学以致用讲“概型”

1、PAGE PAGE 9学以致用讲“概型” 以几何概型教学为例教育家陶行知先生曾说过：“生活即教育。”“提倡在生活中寻找教育真谛，把生活和教育有机地结合在一起。”生活中处处蕴含着数学知识，在实际教学中，教师如果能够以学生所熟知的生活经验作为切入点，结合本节课教学内容适时引入，能把学生的好奇心激发出来，把他们主动探究知识的欲望调动起来。同时教师也要指导学生把所学到的数学知识恰当地运用到日常生活中，让学生学会用所学的数学知识去解决实际问题，用知识武装自己，让知识更好地服务于我们的日常生活，达到教育教学最终目的。学以致用就是建立在这个基础上的。下面，以执教几何概型为例，呈现数学教学学以致用。一、温故知

2、新师：同学们好！生（站，齐答）：老师好！师：前面我们学习了古典概型，请同学们回忆一下古典概型的特点。生：每个基本事件发生是等可能的；基本事件总数是有限个。师：古典概型的计算公式是什么？生：。师（追问）：分别指的什么含义？生：是基本事件总数，是事件包含的基本事件数。师：我们来感受一下这样一个问题情境。（多媒体“情境1 某公司为庆祝开业,进行隆重的剪彩仪式,一根长3米的彩带,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?”）（待学生读完后拿出备好的彩带和剪刀）师：哪位同学到台上来尝试一下剪裁实验？（找三名同学，两名拿彩带，另外一名来剪。）师：我们暂时先不来剪开，先找到剪彩的办法再

3、来剪。生：彩带一共3米，要求剪得的两段长都不少于1米，所以将彩带平均分成三段，每段为1米，在中间一段任意一点处剪都可以，概率是。师：这个实验的基本事件是什么？生：在彩带上任意一点处剪断。师：每个基本事件发生是等可能的吗？生：是等可能的。师：在1米到2米之间剪都可以，你剪的这种情况有多少种？生：无数种。师：我们能不能从刚才的情境中抽象、归纳出一个一般的结论？刚才的概率是怎么算出来的，那位同学说说看？生：可发生区域的总长度比上总长度。师：非常好，他给我们抽象出了一个很好的结论，构成事件的区域长度比上全部结果所构成的区域长度。（多媒体“”）师：我们再来看一个问题情境。（多媒体 情境2 苏果超市在某节

4、日搞促销活动,凡购物满68元者便可参加抽奖活动，转盘转到红色区域便可获得一等奖，转到黄色区域获得二等奖，转到蓝色区域获得三等奖，转到其他区域没有奖，则获得一、二、三等奖的概率分别多大？）生（齐答）：，。（教师拿出自制的转盘，做示范转动转盘，转到蓝色区域）师：我今天运气不够好，抽到三等奖。对于这个问题，你们很快的说出概率是，是根据直觉和经验得出的结果，还是有合理的解释？生：转盘平均分成8份，红色区域占一份，所以概率是；黄色区域占两份，概率是，蓝色区域占三份，概率是。师：为什么可以这样考虑？能不能按照情境1的思路来回答？该实验的每个基本事件是什么？生：每个基本事件是指针转到转盘上每一点，指针转到转

5、盘上每个位置是等可能发生的。师：基本事件全部结果构成的总区域是什么？生：圆的面积。师：中一等奖这个事件发生的区域是什么？生：红色区域的面积。师：刚才大家说的概率应该是怎么算出来的？生：构成事件的区域面积比上全部结果所构成的区域面积。师：很好，这位同学为我们抽象出了求概率的又一个一般性的结论。（多媒体“”）师：我们再来看一个情境。（多媒体 情景3 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率.）师：我们都学过生物，知道微生物用肉眼是看不到的，所以它隐藏在哪我们是不知道的，那么小杯水中含微生物的概率是多少？生 ：微生物在一升水中任意一点处是

