自动控制原理：第16讲（第四章 广义根轨迹、系统性能分析）

1、第16讲 广义根轨迹、系统性能分析本讲主要内容1、广义根轨迹2、根轨迹分析系统性能2022/8/22 负反馈系统中K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹 。除根轨迹增益K*以外，其它情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。 包括参数根轨迹和零度根轨迹两种情况。1、广义根轨迹2022/8/23定义：以非根轨迹增益(比如比例微分环节或惯性环节的时间常数 )为可变参数绘制的根轨迹。闭环传函等效闭环系统其开环传函与常规根轨迹的开环传函具有相同形式变形绘制思路：（1）参数根轨迹2022/8/24 以比例一微分环节的时间常数为参量示例1：如图所示系统，绘出以时间常数T为参量的根轨迹。2022/8/25解：系统的开环传递

2、函数为：闭环传递函数为：分子分母同除以 2022/8/26由闭环传函标准形式知等效系统中等效系统为2022/8/27由开环传函rlocus(num,den) num=1 0 den=1 0.1 12022/8/28绘制T从0变化时原系统的根轨迹如下图：2022/8/29原系统和等效系统的开环传函不同，但它们具有相同的闭环传函。绘出的根轨迹是参数T从0到变化时原系统闭环特征根的变化轨迹，因为等效系统与原系统的特征根是一样的。说明：等效变形时要化成闭环传函的标准形式(分母中要出现“1+”的形式)。2022/8/210 以惯性环节的惯性时间常数为参量示例2 如图所示系统，绘出以时间常数T为参量的根轨

3、迹。2022/8/211解：系统的开环传递函数为：闭环传递函数为 ：分子分母同除以 2022/8/212由闭环传函标准形式知等效系统中所以等效系统为2022/8/213原因：闭环特征式等于开环传函的分子多项式和分母多项式的和，开环传函为G(s)H(s)和1/G(s)H(s)时，系统的特征多项式相同。作出的根轨迹是相同的特征方程的根随同一个参数变化的轨迹，因此，根轨迹的形状相同。 对于开环传函分母的阶数小于分子的阶数，无法用MATLBA绘制根轨迹。解决办法：绘制的根轨迹。2022/8/214进一步说明：已知两系统的开环传函，分别绘制系统的根轨迹如下：2022/8/215绘制T从 0变化时原系统的

4、根轨迹如下图：2022/8/216说明： 形状上相同 起点和终点相反(零极点相反) 根轨迹增益互为倒数2022/8/217定义：如果负反馈系统开环传递函数的分子、分母中s最高次幂系数不同号，或者正反馈系统开环传函的分子、分母中s最高次幂同号，系统根轨迹为零度根轨迹。（2）零度根轨迹2022/8/218由根轨迹方程 1-G(s)H(s)=0 推得相角条件为所以，零度根轨迹和常规根轨迹相比凡是和相角有关系的规律都要发生变化。2022/8/219实轴上的根轨迹：若实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为偶数，则该点在实轴的根轨迹上。渐进线与实轴的夹角为 根轨迹的起始角和终止角 变化的规律2022/8

5、/220示例3：试绘制下图示系统的根轨迹21思路： 22（3）分离点与会合点 分离点与会合点分别为： 2、利用根轨迹分析系统性能稳定性：闭环系统稳定全部根轨迹分支都在s平面的左半平面。稳态性能：由根轨迹图 =开环增益和系统的型 =稳态误差 系统要求的稳态误差 =系统允许的开环增益 =闭环极点位置的容许范围动态性能: 闭环极点随参数的变化情况 =定性分析 由根轨迹图 闭环极点的值 =定量计算 最基木的问题: 由根轨迹图 =?= 闭环极点2022/8/223当K*为某特定值时，如何求对应闭环极点的大致位置？（1）闭环极点的确定以根轨迹图为依据，先估算出一部分特征根，再求出其它根。2022/8/22

6、4示例4：已知某负反馈系统的开环传函为: 求K*=4时的闭环极点。解： 绘制根轨迹图开环极点有四个jw-1-2-312-1-271.6-71.6渐近线分离点起始角与虚轴的交点2022/8/225 求闭环极点 判断K*=4，根的大致位置可知，K*=4有2个实根，为什么? 估算实根用试探法： 求其他根设特征方程：得：a=0.48，b=0.794解方程：2022/8/226附加例题3：已知系统开环传递函数，求具有阻尼比 =0.5的共轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能指标。解： 绘制根轨迹开环极点有3个渐近线分离点与虚轴的交点 稳定范围jw-1-2-312-1-2-4-1.672022

