几何图形变化过程

1、探究几何图形变化过程中性质的变化规律数学不仅是思维科学，也是实验科学，要求通过实验操作、观察猜想等推理，得到数学结论近年来，河北省常以此来考查学生的数学实践能力和创新能力，这种实验操作形式也成为进行科学研究的最基本形式所以在中考中会一直占据重要位置我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变化，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”，主要思考方向有：1化归到基本图形的“变换性质”；2沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性；3善于在一般中构造“特殊”和运用“特殊”；4善于在情景比较中把握知识或方法的共同点专题精讲题型一化归到基本图形的变换性质例

2、1（2011湖南岳阳）如图将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到ABD和厶ECF.固定ABD,并把AABD与厶ECF叠放在一起.（1）操作：如图，将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，AECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）.求证：BH-GD=BF2（2）操作：如图，AECF的顶点F在AABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合）,且CF始终经过点A，过点A作AGCE。交FE于点G，连接DG。探究：FD+DG=请予证明.分析：此题的背景虽然是由菱形产生，但归结到底只是相似基本图形的其中

3、一种。如图，只要图中為卜的三个角相等，那么就会出现相似三角形。解：（1）当点A在ACEF内部时如图.ABD和厶CEF是菱形纸片沿对角线剪开得到的.ABD竺ACEFAZB=ZD=ZCFE=ZEVZDFC=ZCFE+ZGFD=ZB+ZBHFZCFE=ZBAZBHF=ZDFG.ZBHFsZDFG即BDDG=BFDFVBF=DF.BHDG=BF（当点A在ACEF外部时，同理可证，只证明一种情况给满分）2)FD+DG=DB或FD+DG=EF证明：.AGCEAZFAG=ZCZFGA=ZE又VZBAD=ZC.ZBADZFAD=ZFAGZFAD即ZBAF=ZDAG又VZFGA=ZEZE=ZCFE；.ZFGA=

4、ZCFEAF=AG*AB=AD所以ABF竺AADG.BF=DGBD=BF+FD=DG+FD即FD+DG=DB或FD+DG=EF对应训练（10山东临沂）如图1,已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD.（1）判断AABC的形状，并说明理由；（3）保持图2中ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明.C333图2M图12C/（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系

5、？并给予证明；答案（1）ABC为等腰直角三角形。如图1，在矩形ABED中，：点C是边DE的中点，且AB=2AD，.AD=DC=CE=EB,ZD=ZE=90，；.RtADC=RtABECoAAC=BC，Z1=Z2=45，AZACB=90，AABC为等腰直角三角形。DE=AD+BE；女口图2，在RtAADC和RtCEB中，TZ1+ZCAD=90，Z1+Z2=90，AZCAD=Z2。又*AC=CB，ZADC=ZCEB=90，ARtADC=RtCEBoADC=BE，CE=AD，.DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE。DE=BEAD。女口图3，RtADC和RtCEB中，TZ1+ZCAD=90，Z1

6、+Z2=90，AZCAD=Z2，又TZADC=ZCEB=90,AC=CB，.RtMDCzRtMEB,.DC=BE,CE=AD,：.DCCE=BEAD,即DE=BEAD。题型二借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一性和差异性来获得解法例2（2011浙江嘉兴）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点，得四边形EFGH.（1）如图1,当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2,当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3,当四边形ABCD为一般平行四

7、边形时，设ZADC=（0。a90）,试用含a的代数式表示ZHAE；求证：HE=HG；四边形EFGH是什么四边形？并说明理由.图1)图2)图3)分析考察三个图形的统一性：向外作等腰直角三角形，从而得到边等角互余等条件，因此结论仍然成立【答案】(1)四边形EFGH是正方形(2)ZHAE=90。+a.在ABCD中，ABCD,.ZBAD=180ZADC=180a；HAD和厶EAB都是等腰直角三角形,.ZHAD=ZEAB=45,.ZHAE=360ZHADZEABZBAD=3604545(180a)=90+a.AEB和厶DGC都是等腰直角三角形,:.AE=AB,DG=-CD,在BCD中，AB=CD,：.A

