同表现形式的东西归为一 类，这样，我们在观察问题时，就不仅是看一个数，而是看一群数，一类数，这类数我们就叫做“等价类”。这个思想在教材当中未见得要出现，但是作为老师我们 要认识到，自从进入分数范围内以后，这个基本性质，实际上是说明了：不同的东西可以归为一类，但是它们有个标准，就是数值相等。“等价类”是一种非常重要 的数学思想，也是我们处理分数不可缺少的一个思考。大家也可以看这个“等价类”例子，1/2 所在的等价

17、类，各个分数彼此相等： 1/2 = 2/4= 3/6 = n/2n = 【PPT】唐： 听张老师这么一说，就是说有不同分数的外形，但是它的数值是一样 的，如果要派代表的时候，我们都很熟悉，叫做最简分数。那么用最简分数作代表行不行？你能不能给我们结合具体的事例形象地说明一下？张： 我可以有两个比喻：一个是：分数好像一个人可以穿不同的衣服。体 育课穿运动服，上课穿校服，正式场合穿西装，文艺演出穿演出服， 休闲时穿休闲服等等。不同场合穿不同衣服，虽然最常用的是校服，但校服不能代替其它的服，但人是同一个。另一个是：分数又好像我们的学校。里面的成员 都是平等的，都能代表学校，但是各有各的作用。校长会议校

18、长去参加，数学教师活动请数学教师去，5年 级学生的竞赛则必须由5年级学生参与。所以我想，“等价类”就是这样，大家都是平等 的，不同的场合要有不同的表示形式。最简分数固然重要，但分数相加需要通分， 最简分数就不够用了。就如校长虽然重要，却不能代表一切。所以你刚才提的问题很好，所谓分数的基本性质，就是分数相等的性质。什么叫做分数相等，就是这样 的定义。唐：经过张老师这样形象地描述，分数的这个等价性大家一定清楚些了。那为 什么分数要出这样一个基本性质，而自然数没有呢？张： 相等的自然数只有一种形式。 但是相等的分数却有不同的形式。 而且分数的约分，通分在后续学习中非常有用。所以必须认真学习，加深理解

19、。唐：基于以上的讨论，我 感到分数教学对我们老师的启示有以下两点： 第一， 分数是“新朋友”，是除不尽情形下引进的新数。分数的本质在于使得自然数的除法总可以施行，因而分数的“商定义”显得十分重要。 第二。分数是一个大家庭，相等的分数可以有不同的形式。等价类的思想应该有所渗透。【PPT】 5小数与分数的关系唐：说完了分数，我们来 讨论和分数密切相关的小数，小数与分数的关系，我们常常这样说：小数是分数的另一种形式。十分之几的分数可以写成一位小数，百分之几的分数可以写成两位小 数，依此类推，所以一般都先学分数再学小数。你怎么看？ 张：先学分数再学小数是从一般到特殊，一般的分数有了，我们再来研究特殊的

20、，以10为分 母的分数。但是小数是不是因为分数才产生的呢？这不是。小数的产生与现实中的度量有密切关系。我们有了尺所以下面有寸、有分，我们有了斤所以下面有两。所 以我想，如果我们先学分数，比如说几元、几角、几分，然后再把特殊的分数，我们分成10份的分数， 推广为一般，从特殊到一般，也是一种认识的规律。所以这两者，在我所见到的国内外许多教材当中，是有不同的安排的。有些就是由一般到特殊，像我们现在多数 采取的，有些国外的教材就是从特殊到一般，先有小数这样的分数，然后在推广到一般的分数，都是可以的。唐：看来现代人们在编教材的时 候有不同的解读，所以顺序也不一定一样。哪么我们想小数与分数之间到底有怎样的

21、关系，有什么区别呢？在数学史上到底是先有分数还是先有小数？张： 中国在商代，就是现在出土的文物中就有尺了，那个尺里面就有寸，而且是十进位的，所以这个是有考古的实物为证的，所以小数在商代就出现了。分数根据记载是 在春秋时代出现的，比商代就要晚很多了。从中国的小数和分数出现的时间来说，是先有小数，后有分数。于一般分数。度量衡的发展大约始于父系氏族社会末期。传说唐帝“设五量”，“少昊同度 量，调律吕”。这时的单位尚有因人而异的弊病。史记夏本纪中记载禹“身为度，称以出”，则表明当时已经以名人为标准进行单位的统一，出现了最早的法 定单位。商代遗址出土有骨尺、牙尺，长度约合16厘米，与中等身材的人大拇指和