7、/8/228 作图求 =0.5时三个闭环极点jw-1-2-312-1-2-4-1.67手工作图只是大概位置！2022/8/229图3-112022/8/230num=1;den=conv(1 0,conv(1 1,1 4);figure;subplot(221);rlocus(num,den);h = findobj(gcf, Type,line);set(h, LineWidth, 1.5);set(gca,FontSize,12);xlabel(Re Axis,fontsize,12);ylabel(Im Axis,fontsize,12);ylim(-4 4);xlim(-5 1);sg

8、rid(0.5,2);subplot(222);rlocus(num,den);h = findobj(gcf, Type,line);set(h, LineWidth, 1.5);set(gca,FontSize,12);xlabel(Re Axis,fontsize,12);ylabel(Im Axis,fontsize,12);ylim(-1 1);xlim(-0.5 -0.2);sgrid(0.5,1);2022/8/231非主导极点与主导极点实部之比 s1、 s2 在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭环主导极点。 模之比2022/8/232 性能分析可根据由s1、s2 所构成的

9、二阶系统来估算三阶系统。2022/8/233单位斜坡给定作用下稳态误差：型系统：2022/8/234（2）附加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 利用根轨迹对系统进行分析和设计，研究开环零点变化时的根轨迹变化，有很大的实际意义。 研究附加开环极点对系统性能对根轨迹和系统性能变化同样具有很大的实际意义。2022/8/235示例4：设系统开环传递函数num=1 z1;den=conv(1 0,1 2 2);rlocus(num,den);2022/8/2362022/8/237 z1越靠近虚轴，根轨迹往左的趋势越明显，系统稳定性越好； 当 z1在0与-2之间时，根轨迹与虚轴无交点（列些劳斯表可以

10、判断，课后验证），无论K*为何值，系统都是稳定的； 零点位置变化 = 根轨迹图变化 = 系统性能相应变化。所以，在适当位置附加开环零点，可以显著改善系统的稳定性2022/8/238示例6：已知系统开环传递函数 ，增加 p=-2或 z=-2，讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移2022/8/239 增加开环极点后，K*从0，两条根轨迹离开实轴，并进入s右半平面，系统不稳定。 当根轨迹仍在s左半平面时，K*， ，振荡程度，n，衰减因子，快速性，动态性能。2022/8/240附加开环极点单位阶跃响应 增加开环零点后，根轨迹始终在s

11、左半平面，最后变为两个负实根，稳定性， ， ，% ， ts ，动态性能 。 常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。2022/8/242附加开环零点单位阶跃响应结论：增加开环零点对根轨迹的影响： 改变了根轨迹在实轴上的分布； 改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距； 可构成开环偶极子，改善系统性能； 根轨迹曲线向左偏移，意味着闭环极点向左偏移虚轴，快速性好，所加开环零点越靠近虚轴影响越大。2022/8/244增加开环极点对根轨迹的影响： 改变了根轨迹在实轴上的分布； 改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距； 改变了根轨迹的分支数； 根轨迹曲线向右偏移，动态性能下降，所加开环极点越靠近虚轴影响越

12、大。2022/8/245闭环零点作用：如果存在不靠近闭环极点，且又靠近虚轴的闭环零点，则该零点会使闭环系统单位阶跃响应峰值时间ts减小，超调量tp增大。 相当于使系统的阻尼比减小。（3）闭环零极点与时间响应2022/8/246（4）闭环零点、实数主导极点对系统性能影响定性分析 利用根轨迹对系统进行分析和设计，研究闭环零点和实数主导极点对系统性能指标的影响，是非常重要的。2022/8/247闭环零点作用：使闭环系统单位阶跃响应峰值时间ts减小，相当于使系统的阻尼比减小， 超调量tp增大。闭环零点对系统性能影响定性分析回忆：增加一个闭环零点对系统单位阶跃响应的影响物理解释：闭环系统零点实际上是在前