8、E=DG,TAHAD和厶GDC都是等腰直角三角形，:.ZDHA=ZCDG=45,.ZHDG=ZHAD+ZADC+ZCDG=90+a=ZHAE.HAD是等腰直角三角形，：.HA=HD,：.AHAE竺HDG,：.HE=HG.四边形EFGH是正方形.由同理可得：GH=GF,FG=FE,VHE=HG(已证)，：.GH=GF=FG=FE,：四边形EFGH是菱形.HAE9AHDG(已证)，：.ZDHG=ZAHE,又*ZAHD=ZAHG+ZDHG=90,：.ZEHG=ZAHG+ZAHE=90,：四边形EFGH是正方形.对应训练(09河北)在图14-1至图14-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点

9、四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M.如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM丄MH；将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2,求证：AEMH是等腰直角三角形；(3)将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，MMH还是等腰直角三角形吗？(不必说明理由)答案(1)证明：.四边形BCGF和CDHN都是正方形，又点N与点G重合，点M与点C重合，：.FB=BM=MG=MD=DH，ZFBM=ZMDH=90.FBM竺MDH.：.FM=MH.VZFMB=ZDMH=45,：.ZFMH=90.：.FM丄HM.(2)证明：连接

10、MB、MD,如图2,设FM与AC交于点P.B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，：.MDBC，且MD=BC=BF；MB#CD,且MB=CD=DH：四边形BCDM是平行四边形：ZCBM=ZCDM.又*ZFBP=/HDC,：./FBM=/MDH.：.FBM竺MDH.：.FM=MH,且ZMFB=/HMD.:.ZFMH=ZFMDZHMD=ZAPMZMFB=ZFBP=90。.FMH是等腰直角三角形.（3）是.题型三善于在一般中构造“特殊”和运用“特殊”例3（09牡丹江）已知RtAABC中，AC=BC,/C=90。，D为AB边的中点，ZEDF=90ZEDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延

11、长线）于E、F.当ZEDF绕D点旋转到DE丄AC于E时（如图1），易证S+S=-S.DEFCEF2ABC当/EDF绕D点旋转到DEAC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立,S、SAABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.CEFABC图1图3可借助与图1的关系来获得结图论，也就是善于在一般中构造“特殊”和运用“特殊”分别分析图2、过点D作DM丄AC交AC于M,DN丄BC交BC于N，得图4和图5,在图4和图5中，易得AMDE竺ANDG.解：图2成立；图3不成立.证明图2：过点D作DM丄AC，DN丄BC则ZDME=ZDNF=ZMDN=90再证ZMDE=ZNDF,D

12、M=DN有ADMEADNF.S=S.S=SDMEDNF四边形DMCN1由信息可知S=S四边形DMCN2ABC=S四边形DECFDEFS+SDEFCEF图3不成立，Sadef、Smef、Saabc的关系是：S+SCEF=-S2ABC1S=SDEFCEF2ABC对应训练（09山东）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,DF中点，连接EG，CG.（1）求证：EG=CG；（2）将图中ABEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG.问（1）结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，

13、如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）中的解：:.CG=B2FD.同理，在RtADEF中，BEG=FD.第23题图第23题图.CG=EG（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG.连接AG，过G点作MN丄AD于M，与EF的延长线交于N点.在46与厶DCG中，丁AD=CD，ZADG=ZCDG，DG=DG，:.DAGDCG.AG=CG.在与FNG中，ZDGM=ZFGN,FG=DG,/MDG=/NFG,：.HDMG竺FNG.：.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在RtAMG与RtENG中，TAM=EN,MG=NG,：.AMGENG.

14、AG=EG:.EG=CG.（3）（1）中的结论仍然成立,即EG=CG.其他的结论还有:EG丄CG.题型四善于在情景比较中把握知识或方法的共同点例4（2011山东）如图1,将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.（1）求证：EF=EG；（2）如图2,移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；（3）如图3,将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其EF他条件不变，若AB=a

15、,BC=b，求的值.EG图2，两三角形始终相似。=90分析：在变换的过程中，由于直角顶点不变，所以互余的角始终存在答案(D证明：/GEB+ZBEF=90ZDEF+ZBEF/DEF二/GEB.又ED二BE,RtAFED空RtAGEB.EF二EG.(2)成立.证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I,则EH二EI,/HEI二90./GEH+ZHEF=90/IEF+ZHEF二90/IEF二/GEH.TOC o 1-5 h zRtAFEI空RtAGEH. HYPERLINK l bookmark76 EF二EG. HYPERLINK l bookmark70 解：如图，过点E分别作B

