线性第二章第四节

1、第四节 矩阵的分块分块运算矩阵的按列分块一 分块运算一个给定的矩阵 A，可在行间做水平虚线，或（及）在列间作铅垂虚线，把矩阵划分成一些块，称为对矩阵 A 的分块.为什么要对矩阵进行分块运算？目的：使大矩阵化为小矩阵，方便运算；凸显矩阵蕴含的某种结构，利用已有性质，简化运算；借助方程组、矩阵、向量之间的关系，更好地理解有关概念.适当分块后，可被看成是个“对角阵”又如：其中把上面的分块矩阵称为分块对角矩阵或拟对角矩阵.二、分块矩阵的运算规则例如 设 试计算乘积 AB解利用行乘列法则可直接算出 4 阶矩阵 AB，若采用分块技术，写成 分块之后可以利用零矩阵，以及任一矩阵乘以零矩阵皆得零矩阵的事实，简

2、化运算而得则二 矩阵的按列分块对矩阵按列分块，是一种技术也是一种看法,有了这种技术使线性代数方程、矩阵、向量空间三者将交织在一起互动地发展，这对理解或解释线性代数的有关概念和问题常是有帮助的.其中 aj 是 A 的第 j 列， .这样 A 被看作是以向量为元的行向量，有时也要用到按行分块.若在矩阵的列间引入虚线按列分块，如 其中带上标的小写黑体字母表示行向量， a i 是 A 的第 i 行， . 利用矩阵按列与按行分块、分块运算法，可对矩阵的乘法及正交矩阵概念分别作些解释.如 若 A= aij 是 m n 矩阵 ， B= bij 是 n s 矩阵, 对A、 B 分别按行及按列分块 其中a i

3、是 A 的第 i 行， . bj 是 B 的第 j 列， .按矩阵运算法则，有(解释一)若记 AB = C = cij ,则有 cij = a i bj =上式可解释为两个向量的内积.在正交矩阵的定义式中，若对A=aij 且AT A = I 可写成定义 4 对给定的方阵A，若满足A AT = AT A = I ,则称A为正交矩阵.按列分块，则 (解释二)即由对应位置元分别相等，其中 ，上式可推出 为正交矩阵的充要条件是 的行（列）向量都是单位向量且两两正交即则满足以下三个条件的矩阵为正交阵： （1）方阵； （2）每列元的平方和为 1； （3）相异列对应元的乘积之和都是 0 .定理：例3 判别下

4、列矩阵是否为正交阵？ 为正交矩阵的充要条件是 的行（列）向量都是单位向量且两两正交定理：方程组的表达形式：通过对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方程组Ax = b写成从而得到方程组的向量形式：这样，方程组有解的条件是 b 可作为的“线性组合”.a1 ，a2 ， ，an而求解方程组可几何地解释为：已知“线性表出”时的系数.和 b ，a1 ，a2 ， ，an求向量 b 用向量组a1 ， ，an(解释三)可被等价地写成逆矩阵概念，除了对角阵以及正交阵的特殊情形外，尚未涉及其计算问题.事实上，对已知的 n 阶可逆阵A，矩阵 B 按列分块，写成 B =b1 b2 bn，将单位阵 I 按列分块，写成 I

5、 =e1 e2 en，若将其逆则定义式AB = IAbi = ei ，i=1 , 2 , , n这样，求 A 的逆矩阵 B (即 A-1) 的问题被归结成解 n 个具有相同系数矩阵 A 的线性代数方程组，第 i 个方程组的自由项向量 ei 为 n 阶单位阵的第 i 个列向量，这是除第 i 个元为 1 其余皆为 0的 n 维向量，通常称为 n 维自然单位向量. 至此，已显露出关于线性代数方程组解的理解，着密切的关联.将涉及矩阵、向量理论，以及这三者有三 子矩阵 对给定的 m n 矩阵 A，取其 r 行 ( 1 r m ) s 列 ( 1 s n ) ,则位于交叉位置的个 rs个元可按照原来的相对位置构成一个r s 矩阵，称这样的矩阵为 A 的子矩阵.例如若取其第2、4行及第2、3、5 列可得 2 3 子矩阵 一个矩阵可以有很多子矩阵，得到的每个块都可看作是所给矩阵的一个子矩阵.在分块技术中而且每个矩阵也可看作是自身的一个特殊的子矩阵 对于 n 阶方阵 A ，可获得从 1 阶开始直到n阶 的一类重要的特殊方子矩阵，这种 k 阶方子矩阵（其对角线元是 A 的前 k 个对角线元 a11 , a22 , , akk , ）称之为 A 的 k 阶前主子矩阵，记作 Ak .这是自 A的左上角起直到其自身的一类方子矩阵.例如对于矩阵则它的所有的