22、食指伸开后的 指端距离相当。尺上的分寸刻划采用十进位。【PPT】唐：分数产生在什么时候呢？张：我国的分数记载出现于春秋时代（公元前770年前476年左传中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的 不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。在小数出现的时候，并不觉得这是分数。 后来有了一般的分数概念，才看到小数是“没有写分母”的分数， 其分母由位置确定。唐：古代的教学史对我们现代的 教学也是有一定的启示的，有一种关系可能是值得我们思考的，就是既然分数可以和小数互化，那么已经有了小数， 何必还要学习分数呢？张： 问题就在

23、于实际的需要，小数是运算比较方便，很容易看得出来它的大小，但是无限循环小数的加减乘除非常麻烦。因此，分数运算必须单独学习。 反过来， 只学分数不学小数也不行。 因为小数是十进位的， 比较实用。 尤其是比较两个小数的大小， 无论是有限小数还是无限循环小数，用“字典顺序”比较，一目了然。不像面对两个分数， 要比较它们的大小比较困难。所以说，它们各有各的好处。唐：小数和分数在具体的问题当 中各有个的好处，通过刚才我们讨论小数与分数的关系，也正是印证了张老 师最前面讲的一句话，让我们总体把握，做到心中有数。6算法多样化的思考唐：讨论完了数以后，我想在数 与代数当中另外一大块就是计算，或许电视机前的老师

24、和我们一样，现在一提起计算，脑子里就会反映出一个新的词，叫做“算法多样化”，这也正是我们新课程改 革以来，一直倡导的一种理念，张老师你是怎样看“算法多样化”这种理念的？张： 算法，就是计算方法。随着计算机时代的到来，计算机可以做各种各样的事情，但是计算机都是按照算法运行的，所以算法的重要性不言而喻。所以新课标提出 算法的意义，也提出了算法的多样性也是非常必要的。 而小学提倡算法多样化， 目的在于重视算法， 创造性地运用算法。唐：“算法多样性”是一种好的 理念，但是在具体的实施过程中，我们又会碰到怎样的问题呢？我来举一个例子：2815，两位数乘两位数。学生可能使用的其他方法，至 少有以下四种：

25、281528（105） 281528532810285 1403420 42028151547 28302607 28153015215420 420一位同 学是把15分拆成105，然后利用乘法分配律计算出结果，另外一位同学是把28分 成47，然后先用15和4相乘得到60， 然后在乘以7也得到420的结果。还有同学 是把15分成53，然后再来相乘算出结果。有同学把28看成是30-2的差，再和15相乘。当然， 在计算的过程当中有一种基本的方法，就是竖式计算的方法。 首先是常规的竖式计算。【PPT】 28 15 - 140 28- 420这么多的算法，张老师你怎么看。张： 算法可以多样化，但是必须

26、选择一种作为基础。 竖式计算方法， 就是大家的首选。这是无数的人，经过挑选之后确定下来的，无论在国内还是国外都是一样的。竖式算法是基本技能，基本算法。它的特点是程序化、机械化，按部 就班，能够对付任何位数、任何形式的自然数的加减乘除运算。这个算法虽然显得笨重一点，也不够简便，但它是最基本的，我们必需把基本的先掌握好。将来多项 式相乘也是这样操作。我们把这类算法，称作通性通法。它永远行得通，算得出。其它的算法都在它的基础上灵活运用，随机应变。唐：这种通性通法也有算起来不 够迅速、快捷的缺点，而上面指出的学生的一些简便算法，是一种针对特殊问题的特殊算法，属于“巧算”一类，不能适用一般情形。我们使用

27、这些特殊算法，有助 于提高计算效率，培养个人的计算特点，增强数学的创新能力。张老 师你认为课堂上出现的多种多样的方法，是否需要 “优化”？张： 竖式计算是笨办法，但永远有效。但是，我们每个人都有自己的个性，肯定也有一些自己喜欢的个性的算法。相对而言其他算法更加巧妙，但要随机应变，没有普遍 性。实际上如果把上面的四种方法比较一下就可以发现，有两种算法其实就是利用乘法分配律，另两种就是凑整的思想，都特别有利于心算。乘法分配律在数学中的 作用，有学者认为，相当于人类从石器时代到铁器时代；灵活运用分配律是一种数学技能。所以，我想在提倡算法多样化的时代，一方面要把竖式算法学会，同时也 要充分运用一些能使