13、向通道加一个微分环节，微分控制反映了误差信号的变化率，能在误差信号增大之前，提前产生控制作用，因此具有良好的时间响应特性，呈现最短的上升时间，快速性较好。2022/8/248K=5，Td=0，Td=0.05，Td=0.5，Td=5例：附加闭环零点对二阶系统的影响2022/8/249超调量 、上升时间 、峰值时间、调节时间？1 零点有减小阻尼的作用2 零点越靠近原点该作用越明显当z=时，为无零点的二阶系统闭环实数极点对系统性能影响：增大阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。越接近坐标原点，作用越强。物理解释：闭环实数极点的作用相当于一阶低通平滑滤波器，无零点三阶系统相当于欠阻尼二阶系统与一个低通平滑

14、滤波器的串联，二阶系统时间响应经过滤波器后，峰值时间被滞后，超调量被消弱，过渡过程被平缓。闭环实数极点对系统性能影响定性分析2022/8/251(1) 用傅里叶变换求出H(f)，在画出幅频特性曲线，看高频部分是不是“通”(2) 分子上有什么就通什么, 举个例子：H(s)=as/(bs+c) 分子与分母阶次相同，高通。 H(s)=as2/(bs2+cs+d) 高通。H(s)=a/(bs+c) 分子阶次为零，低通。 H(s)=a/(bs2+cs+d) 低通。H(s)=as/(bs2+cs+d) 分子阶次介于0与系统阶次之间 带通。 没找到理论根据2022/8/252p=0.5，p=1，p=2示例7

15、：系统传递函数例：附加闭环实数极点对二阶系统的影响2022/8/253稳定性：稳定性完全取决于系统的闭环极点，而与闭环零点无关。运动形式：若闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；若闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。超调量：主要取决于闭环复数主导极点的衰减率：并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。调节时间：主要取决于最靠近虚轴的闭环极点到虚轴的距离。实数零、极点影响：零点减小阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；闭环实数极点增大阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。越接近坐标原点，作用越强。偶极子及其处理：如果零、极点之间的距离比他们本身的模值小一个数量级，则

16、它们就构成了一对偶极子。远离原点的偶极子的影响可略，靠近原点的偶极子的影响必须考虑。主导极点：在S平面上，离虚轴最近且其附近无闭环零点的一些极点，对系统性能影响最大，称为主导极点。（5）闭环零、极点分布对系统性能指标影响总结（6）性能分析举例附加例题3 三个系统，讨论Ta 对系统性能的影响，并比较系统II和III在阻尼比为0.5时的有关系统性能。稳定性分析：看根什么情况下位于左半平面?动态性能： 定性分析随着参数变化，特征根怎么变? 定量计算先求相应的闭环极点，再进行计算稳态性能：看开环增益和系统的“型”。2022/8/256解：系统I：系统II：系统III：带有零点的二阶系统系统II比系统I

17、II多一个零点，Ta闭环零点与虚轴越近；Ta=0，与系统I相同系统II和系统III根轨迹图相同，但闭环零点不同 Ta 对系统有什么影响Ta ：0，特征根沿图中红线变化； 阻尼比从0.1开始逐渐增大； 由模值条件，当s=d=-1时，Ta=1.80Ta1.8:欠阻尼； Ta=1.8:临界阻尼；1.8Ta:过阻尼 =0.5，系统特点 =0.5=60，计算机作一个与负实轴60的直线交点坐标（-0.5，j0.87），Ta=0.8 单位阶跃响应2022/8/259 系统I：性能最差； 系统II：由于微分控制反 映误差信号的变化率，能在误差信号增大之前，提前产生控制作用，因此具有良好的时间响应特性，上升时间

18、最短，快速性较好； 系统III:由于速度反馈加强了反馈作用，所以在这三个系统中，超调量最小。2022/8/260 系统I： 平稳性最差； 系统II： 平稳性较好； 系统III: 平稳性最好，稳态误差最大。2022/8/262【本讲小结】绘制参数根轨迹时，等效变形时要化成闭环传函的标准形式，利用原系统和等效系统的开环传函不同，但具有相同的闭环传函的特性。零度根轨迹和常规根轨迹相比凡是和相角有关系的规律都要发生变化。利用根轨迹分析系统性能的理论基础是闭环零极点与单位阶跃响应的关系：增加开环零点后，根轨迹始终在s左半平面，最后变为两个负实根，稳定性， ， ，% ， ts ，动态性能；附加开环零点的目的除了改善稳态性能外，通常还要求动态性能也