债券价格的波动以及利率风险的衡量方法-“久期”与“凸性”的运用

1、期限(maturity)与久期(duration)债券(包括贷款)的期限并没有充分反映信用活动所涉及的时间因素，它只是衡量了最后一次支付(主要是本金的支付)所需要的时间，而对于债券或贷款存续期间所支付的各期利息(在分期等额付款的贷款中还包括一部分本金)的数额大小及其距今的间隔时间的长短等基本信息则全部忽略；而“久期”则考虑到了这些因素。期限这个概念的局限性某银行向ABC公司提供了一笔200万美元的贷款，期限为5年，无宽限期。宽限期(grace period)是指即贷款期限中只需支付利息、而无须偿还本金的期限。贷款的年利率为10%，复利计息，每年计息一次。银行要求ABC公司以年金的形式分期等额偿

2、还贷款的本息(amortization)，即每年年底偿付一笔相等的金额，并在第5年年末将贷款的本金和利息全部还清。分期等额偿还贷款的本息假定贷款有4年的宽限期假定采用贴现的方式借用资金有宽限期的“久期”计算过程 (1) (2) (3) (4) = (2)(3) (5) = (4)(1) 收到现金流入 所需要的时间 现金 流动额 现值系数 (折现率为10%) 现金流的现值 现金流的现值与所需时间的乘积 1年 $200,000 0.90909091 $181,818.18 181,818.18 2年 $200,000 0.82644628 $165,289.26 330,578.51 3年 $20

3、0,000 0.7513148 $150,262.96 450,788.88 4年 $200,000 0.6 $136,602.69 546,410.76 5年 $2,200,000 0.620921323 $1,366,026.91 6,830,134.55 合计 $3,000,000 - $. 久期 鍈鍈=n1ttn1tt)CF(PV t)CF(PVD=.4000,000,288.730,339,8= 分期等额偿还的“久期”计算过程利率变动对贷款价值的影响假如贷款的利率固定不变。假定贷款协议刚签订市场利率就出现变动，在这种情况下，贷款的价值将出现什么变化？如果是采用贴现的方式融通资金，由于

4、在整个融资期间它只有一次现金流动，它的久期与期限相同，贷款的价值变化与市场利率变化相同。不同的“久期”对贷款价值的影响(1)若贷款协议签订后，市场利率从10%上升到11%，对有宽限期的贷款价值的影响为：不同的“久期”对贷款价值的影响(2)若贷款协议签订后，市场利率从10%上升到11%，对分期等额偿付法下的贷款价值的影响为：“麦考莱久期” “久期”(duration)就是对以债券价格波动为主要内容的利率风险的一个严密的表达方式和适当的衡量指标，它能帮助市场参与者有效地实施资产组合策略与套期保值策略。“久期”这个概念最早是由弗里德里克麦考莱(Frederick R. Macaulay)在1938年

5、发表的一篇研究文章中提出的，他在现值的基础上，衡量了与金融工具(如附息债券)有关的现金流的平均期限(the average of the stream of payment)“久期”是债券的各期支付(包括息票的支付与本金的偿还)所需时间长度的加权平均数。“久期”的计算公式对公式的解释公式中的分母是利息和本金支付流的现值，即债券的市场价格；而分子则是指：全部利息和本金的现金流用相同的到期收益率(而不是使用预期将来每一次支付发生时的即期利率)来进行折现，然后，将所有经过折现后的现金流的现值用作权重(weights)对各次支付所需要的时间进行加权，最后再作加总在这里，权重的意义在于它代表着未来的每一

6、次支付占全部债券价值中的特定比重，即每期收到的现金流的现值只代表了债券市场价格的一个部分。“久期”的计算例子某种债券的到期收益率为10%，面值为$1 000，票面利率为8%，每年付息一次，债券的现行市价为，存续期还剩3年。根据下表，我们可计算出该种债券的“久期”。 另一种计算“久期”的方法 “麦考莱久期”的实质意义“麦考莱久期”表面上所呈现的债券加权平均期限并无实质意义，它的真正实用价值在于：“久期”这个概念开创性地将债券收益率的变动和债券的价格变动联系了起来，即： “久期”是对债券价格波动性或对收益率变动的敏感性的衡量：“久期”越是大，债券价格对收益率变动的反应就越是强烈，这意味着利率风险就

7、越是大；反之则反是。 “修正后的久期”市场参与者为了更直观地表现债券收益率变化与价格波动之间的联系，将 称作“修正后的久期”(modified duration)，并以MD来代表。经过这样处理之后，人们就可将债券收益率的变动直接与“修正后的久期”相乘，从而得到预期中的债券价格百分率的变动，即： 。 “修正后久期”的应用案例某债券的现行市价为$ 1,000，到期收益率为8%，债券的久期为10年。如果收益率增至9%，这款债券的价格预计将出现大多大的变化？收益率变动1%，即：dr=9%8%=1%；“修正后的久期”为，即； = 1%=9.26%。 债券价格大约下跌9.26%，即债券价格将跌至 $907

8、.40=$ 1 000(19.26%)。 影响“久期”的因素 (1) 债券的息票率：在债券的期限和到期收益率相同的情况下，息票率越是低，投资者期望的回报中有更多的部分集中在到期收回的本金之中而不是包括在到期日之前支付的各次息票之中，因此，“麦考莱久期”就越是大。这意味着债券价格的波动性就越是突出；反之反是。 (2) 债券的到期收益率：投资者用来对未来现金流动进行贴现的贴现率的高低对债券价格的波动性也有影响。在特定的息票率和期限的情况下，债券的到期收益率越是高，其“久期”就越是短；反之反是。(3) 债券的期限：“久期”与“期限”成 正比关系。“久期”的变化 从动态的角度来看，当市场利率发生变动时