28、我们计算更加简便、灵活的算法，要把基础和灵活都掌握好。唐：张老师刚才在讲算法多样化的时候，还特别提到了乘法分配律它特别 重要的地位，我想尽管它不是我们算法多样化的一种普遍的规律，但是它的重要性或许会引起大家更多地思考。同时在算法多样化问题上， 横式计算方法值得重视。其原理是从高位到低位，与竖式计算相反。 例如 2815 = 2010 + 205 + 108+ 58= 200 + 100 + 80 + 40 = 420。先用两个乘数的十位和十位相乘，再用第一个乘数的十位和第二个乘数的个位 相乘，在分别用以第一乘数的个位和第二个乘数的十位相乘，然后再是个位和个位相乘，最后相加。这种横式算法张老师你

29、是怎么看的。张： 横式算法在国外比较盛行，可能是因为它对算理说的比较清楚，它揭示了不同的位数它们所产生的作用。但是它有一个缺点，就是对位比较复杂，在对位的过程中容 易出错，所以横式算法还是不如竖式算法哪么有效。横式算法是一种从高位到低位的算法，和中国的珠算加法相同。所以现在国内外一致讨论的结果是竖式算法为 主，横式算法为辅来说明算理，再加上各种各样的简便、创造性的一些计算方法，使得“算法多样化”真正成为中国数学教育的一个特色。唐：刚才张老师讲起来从低位算起还是从高位算起，让我也想起了张天孝老师特别提到的对算法多样化的一种理解，他认为起算点 不同也是我们算法多样的一种不同，有的从低位算起有的从高

30、位算起。横式算法在对位的过程中比较容易出现错误，而竖式算法是一种通性通法，从后续学习当中来 看，即便我们以后学习多项式的乘法，也是符合这样的道理的。张：对，以前降幂排列，升幂排列都是按照竖式计算的方法。唐：也就是说，竖式计算不仅适用于小学，也是后续学习当中都要用到的方法。唐：说起计算，张老师在你编著的中国数学双基教学中，提到双基的一个维度是 速度。对于学生的计算，我们是不是要提出一些速度的要求？张： 从国内外的调查来看，中国学生的计算能力特别是心算的能力是被国际公认的。新加坡一个代表团在调查后认为中国学生的心算能力要强于新加坡，当然比美国就更 好，这种计算的能力对我们成人后的生活也是非常重要的

31、，所以我们一定要保持中国学生在心算领域的优势。但要注意的是，我们说的心算主要是指100以内或者两位数的加减乘除，过多的则没有必要。速度是我国双基的一个维度。但是对于计算来说，随着计算器 的普及，不需要对计算有过高的要求，尤其不要用一些大数目的繁杂的计算来考查学生计算能力。这种机械的劳动还是让机器来做比较好。但是，两位数的加减运 算，一位数乘两位数等的心算能力，还是非常重要的，属于“双基”范畴。唐：我想是不是可以这样 理解，我们作为老师去考察学生的计算能力的时候，不要用那种繁杂的、特别大数字的计算题来增加学生计算的难度，而学生对于计算基本的方法是否掌握，是我们 所更要关注的。记得以前张老师也 请

32、中西部的一位老师做过这样的调查，或许电视机前的老师会想，中国的计算那么好，是不是也是指我们那里呢？张：现在小学生的计算能力，张晓霞老 师做过一个非常详细的调查，我总的感觉中国的计算能力确实比外国要强很多，或许要求是高了一点。但是因为我们已经有了这样一个传统，丢掉一个传统很容易， 但保持一个传统很困难，所以我们应该在保持一个合理的计算速度的基础上进行改革。唐：我想听了张老师刚才这样的点评以后，我们中西部的老师心里一定会更加自信 了，因为我们在计算方面的优势说不定就在你们班里。7什么是代数？唐：刚才我们讨论了数和 计算，其实有一个名词或许老师也 和我一样有疑问的，叫做“数与代数”，新课标设置了“数

