新高考数学二轮专题《导数》第16讲 导数解答题之先构造再赋值证明和式或积式不等式（解析版）

1、第16讲 导数解答题之先构造，再赋值，证明和式或积式不等式1已知函数，（其中，为自然对数的底数，（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，求的最小值【解析】解：（1）因为，所以， 由对任意的恒成立，即，由，当时，的单调递增区间为，所以时，所以不满足题意当时，由，得，时，时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最小值为设（a），所以（a），因为（a），令（a），得，所以（a）在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以（a）（1），由得（a），则（2）由（1）知，即，令，1，2，3，则，所以，所以，所以，又，所以的最小值为22已知函数（1）

2、若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值【解析】解：（1）因为函数，所以，且（1）所以当时恒成立，此时在上单调递增，这与矛盾；当时令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即（a），若，则（a）（1），从而与矛盾；所以；（2）由（1）可知当时，即，所以当且仅当时取等号，所以，即；因为为整数，且对于任意正整数，成立，当时，所以的最小值为33已知函数（其中，为自然对数的底数，（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）设为整数，对于任意正整数，求的最小值【解析】解：（1）因为，所以，令，得； 令，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最小值为由对任意的恒成立，得，即

3、，所以，即实数的取值范围为，（2）由（1）知，即，令，1，2，则，所以， 所以，又，所以的最小值为24已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数在定义域上具有单调性，求实数的取值范围；（3）求证：，【解析】解：（1）当时，（1），（1），所以求在处的切线方程为：（2），函数在定义域上单调递减时，即时，令，当时，不成立；函数在定义域上单调递增时，；令，则，；则函数在上单调递减，在上单调递增；所以，故（3）由得当时在上单调递增，由（1），得，即在上总成立，令得，化简得：，所以，累加得，即，命题得证5已知函数（1）求函数的单调区间及最值；（2）若对，恒成立，求的取值范围；（3）求证：【解析】

4、解：（1）的定义域为，所以函数的增区间为，减区间为，无最小值（2），令则当时，显然，所以在上是减函数所以当时，所以，的取值范围为，（3）由（2）知，当，时，即在式中，令，得，即，依次令，2，3，得将这个式子左右两边分别相加，得6已知函数（1）若在处取得极小值，求的值；（2）若在，上恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，【解析】解：（1）的定义域为，在处取得极小值，（2），即，此时，经验证是的极小值点，故（2），当时，在，上单调递减，当时，（1）矛盾当时，令，得；，得当，即时，时，即递减，（1）矛盾当，即时，时，即递增，（1）满足题意综上，（3）证明：由（2）知令，当，时，（当且仅当时取“”

5、当时，即当，3，4，有：7已知函数（1）若在处取到极值，求的值；（2）若在，上恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，【解析】解：（1）的定义域为，在处取得极小值，（1），即，此时，经验证是的极小值点，故，（2）当时，当时，故不满足题意，当时，（2），故不满足题意当时，恒成立，令，解得，（舍去），当时，即时，在，单调性递增（1），满足题意，当时，即时，时，即递减，（1），矛盾综上，在，上恒成立，（3）证明：由（1）知令时，当时，即，令，则，8已知函数（1）当时，求的极值；（2）若，存在两个极值点，试比较与的大小；（3）证明：【解析】解：（1），定义域解得，即有递减，递增，故的极小值为（2），没

6、有极大值（2），由于，则，解得，即设，当，则设，当时，在上递减，（1），即恒成立，综上述；（3）证明：当时，恒成立，即恒成立，设，即，即有，即有，即有，则，故9已知函数为常数）是实数集上的增函数，对任意的，有，函数，函数（1）求实数的值；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：当时，【解析】解：（1）对任意的，都有，是上的奇函数，即或或或，是实数集上的增函数，（2）由（1）知，函数，设，则恒成立恒成立，又若，则，在上是减函数，因此恒成立，若，则令，解得，当是，单调递增，不成立故实数的取值范围，（3）证明：由第（2）小题可知，当时，恒成立，故当，也恒成立，将各不等式相加得故10已