9、，“久期”也随之改变。假如市场利率上扬，债券的收益率也跟着提高，“久期”相应变短，因此，收益久期曲线(yield-duration curve)向左下方移动，这意味着债券的价格风险减小。反之，假如市场利率下降，收益久期曲线也跟着向右上方移动，“久期”因收益率降低而相应变长。由于“久期”与利率风险相联系，这意味着债券的价格风险增大。 “久期”与期限的具体联系“久期”与期限的具体联系取决于：(1) 债券的付息采用的是零息票形式还是附息形式？(2) 假如是附息债券，它是不是永久债券？(3) 假如不是永久债券，那么，它是平价发行的，还是溢价或折价发行的？ 零息票债券的“久期”与期限(T)相同，两者之间

10、存在着一对一的联系。这是因为零息票债券只有一次现金流动， 而附息债券则不同，它的“麦考莱久期”总是小于债券的期限或存续期(maturity)。 “久期”与期限的动态联系 “久期”在利率风险管理中的运用案例(免疫策略)美国的一家养老基金所出售的一种保单承诺在今后15年里向保单持有者每年支付$100。假设市场的贴现率为10%，这项15年期的$100年金的现值为。养老基金这项负债的“久期”值为，“修正后的久期”为5.708(1.1)。 养老基金的资金运用养老基金现在面临的问题是如何将出售每份保单所得到的进行有效投资，以至少每年获得10%的收益率，从而保证在未来每一个时点上的资产价值至少和负债的价值相

11、当。 假定养老基金现在有两种投资机会可供选择：(1) 30年期的长期债券，票面利率为12%，按平价出售；(2) 6月期短期国库券，为零息票信用工具，其年收益率为8%。长期债券的“修正后久期”为，短期国库券的“修正后久期”为。 养老基金的利率风险防范养老基金现在面临的另一个问题是如何对投融资所涉及的利率风险实施“免疫策略”(immunization strategy)，即使资产组合的价值变动精确地与负债的价值变动相匹配。 这就要求将两种债券按某种比率进行组合，使资产组合的久期值正好等于负债的久期值，即要使W1D1+W2D2+DL，且W1+W2=1。 “免疫”策略下的资产组合的权重计算养老基金的收

12、益与风险养老基金每份保单收入中的68.79%($523.19)用于投资30年的长期债券，其余的31.21% ($237.42)投资于6月期的短期国库券。这项资产组合的收益率达到了10.75%的水平，即8%0.3121= 10.75%)，它超过了负债成本(10%)。这意味着该项业务是盈利的(毛利为0.75%)。 另一方面，从养老基金所面临的利率风险来看，它也能完全“免疫”的，即市场利率发生上下波动对其收益没有净影响。 “免疫”策略的效果分析假定市场上的收益曲线向上平行移动了10个基点，负债的贴现率变成了10.1%，长期债券的收益率现在为12.1%，短期国库券的收益率也变成了8.1%。由于养老基金

13、采取了风险“免疫”策略，在这种情况下，其资产组合的价值变动正好等于负债的价值变动。 利率变动对长期资产的影响利率变动对短期资产的影响利率变动对负债的影响“免疫”策略的效果 债券价格波动性的又一衡量尺度凸性 债券的价格与其收益率呈反比关系；然而，债券收益率下降抬高债券价格的数额要大于债券收益率发生同等幅度的上升所导致的债券价格下跌的数额。这种非线性联系在“久期”运用过程中也体现出来：1、“久期”的预测是对称的，而债券实际价格的变动是不对称的；2、在收益率发生上升和下跌这两种情况下，“久期”的预测都出现了误差，即都低估了债券价格的实际变动；3、同样是“久期”的预测出现了偏差，但收益率上升导致债券价

14、格下跌的误差要小于收益率下降导致的债券价格上涨的误差。 债券市价收益率的曲率与凸性 债券的“久期”与债券的“凸性” “凸性”衡量的是“久期”的变动率 对公式的解释上述泰勒展开式的第一项是债券价格函数对收益率的一阶导数，它的负值是“久期”的数学定义，即： 。微积分中的一阶导数总是与变量的微小变化有关。当变化很大时，只使用一阶导数作出的估测就会有误差；所以，有必要对收益率作二阶求导。“凸性”的数学表达式若再除以2以及债券的市场价格，这就是第二项内容所表达的债券价格收益率曲线“凸性”的数学定义，即： 。其中，“凸性”的计算过程 6月期和1年期的“凸性” “凸性”对债券价格变动的影响 “凸性”对债券价格百分率变动的影响等于“凸性”的数值乘以收益率的平方，它呈增函数性质，即： “凸性”的运用例子某种20年期的债券，其息票率为5%，“凸性”为。假如收益率从9%上升到11%或者从9%下降到7%(都是变动200个基点)，仅仅考虑到“凸性”，其对债券价格的影响为： “久期”与“凸性”结合起来运用的案例某种债券的息票率为8.4%，每半年付息一次，期限为6年。债券的面值为$100，由于到期收益率为9%，所