33、与代数”的学习领域。过去的小学里，对于数的认识我们比较熟悉。至于代数，相对来说比较陌生一些。 怎么理解代数？张：代数学的西文名称是algebra， 是9世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消，大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原， 就是把本来淹没在方程中的把它暴露出来，还原了的本来面目，所以方程是和代数紧密联系的，所以我们一说到代数，就会联系到解方程。【PPT】唐：一般在学习方程之前，我们都要先学习“用字母表示数”，方程理论就是“用字母代表数”吗？它们之 间到底以一种怎样的关系。张：单单用文字代表数， 还不是代数。例如加法交换率写为

34、： a+b = b+a , 虽然也用文字代表数，却和代数思想方法没有关系。用文字代表数，即设某量为x这样的做法, 只是运用代数方法的第一步。它后面进 一步的是“式”的运算，有“式”参与运算就是代数。所以所谓代数，就是把文字代表数往前推一步，可以进行“式”的运算，最后把问题数找出来这样一个过程全 部叫做代数。代数思想方法的核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数 的运算到“式”的运算， 是算术与代数的根本区别。 唐：听得出来就是从“数的运 算”到“式的运算”，才是算术与代数的根本区别。这就是说，所谓代数，需要和方程联系在一起。代数的主要内容就是通过文字和数的运算，把方程

35、中的未知数求 出来。【PPT】唐：小学数学的“代数”内容就 是能够部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cxd这样的方程小学里解起来还是有些困难。张：解一般的一元一次方程的通性通法，需要使用负数，没有了负数解方程就不能够完整的体现出来。但是从我们国家的教学情况来看，小学生学习负数 还是比较困难的，我们现在的课标也没有把负数放到小学教学的内容里面，那我们应该怎样解方程呢？那就是逆向思维的方法。而逆向思维的方法本质上又是一种算 式思维的方法。用逆向思维解方程，是现在小学数学里应该掌握的一部分，接下来就是在中学里进行负数的学习，然后把方程的全部都解出来。在逆向思维解方程 中，要做到适可

36、而止，学生能通过一些简单的逆向思维把方程解出来即可，不要搞一些繁难的逆向思维，结果等到将来这些逆向思维都没有用。而且当学习负数之 后，解方程就是程式化的，一步步做下来就是了，根本不需要逆向思维，逆向思维太多了，反而会干扰负数的学习，所以，我们逆向思维的要求应该是适可而止、不 要太高。唐：张老师多次提到适可而止，刚才也讲到负数的概念，其实小学里只是 一个简单的涉及，但是不参与运算，所以解方程是就不能运用这方面的知识了。其实对方程的概念我们也常有争论，关于方程概念的争论也很多。如：x=1。是不是方程？虽然我们说要避免这样的争论，但是老师当看到试卷上有这样的问题时，还是会为此争论不 休。张老师你如何

37、看这样的争论。张： 方程的本意就是要求未知数，如果=1，未知数也求出来了，也就没有方程的问题了，所以我们也就不 需要去争论这些问题，比如说是不是方程？是不是方程？这样的问题还有很多，但对我们学习方程知识是没有关系的，所以要把这些形式的问 题淡化掉，不要在这些无意义的问题上面进行争论，数学上不可能把所有的问题按照逻辑的关系一一写出来，因为那样做的话过于繁琐，我们只有抓住方程就是一个 从等式的关系求未知数这一主要关系，其它一些枝节问题，一些过于形式化的问题则不必过分的关注。正如西南师范大学的老校长陈重穆先生所说需要“淡化形式，注重实质”。【PPT】唐：也就是说，对于我们 教学来说，我们不要过度的争

38、论是不是方程，而是要讨论怎样解、会不会解这样的方程。我想我们大家一定要牢记刚才张老师所讲的西南师范大学的老校长陈重穆所讲一句话：“淡化形式， 注重实质”，这应该成为我们数学教学的追求。由于时间的关系，这一讲就讲到这里，谢谢大家。8 问题解决与应用题的教学唐：在数学新课程改革中，电视 机前的老师会有很大的困惑，就是以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题。这两者有怎样的联系？我们应该怎样来处理传承与创新之间的关系？请张老师从数学的角度谈谈这两者之间的关系。张：数学问题分为两类，一类称为纯数学问题，像歌德巴赫猜想，另一类称为 应用问题，像大学里有应用数学专业，可见应用问题是客观存在，似乎不