7、知函数，且（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若在处的切线与轴交于点，且，（1），求（a）在，的最小值；（3）若，（1）（2）（3），求证：【解析】解：（1）由，得，这时，恒成立得（2）（1），即，而时，（1）故在处的切线方程为当时，即（a），当时，（a）的最小值为1当时，（a）的最大值为（c）（3）证明：时，故（1）（2）（3）故11已知函数（）若方程有两根，求的取值范围；（）在（）的前提下，设，求证：随着的减小而增大；（）若不等式恒成立，求证：【解析】解：（）由，有，设，由，（1分）在上单调递增，在上单调递减，又，（1）当时，；当时，（2分）故若方程有两根，则（3分）（）证明：若

8、方程有两根，则，假设对于任意的记，由上可知；记，由上可知（5分）因为在上单调递增，在上单调递减，故由可知，又因为，所以，故随着的减小而增大（8分）（）依题意，恒成立，记，则当时，在恒成立，故在单调递减，又因为（1），所以在上函数值小于零，不符合题意，舍去（9分）当时，得小于0大于0单调递减单调递增由上表可知在上的（10分）记（a），由可知，（a）在单调递增，在单调递减，故（a）（1），综上（a），即（11分）由可得，两边乘以可得，即则（12分）12已知定义在上的函数有（1）求函数的解析式；（2）设函数，直线分别与函数，交于、两点设，为数列的前项和求，并证明；求证：当时，【解析】解：（1）故，两

9、式联立可得（2）由（1）可得，联立，得交点，所以，累加得：又13已知函数且（1）求函数的单调区间；（2）求证：【解析】解：（1），当时，若，则，若，的单调递增区间，单调递减区间；当时，若，则，若，的单调递减区间，单调递增区间；（2）令，则，所以（1），由（1）可知在，单调递减，故（1），（当时取等号），所以，即，从而有，即，14已知函数（）求函数的单调递增区间；（）若对一切实数，都有恒成立，求的取值范围（）求证：，【解析】解：（）由，当时，显然；当时，由得，显然当时，；所以当时，在上单调递增；当时，在上递增；（）由（）问知，当时，递增，且，不合题意，舍去当时，由（）知，当时，当时，所以当时，有

10、极小值也是最小值，即，依题意，式可化为，而由超越不等式知：时取到等号），所以比较上下两式可以发现，即时取到等号），下面给出其证明：令（a），则（a），于是（a）时，同理知当时，（a）有极大值也是最大值，所以（a）（1）比较式可得，（a），即为所求（）由（）知对，有，于是令，则有即有，即（当且仅当时取等号）所以有即，即证15已知函数（1）当时，令，求函数在，上的最小值；（2）若对于一切，恒成立，求的取值集合；（3）求证：【解析】解：（1）当时，则当，即时，；当且，即或时，则的增区间为，减区间为，因为，所以，当，即时，在，上单调递减，所以当，即时，在，上单调递减，在，上单调递增，所以（2）当时，在

11、，上单调递增，所以综上，；（2）设若，则对一切，这与题设矛盾又，故而，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增故当时，取最小值于是对一切，恒成立，当且仅当令，则当时，单调递增；当时，单调递减，故当时，取最大值（1），因此，当且仅当，即时，式成立综上所述，的取值集合为（3）证明：由（2）可知，当时，所以，可得于是16已知函数在点，处的切线斜率为2（）求实数的值；（）设，若对，恒成立，求的取值范围；（）已知数列满足，求证：当，时为自然对数的底数，【解析】解：（），；则由题意得，故（）由（）知，由得，；当时，该不等式成立；当，时，不等式在，上恒成立，即设，在，单调递增，在，单调递增，（1），（）证明：，又，时，；对也成立，当，时，在，上单调递增，且又，表示长为，宽为的小矩形的面积，又由（），取得，17已知函数，（）若有两个不同的极值点，求的取值范围；（）当时，令（a）表示在，上的最大值，求（a）的表达式；（）求证：，【解析】解：（），有两个不同的极值点，令，则有两个大于的零点，（2分），； （4分）（）由（）知当时，在，上单调递增；在，上单调递减，（8分）注意到的对称轴，可推知，当，时，（a），（9分）而，又若，故不成立综上分析可知，（a）（10分）