二次根式知识点总结和典型例题

1、数学九年级上册(人教版)知识点总结第二十一章二次根式21.1二次根式二次根式30)是非负数(石=a (a 0)- a a 0)二次根式的 化简与运苴二次根式的加巡二次根式的乘除.二次根式：式子 石(a0)叫做二次根式。当a0时，表示a的算数平方根，其中，0=0注意：(1)若a之0这个条件不成立，则 va不是二次根式；(2)引后是一个重要的非负数，即；0.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如浦 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如项 1/二：.都不是最简色店二次根

2、式，而 , 而，5柚,都是最简二次根式。.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如1就是同类二次根式，因为 =2,馆=3垃,它们与启的被开方数均为2。.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如石与石，a+后与a-加，出- m与出+质,互为有理化因式。二次根式的性质：. (a 0)是一个非负数，即 可0;.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即： ()2=a(a0);3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即1=|a|=a(a0)-a(a 0,b 0)。5.非负数的商

3、的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,而(a0,b0 )。二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;（3）分别平方，然后比大小2二次根式的乘除.二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即二标例 zb *。说明：（1）法则中口、8可以是单项式，也可以是多项式， 要注意它们的取值范围,都是非负数;（2）石 J彳二向（口 0, b 0）可以推广为 幽At店二他疯0）；人二:一一3 0,方 0, C 0, d 0)。（3）等式=（d 0, b 0）也可以倒过来使用，即 y!ab = a-4b （。0, b 0

4、）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。.二次根式的除法说明：（1）法则中Q、b两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即 ,一 可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围,0, 3在分母中，因此方0；(2)43 A0, b 0）可以推广为3 0,力 0, R w0)；6_ b而(3)等式柩 V6 (Q 0, b 0)也可以倒过来使用，即 vi 狗 (fl 0, b 0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。.最简二次根式(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 被开方数的因数是整数，因式是

5、整式，被开方数中不含能开的尽的因数或因式；(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2,且不含分母；(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式说明：(1)这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；(2)被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；(3)二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。21.3二次根式的加减.同类二次根式(1)定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根 式叫同类二次根式。注：判断几个二次根式是否为同类二次

6、根式，关键是先把二次根式准确地化成最简 二次根式，再观察它们的被开方数是否相同。(2)合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变。.二次根式的加减(1)二次根式的加减， 先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。(2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：)将每一个二次根式都化简成最简二次根式)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组)合并同类二次根式次根式的混合运算(1)二次根式的

7、混合运算可以说是二次根式乘法、除法、力口、减法则的综合应用，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；(2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合 并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等(3)在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：1)观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序 一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。2)在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。3)观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算

8、性质，在实数和整式中的运算 律和运算性质，在二次根式的运算中都可以应用。母有理化(1)我们在前面的学习中研究了分母形如感 形式的分式的分母有理化综合起来，常见的有理化因式有：石 的有理化因式为 而,隹业 的有理化因式为 柩，。土柩的有理化因式为 。干柩，土祢的有理化因式为 石干新， 如A土卜后的有理化因式为次后钺(2)分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，将分母化为整式 .混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理 化而进行的。1例1 .下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：亚、我、x、4 (x0)、 1而、氏、-五、x+y、Jx +

9、y (x0, y?0).解：二次根式有： 石、& (x0)、而、-石、正(x0, y0);不是_1_1二次根式的有：我、x、叼、x + y.例2.当x是多少时，辰二1在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-10, ?反二1才能有意义.1解：由 3x-1 0,得：x 3当x3时，后二1在实数范围内有意义. ,例3.当x是多少时，hx +3 +- 在实数范围内有意义?1分析：要使 疡短+二在实数范围内有意义，必须同时满足，2x+3中的10 和 x+1 中的 x+1 W0.2x 3-0解：依题意，得x 1一03由得：x- 2由得：xw-13当x-2且xW