39、必回避。我们反对的是过去小学数学中那些“矫揉造作”的远离现实，使学生得不到什么教 育的应用题。新的应用题， 其情境更有真实性，方法上强调数学模型的建立。条件可以冗余， 数据需要取舍， 模型需要建立， 结果需要验证。 像这一些都是过去的应用题所缺乏的。唐：张老 师你也常常提起一个很典型的例子，就是弗赖登塔尔举过的一个例子，你能否再给大家介绍一下。张：对，这是我很欣赏的一个例子，弗赖登塔尔可以说是20世纪最伟大数学教育家，【PPT】弗赖登塔尔有一个 经典的问题：“昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印（图）， 今夜他还要来，试问： 我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？【PPT】像

40、这样的问题很现实，使我们每个学生都很感兴趣，但是它蕴含的数学思想又非常深刻。尤其是体现比例的 思想，通过测量两只手大小的比值， 按比例放大，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度， 这是比、比例、相似等数学本质的体现。像这样的问题就和过去的应用题有很大的区别，是我们需要关注的。唐：像这样的问题既具有现实意 义，又包含了很重要的数学思想。但说起应用题与解决问题，还有一个著名的“船长问题”不得不让我们重提。“一条船上有75头牛， 32头羊， 问船长几岁？”。记得这个题目最早是张教 授引进国内的。那时是怎样的一个背景情况？【PPT】张： 当时我是在一个国际会议上面，见到法国的一个数学教育家，他告诉我在19

41、80年前后，他们在法国进 行调查。 这本来是一道是不能做的题目，可是在调查过程中发现他们学校的学生往往能够做出来，因此法国的教育家说了一句很语重心长的话：“我们的学校是不是把孩子越 教越笨了？”记得那年我们在国内也选取一些学校做实验，结果有近90的学生得出来答案。学生都有 这样的思想，就是老师出的题目都是对的，都是有答案的。唐：对，当时我也是看到你的调 查有一些新的启示，这么多年过去了，现在的情况又是怎样的呢？所以最近我们又做了一个调查，老师们可以看一下屏幕上的表格，我们选择的调查对象既有二、三 年级，也有四、五、六年级的学生，老师们可以从数据上发现，有26.7的学生是把两个数相加作为 船长的

42、年龄，还有45.1的同学通过两个数相减得出船长的年龄。也就是说有超过70的同学仅仅通过加减算出来答案。20年过去了，张老师当你看到这一组数据时是一种什么样的感觉？答案107岁43岁加减都做其它答案不能做合计六年级418217445五年级29197055四年级939127884三年级2346110282二年级2428111367合计8915057217333百分率26.7%45.1%1.5%21.6%5.1%【PPT】张： 这就是我们在应用题方面的一个缺陷，认为什么题目都能算，都有结果。其实我们应该能够区别哪些是数学问题，哪些不是数学问题。数学问题要求揭示事物内在的 数量关系，牛、羊数目和船长年

43、龄没有内在的关系，学生却盲目解答，明明不能做的题目，学生却非要做，这就值得我们深思了。唐：或许电视机前的老师也有这 样的好奇心，你不妨也去做一下这样的试验，可能结果和你想象的有很大的不同。我们不展开讨论关于解决问题的教学，但是我们必须引起重视的是，解决数学问题 应该是重在分析内在的数量关系。而这些都是值得我们继续研究。 二、图形与几何领域问题的讨论1小学几何学习内容的增加唐：前面说了这么多数与代数的 问题，接下来我们把目光转向图形的领域，在新课程改革过程中，我们发现在空间与几何的领域多了一些新的内容？也常常出现在一些公开课观摩课中，看来很受老 师们的欢迎。为什么要增加了这些新的内容？张： 从大