16、e、CD的垂线，垂足分别为M、N，则/MEN=90EMAB,ENAD.EMCEEN.ABCAADEMADaENABb/GME+/MEF二90/FEN+/MEF二90TOC o 1-5 h z/MEN=/GEM. HYPERLINK l bookmark92 RtAFENsRtAGEM. HYPERLINK l bookmark94 EFENb.EGEMa对应训练：(2011浙江义乌)如图1,在等边ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP.将ABP绕点P按顺时针方向旋转a角(0a180)，得到ABP，连结AA，射111线AA分别交射线PB、射线BB于点E

17、、F.11(1)如图1，当0a60。时，在a角变化过程中，ABEF与AAEP始终存在关系(填“相似”或“全等”)，并说明理由；如图2，设/ABP=.当60a180时，在a角变化过程中，是否存在ABEF与AAEP全等？若存在，求出a与”之间的数量关系；若不存在，请说明理由；如图3，当a=60。时，点E、F与点B重合.已知AB=4，设DP=x，ABB的面11积为S，求S关于x的函数关系式.解:1ADPC图1B1图31)相似由题意得则ZPAA1ZAPA=ZBPB=a11180a=ZPBB=1AP=A1PBP=B1P=90a222)=ZEBFTZPBB1又.ZBEF=ZAEP:.ZPAE=ZEBF存在

18、，理由如下：易得：ABEFsAEP若要使得BEF9AAEP，只需要满足BE=AE即可B1：.ZBAE=ZABEVZBAC=60:.ZBAE=60一f90耳I2丿a“=302a:ZABE=/3ZBAE=ZABE:.一30=P即a=2+603)连结BD，交AB于点G，11过点A作AHLAC于点H.11:上BAP=ZAPA=60:.AB/AC11111由题意得：AP=APZA=601.PAA是等边三角形：AH二(2+x)12:SAABB2考前1大1阅兵在RtAABD中，BD=23：.BG=2*32(2+X)=*32x32丿=2*3v3x(0Wx2)1(10玉溪)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关

19、系.(1)如图a，若AB/CD，点P在AB、CD外部，则有ZB=ZBOD，又因ZBOD是2POD的外角，故ZBOD=ZBPD+ZD，得ZBPD=ZB-ZD.将点P移到AB、CD内部，如图b,以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则ZBPD.ZB.ZD之间有何数量关系？请证答案解：（1）不成立，结论是ZBPD=ZB+ZD.延长BP交CD于点E,:AB#CD.：.ZB=ZBED.又ZBPD=ZBED+ZD，：ZBPD=ZB+ZD.(2)结论：ZBPD=ZBQD+ZB+ZD.(3)由(2)的结论得：ZAGB=ZA+ZB+ZE.又:ZAGB=ZCGF.ZCGF+ZC+ZD+ZF=360.：ZA

20、+ZB+ZC+ZDZE+ZF=360.2.（2011山东潍坊）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O,P是射线AB上任意一点，（1）过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE-PF的值.（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则ZBPD、ZB、ZD、ZBQD之间有何数量关系？（不需证明）；3)根据（2）的结论求图d中ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度数.【解】（1）丁四边形ABCD为正方形，.AC1BD.:PFIBD，

21、：.PF/AC，同理PE/BD.:.四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又：ZPBF=45，.：PF=BF.：PE+PF=OF+FB=OB=acos45=a.2（2）V四边形ABCD为正方形，：.AC丄BD.：PF丄BD，：.PF/AC，同理PE/BD.:.四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又:ZPBF=45，.：PF=BF.:.PEPF=OFBF=OB=acos45=a.4.（2010嵊州市）已知：在四边形ABCD中，ADBC,ZBAC=ZD,点E、F分别在BC、CD上，且ZAEF=ZACD，试探究AE与EF之间的数量关系.（1）如图1,若AB=BC=AC，则AE与EF之间的数量关系是什么

22、；（2）如图2,若AB=BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明;（3）如图3,若AB=kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明.答案（1）AE=EF（2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE=EF（过点E作EHAB，可证AEHFEC）（3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE=kEF巩固提高1.（10河北）在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O,Z1=Z2=45，（1）如图1，若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系；2)(3)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB，求证：AC=BD，AC丄BD；将图2中的OB拉长为AO的K倍得到图3，求皿的值.AC图4(3)如图5,过点B作BEICA交DO于E,；./BEO=ZACO.又T/BOE=ZAOC,解：1)AO=BD,AQBD-