6、等可能发生的，当微生物位于小杯0.1升水内任意一点时事件发生，概率是。师：谁能从这个情境抽象出一个一般性的结论？生：构成事件的区域面积比上全部结果所构成的区域面积。师：很好！我们又得到了求概率的一个一般性结论。（多媒体“”）师：刚才我们考虑了三个问题情境，大家思考一个问题：这三个问题情境有什么共同特点？可以对比我们复习过的古典概型的特点。生：基本事件有无限多个。师：古典概型的所有基本事件有有限个，这是区别。有共同点吗？（学生沉默了一会，教师提醒）师：刚才三个情境，第1个在彩带上任意一点处剪断，第2个指针转到每一点的机会，第3个微生物在杯子中每一点是生：等可能的。师：再说完整一点。生：每个基本事

7、件的发生是等可能的。（多媒体 两个基本特点）师：满足这两个特点的概率模型我们称之为几何概型。二、欲用先学（板书“几何概型”，“几何概型特点”，“几何概型定义”）师：某某，把几何概型的定义读一下，其他同学一边听一边理解。（几何概型定义文字比较长没有具体板书，投影到屏幕上，为加深印象，让学生读一遍）生：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域D内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件A的发生则理解为恰好取到上述区域D内的某个指定区域d中的点.事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积）成正比，与d的形状、位置无关，满足这样条件的概率模型称为几何概型

8、.师：定义比较长，不容易记住，我们可以抓住关键词，这里有几个区域？生：两个。师：对，D的区域和d的区域。分别表示什么区域？生：D表示整个区域，d表示事件A所包含的区域。师：事件A的概率怎么求的？生：长度之比，面积之比，体积之比。师：在这里，长度、面积、体积我们统称为测度。所以几何概型概率计算公式为。（板书 ）师：这里的测度指的长度、面积、体积，后面还会涉及其他的情况。二、学以致用师：学了知识就要运用，学以致用。我们来看这样一个问题。（多媒体 例1 （1） x的取值是区间1,4中的整数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率；（2）x的取值是区间1,4中的实数，任取一个x的值，求“取得值大于2

9、”的概率.）（思考2分钟）生：（1）是古典概型，（2）是几何概型。师：为什么？问题（1）是古典概型，具体怎么分析？要求概率需要哪些量？生：基本事件总数是4，记“取得值大于2”为事件，事件包含的事件数为2，。师：很好！问题（2）怎么分析？生（犹豫片刻）：将区间分成3份，（改口）4份。师：不清楚是3份，还是4份可以怎么办？生（齐答）：画个图。师：对，画图。数学中常用的一种方法就是数形结合。接着刚才的问题，3份还是4份？生：3份，“取得值大于2”占其中的2份，概率是。师：这两个问题一字之差，做法、结果完全不同。他回答的很好，我们来一起规范一下书写格式。（教师板书，第（1）问由学生说，教师写；第（2）

10、问师生共同完成，边写边讲注意事项）（板书 解：（1）基本事件总数为4个， 记“取得值大于2”为事件，包含2个基本事件， 所以。 答：“取得值大于2”的概率为。 （2）记“取得值大于2”为事件，基本事件总区域为线段AC，当取得数位于线段BC上时,事件A发生 所以 答：“取得值大于2”的概率为。师：所以求概率问题我们首先要判断这个问题是古典概型还是几何概型。我们来看下一个例题。（多媒体 例2. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.）师：我们都知道电台报时是什么时间报时啊？生（齐答）：整点报时。师：这个问题怎么考虑？我这里有一个时钟模型，想象不出

11、来的话可以动手操作一下。（教师拿出自制的模型旋转分针，学生开始在下面小声讨论）师：谁来回答？生1：分针在每一点位置是等可能的，所有基本事件构成圆面，“等待时间不多于10分钟”分针位于10到12之间，构成区域为扇形，扇形面积占圆面积的，所以概率是。师：刚才这位同学是利用面积之比做的。还有其他思路吗？生2（举手）：将周分成12份，“等待时间不多于10分钟”占2份，用弧长与圆周长之比求，概率为。师：生2给我们提供了另外一种思路，指针可以看作长一点，分针端点落在圆周上每一点是等可能的，弧长占圆周长的，所以概率是。弧长计算公式是什么，还记得吗？假设半径为。（没有学生回答，教师补充）师：如果扇形的半径是，