44、学数学的观点来看，几何可以分成很多内容， 具体说来， 有以下5个方面：首先是直观几何学， 就是对平面图形，立体图形的认识；还有一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在新课标以前，小学数学主要包括这两部分内容。后来我们发现，大学数学的许 多问题，它的原始思是想非常简单，非常朴实的，和我们小学生的生活也是密切相关的，所以后来我们就增加了三个方面的内容。第三就是演绎几何，比如说垂直， 平行，线段，射线这些名词都属于演绎几何的范畴。然后运动几何学的一些基本的内容也加到了当中，最后我们发现在中学、大学中经常出现的解析几何学，它的坐 标的思想也是非常朴实、简单，大家所容易接受的，所以我们现在小学里也有了坐

45、标几何学的内容。总体的看，小学里包括直观几何；度量几何；演绎几何学；运动 几何学；坐标几何学；这五大块。从过去的两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野和感受，是十分有意义的改革。【PPT】唐：听了张老师刚才的讲解，我有一个即时的一个想法，就是我们小学数学是 打基础的，就像造房子打地基一样，我们现在把每一个方面的地基都垒上来了，为他以后的学习打下了更好的基础。说起这5个 方面的内容，再联系我们平时听到的一些课，我们就不难发现，如果下次你再听到比如说不同的角度观察物体，比如说平移和旋转，比如说确定位置的时候，就便于 把另外几个领域的几何联系起来了。不过对于小学来说可能还是直观几何最为基本。张老师你

46、认为直观几何学教学的重点是什么？张： 我想小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。因为我们每个人所处的世界的事物都是立体的，但是我们看到的、画在教科书上的 都是平面的；因此，空间图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。新课标里通过照相机从“不同角度下拍摄照片”想象物体前后位置就是新 增的内容。通过三视图科学描述简单对象， 也是如此。所以说我们通过平面来描述立体的手段越来越多，角度也是多种多样的。【PPT】唐：这样说来，就大大沟通了现 实和数学之间的联系。我们引导学生观察三视图，就是希望学生从平面图形读出立体的形状；以培养学生想象空间的能力。2什么是

47、长度、面积、体积唐：在几何教学中，还有一些常 见的概念，也常常引起一线教师的争论，比如什么是长度？什么是面积？什么是体积？张： 人的概念有两种，一种就是生活中自然形成的，比如说面积、体积，大家都明白，但是要严格的定义却很困难。你能说说小学是怎么样定义这些概念的吗？ 唐：小学教材中一般这样说：“物体表面或平面封闭图形的大小叫面积”，这样是面积的定义吗？可以吗？张：【PPT】小学教材中“物体表面或平面图形的大小叫面积”，这些也只 是对面积的描述，不是严格的定义。因为总是先有面积定义，才有面积大小。在严格的面积定义里不能出现“大小”的词汇。但是对小学生，不要讲究“面积”的严 格定义（那是大学数学课程

48、的内容）。 我们的任务是在描述面积和体积之后，着重求一些几何图形的面积和体积。唐：也就是说对于面积的严格定 义不是重要的，重要的是我们的学生会不会求面积。当然我们也要知道长度、 面积、体积是刻画图形大小的度量。几何学起源于图形大小的度量。根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示，体积 则是标志三维图形大小的数。线段长度是一切度量的出发点。知道了关于面积的定义，我们再来讨论面积公式的推导。在常见的平面图形面 积推导的过程中，除了记住面积的计算公式，还有重要一种数学思想方法的渗透：转化思想方法。 例如，求平行四边形面积化为求矩形面积，把三角形的面积转化为求平行

49、四边形或矩形面积等，学习梯形和圆也是一样，所有新学图形的面积都可以由已学的图形面 积来推导。这也是数学转化思想的具体体现。这在中国古代应该怎样称谓。张： 这很重要，这也是中国古代数学“出入相补原理”的具体运用。这种化归的方法就是演绎几何的一部分。就像我们现在从正方形出发到矩形再到三角形这样一种化归 的办法就是一种演绎的推理的方法，是演绎几何在小学里的一种表现。现在我们有一个明确的说法叫做化归的思想，这是逻辑框架里面非常重要的一种。在演绎几何 的领域里面，学好化归的方法是非常重要的。3平移、旋转和对称之间是什么关系唐：张老师讲到的古代数学中的“出入相补原理”一定会给大家很多的启 示，记得吴文俊老

50、师就讲过我 们古代数学的辉煌，或许有很多在我们小学数学当中也会有所体现。刚才张老 师所讲到思想方法，或许又是值得我们老师探讨的一个新的方面。在我们小学数学教学的过程当中，除了知识和技能以外，我们又渗透率哪些思想方法，是值得我们 系列的展开研究和讨论的。唐：在小学里，为什么要学习平 移，旋转和轴对称这些知识？他们之间有怎样的关系？张： 这就是我们刚才所说的第四块运动几何学， 小学里原来就有运动。 例如， 平行四边形面积，通过三角形的运动， 拼成矩形，这就是平移运动。面积在平移运动下面不变，同样， 矩形旋转90度， 面积也是不变的，这就是面积的特性。所以说运动对于我们小学老师来说并不陌生，大家是经

51、常在那里使用的。唐： 知道了平移和旋转之后，为什么还要谈轴对称变换呢？这三者之间有没有一种内在的联系，能否举例说明。张： 我想比较详细的来说一说这件事情。大家都知道平移和旋转的概念，至于轴对称，我想大家也是很熟悉的，轴对称的图形非常漂亮，所以大家都很喜欢轴对称的图 形，这里要从数学上讲一讲它的原始的价值。【PPT】（1） 一点到另一点的运动，要知道方向和距离；用平移就能实现了。（2）如果是两根一样长的线段（火柴 棒），先将一根火柴移动过去，使得火柴头和火柴头重合， 但是火柴尾不一定重合， 还得转一转才行。（图）（3） 如果是两个一模一样的三角形ABC 和ABC， 如何看它们运动过程呢？ 首先，

52、平移运动使得A和A重合， 然后转动， 使得AB和AB重合。 这时可能三角形已经重合了， 也可能不重合，还需要反射一下才行。（图）因此， 我们在平面上作运动， 需要平 移、旋转、轴对称三种不同的变换。【PPT】在小学里我们要学习这三样东西，而这三样东 西互相构成一个叫做“刚体运动”，我们小学里面接触它还是很有必要的。唐：刚在张老师对这3个 例子的讲解，把数学发生的很强的驱动性体现出来了，不知电视机前的老师是否听清楚了，我们不妨再来看一下这三幅图。如果一点到另一点的运动，用平移就能实 现了。如果是两根一样长的线段，还得转一转才能重合。如果是两个一模一样的三角形，如何看它们运动过程呢？ 首先要平移，

53、 然后旋转一下。这时可能三角形已经重合了， 也可能不重合，还需要翻转一下才行。这样就把平移、旋转和对称联系在一起了。这部分内容的学习对后续学习有什么作用？张： 因为这是最简单的运动，接下来还有“相似运动”，“投影运动”等等，平面图形的很多的证明都需要依赖它。运动几何学是一门很大的学问，后续要学习的内容还 有很多，但是我们在初步接触，对我们开阔几何的视野，了解几何的内容是很有帮助的。所以新课标把它列为小学数学的内容是很有见地，很有眼光的。唐：说起来还是为以后的学习打 重要的基础。但是还有一个概念在我们教学当中也是常常会碰到的，就是镜面对称是不是轴对称图形？【PPT】张： 我看到有些教材或者材料里

54、面说镜面对称就是轴对称，我认为不太妥当。因为轴对称都是在同一个平面当中的两个图形，镜面对称的两个图像不在一个平面内，所以 不是平面上的轴对称图形。 虽然二者有联系，但毕竟是不同的，我们不能混为一谈。唐：对，就是有联系，但是也有 区别。4小学数学为什么要渗透平面坐标思 想唐：小学数学的学习为什么要渗 透平面坐标思想？从数学学习的过程和地位来看，它有怎样的地位和作用。张： 各位老师都学过解析几何，所以大家都知道笛卡尔发现解析几何是数学上一个巨大的进步、也是人类历史上一个重大的进步，所以我们在小学中加入坐标几何的内容 是非常正确的。我想笛卡尔的重要贡献，就是一个几何的对象，他可以用数来描写，而数所满

55、足的关系就是方程。我们小学里面先学第一步，就是把坐标建立起来， 并用数对（x，y）来表示点。把坐标几何放 到小学的学习内容中，体现了随着时代的进步，我们小学数学也在发展。唐：可能电视机前的老师对于解析几何内容慢慢地有些淡忘了，通过张老师这么一说，我们也可以联系起我们教过的一些内容。比 如说在平面坐标这个领域当中，确定位置可能是我们首先要学的。那么我们有的疑问就是坐标的核心思想就是确定位置吗？张：很多的教案都是到此为止，就是认为坐标就是确定位置，这是第一步要做 的事情。笛卡尔当时发明坐标，并不是单纯的表示位置，坐标表示位置更多的是地理学上的应用，大家知道，地理学要求用经纬线确定地球表面上的位置，