12、圆心角是，则扇形弧长，公式是由圆的周长公式推导的。类似的，扇形面积。师：“有谁还想到其他方法了？“生（举手）：一周是，该事件是，比值是。师：很好，她想到了角度之比。我们一起来完善语言描述。指针转过每一个角度是等可能的，所有结果构成的区域周角是，该事件包含的区域构成圆心角是，比值是。师：我们从不同的角度解决了这个问题，说明测度的选择不是唯一的。继续下一个例题。（多媒体 例3. 一只海豚在水池中游弋，水池为长30m，宽20m，高为2m的长方体，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率）师：大家认真读题，计算一下。（用5分钟学生思考书写，教师巡视，发现学生只注重计算，没有注意书写，教师提醒）师：那位同学

13、上台为大家展示一下板书？（生举手，上黑板板书）师：他的书写格式有没有问题？生：没有。师：结果呢？生：不对。他求的是离岸边超过2m的概率。师：所以我们做题时一定要仔细读题，看清关键词，避免这种情况发生。师：下面我们通过课堂练习来检验一下是否掌握了几何概型。四、学用互助（5分钟【课堂练习】：）1在区间0,10中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是 .2已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即能乘上车的概率为 .3如图，某人向正方形内投镖，如果他每次都投入正方形内，那么他投中阴影部分区域的概率为 .师：我们找三位同学来分析一下3道练习。生1：第1题基本事件总的区域是0

14、,10，当取得数位于(6,10时事件发生，概率为长度之比。师：测度指的是长度。生2：第2题也是长度之比总的时间长度是10分钟，立即上车指的是后1分钟，概率是。师：说的很好，立即上车不是立即发车。生3：首先确定是面积之比，但不知道边长。生：设边长。生：设正方形边长为，面积为；阴影部分合起来是圆，半径是，面积；比值是。师：回答很好。该题还说明一个问题，概率与几何区域的形状、位置无关，至于长度、面积、体积等有关。（下课铃响）师：我们来一起回顾一下本节课所学的内容。生：几何概型的定义、特点、概率计算公式。师：希望同学们能用我们今天所学的内容去解决更多的实际问题。下课！几何概型是在古典概型的基础上进一步

15、的发展，是等可能事件的概念从有限到无限的延伸，是另一种基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。几何概型相对古典概型，对学生来说有些抽象，要想准确理解几何概型思维概念还有一定的难度。因而，我采用了温故知新（对比古典概型）、实际问题情境导入，通过游戏，使学生经历从直观到抽象，从特殊到一般的认知，引导学生主动归纳概括出几何概型的定义及计算公式，从而突破重点；通过运用生活中的实际例子让学生享受解决实际问题的乐趣，从而突破难点。课后反思：1.因材施教：学以致用的方略中学数学的理论是对实际问题的高度概括。几何概型比较抽象，学生不宜理解。课前准备一些生活中的道具，如彩带、转盘、时钟，学生动手操作，大大激发了学生的学习积极性，对数学在生活中的实际运用有了更深层次的认识。有助于培养、提高学生运用数学知识解决实际问题的综合能力。2.注重实践：学以致用的方向每节课都是一个体验的过程，要让学生发现问题、提出问题、分析问题，提出猜想形成的结论，验证假设。教学中要创设问题情境，启发学生积极思考，就是通过各种有效教学方式，使学生处于活泼状态，进而培养学生的思维能力。教学观念要以生为本，把教会学生作为出发点，在问题的被解决中找到乐趣，认识数学的重要意义。3.活学活用：学以致用的关键中学数学核心素养的基本内容中就有发展数学应用能力及创新意识。可见理解并掌握数学知识