56、而不是数 学光要研究的问题。 数学课程中用平面坐标系确定位置仅仅是学习坐标系知识的初步结果。 更重要的是用坐标来表示几何图形。 【PPT】例如， 两个坐标一样的点， 形成一条直线（y=x 的图像）， 两个坐标都小于或等于10 的点， 构成一个边长为10的正方形等等。【PPT】 所以我们甚至建议，大家在讲完坐标之后，让大家说一说两个坐标都一样的点是形成一个怎么样的几何图形，于是发现它是一条直线或者半直线。也可以问两个坐标 都小于3的是一个怎样的图形啊，那肯定就是一个正方形。所以不要仅仅停留在用坐标确定位置，应该稍 微的引申开去。唐：刚在张老师也举了两个例子，我们不妨也看看屏幕上的两个例子【PPT

57、】：如果xy的图像就是左边这幅图，如果两个坐标都小于或等于3的， 那么他构成的是一个边长是3的正方形，我想用平面坐标不仅能表示位置，而且能表示数学的对象。三、统计与概率领域的问题讨论统计数据与概率有什么关系唐：下面的问题有关统计与概率 的学习领域。小学数学一向对统计并不陌生，以前没有概率，平均数、条形统计图，折线统计图、扇形图等等教学，也都可以顺利进行。 大家不很清楚的是，为什么统计要和概率放在一起？张： 统计和概论在18世纪以前是没什么关系的，后来就发生了联系，大家不知道有没有注意到在新课标中有 这样一条，就是用我们现在的数据去估计和预测一个东西。就像天气预报，是用我们过去的知识，去预测明天

58、的、不知道的知识，这就是统计和概论结合的地方。就 是要我们从一个局部去推测、预计整体，这时问题就来了，比如局部的推测究竟准不住啊，能不能代替全部啊。举例来说，如果只研究本班的情形，统计我们班上的 期中数学考试的平均分， 各个分数段的人数，画直方图， 那的确和概率没有关系。问题在于， 如果本班是我们县数学教研室抓的点，要从本班成绩推测全县小学5年级学生的期中数学成绩， 那就和概率有关了。 因为我们会问，本班的数学成绩能够代表全县吗？多大程度上可以代表？在城市的学校能否代表农村？教研试验的点能否代表非实验的点？这就是一个“不确定”的 随机问题了。因为未来是不知道的，整体也是不知道的，局部是否具有代

59、表性也是不确定的，所做的估计只是一种随机的现象，这就和概率连在一起了。唐：对，本班的数学成绩确实能 够代表一部分，但是不能完全代表，那么到底在怎样的概率意义上能够代表。张：这就需要我们进一步学习来掌握，小学里不需要知道这么多。但是我们老师则应该具备这样的知识。小学 里，只要知道有样本和总体之间的区别就可以了。例如下面这一个例子：中华人民共和 国国家统计局关于1995年全国1人口抽样调查主要数据的公报（1996年2月15日）我国于1995年 进行了全国 l人口抽样调查。这次调查，在全国30个 省、自治区、直辖市（未含台湾省和港澳地区，下同）共抽取了1559 个县级行政单位、47471个调查小区，

60、共调查登记了12565594人 （含现役军人），占全国人口总数的1.04。1995年 我国人口出生率为17.12,出生人口2063万人; 【PPT】抽样是一种生活的常识，小学生要知道抽样这件事，我们老师给他做一些适 当的解释，这对提高我们公民的素质是非常有帮助的。所以统计和概论联系起来是我们小学数学向前跨的一步，希望我们大家能够进一步的关注。唐：前面讲到的这一组数据，我想电视机前的老师的想法一定跟我一样，小朋友虽然不能科学完整的来表 达什么是样本、什么是总体，但看到这组数据一定能读懂其中的意思。说起统计与概率的联系，统计图中的直方图（也就是条型统计图）是不是也可以和概率联系上 呢？张：是的。我