10、-1时，疡而+ x+1在实数范围内有意义.x例 4(1)已知 y=2-x + x-2+5,求 y 的值.(答案:0.4)(2)若出历 十 3口=。，求 a2004+b2004的值.(答案:2)21.1 二次根式(2)第二课时.金(a0)是一个非负数；.(石)2=a (a0).、0a2 =a (a0).例3在实数范围内分解下列因式：(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x2-3答案1) x 3 x - 3 ;2) x2 2 x % 2 x - x 2 ;3) . 2x ,3、2x - . 3二次根式(3)掌握r2a(a -0)a a = a = *-a(1)(x - 2)1、6=42、，(-

11、1.5)2= 1.53、)；(x-1)2= x-1(3-二)2; (2) x2 6x 9(x 3)./4、= J-35、x -4x 4 = x-2(4)如果 盾产=2-x那么x取值范围是(A )A 、x 02 B. x 2 D. x 2(5)实数p在数轴上的位置如图所示：,0_ 1 P 2化简：(1一( 2 p)2=p-1+2-p=1一、选择题、(2；)2 . (-2了1.、333 的值是(c ).22,0 B , 3 C . 43 D ,以上都不对2 .确的是a0时，匠、J(-a)2、-,比较它们的结果，下面四个选项中正(A ).4a = J(-a)2 -Va2 b ,1 ha)2 -值 /

12、0,判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值)由已知得 a-?2000?0, ?a?2000所以 a-1995+ a -2000 =a, a -2000 =1995, a-2000=19952,所以 a-19952=2000.3,若-3Wx&2 时，试化简 1 x-2 1 + J(x + 3)2 +Jx2-10 x + 25。答案(10-x)第三讲二次根式的乘法教学目标：使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则ab =448=汇自手0TbbO)并进行 相关计算；同时掌握积的算术平方根的性质： 疝= Va7b (a2QC0)；能熟 练应用。利用二次根式的乘法法则，化简二次根式，使被开方数中

13、不含能开得尽方的因数 或因式。(最简二次根式)二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变.例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)J(Y)M(-9)=。乂。4121212(2) V 25 x 后=4X 25 x &5=4丫 25 x 后=4阮=8向解：(1)不正确.改正：(一4) (-9) = 4 9= ；X 9=2X 3=6(2)不正确.1472叵 ,12.25改正：25 x 225=15 x 225=55=布2 =而5=46一、选择题.若直角三角形两条直角边的边长分别为 屈cm和 屈cm, ?那么此直角三 角形斜边长是（B ）.A . 3 2 cm B . 33 cm

14、 C . 9cm D . 27cm71.化简a a的结果是（C ）.A.-aB. ,aC. - - D.- a.等式Jx *1Jx - 1 = Jx2 - 1成立的条件是（A ）A. x1B. x-1C. -1 x1或 x0-1,下列各等式成立的是（D ）.A. 4X2遥=8 代 B . 5向 X4亚=20后C. 4囱X3后=7而 D . 5由X4&=20n二、填空题1. 1014 =13,612 .自由落体的公式为S=2 gt2 （g为重力加速度，它的值为10m/s2）,若物 体下落的高度为720m则下落白时间是 12s.第四讲二次根式除法一、教学目标：上aaa 、a1、7b =Vb（a0,

15、 b0）,反过来 旧=而（a0, b0）及利用它们进行计算 和化简.教学目标2、二次根式运算的结果必须是最简二次根式，理解最简二次根式必须满足的条例2.化简：T64b29x5x（1）、64（2） 19a2（3） 屈 （4） VWa a分析：直接利用b = v/b （a0, b0）就可以达到化简之目的.22 HYPERLINK l bookmark15 o Current Document A. 7 岔 B , 7 C.V2D2、化去分母中的根号：、31_5b_(1)而(2)而(3)后(a，b 之 ),27例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根11 ( .2 -1

16、),2 -1质 +1 = (72+1)(72-1) - 2-1 二亚.1 ,11 (.3 - .2)3 - 2.3 .2 =( ,35)(石-二) 3-2 = 3. .21同理可得：=-由，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算(&+1 + &+V2+ +而 + J2002 +J2001)( J2002 +1)的值.分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理 化后就可以达到化简的目的.解：原式=(五-1+向-亚+”-点+V2002.疝而)x(V2002+1)=(2002 -1)(2002+1)=2002-1=2001第五讲二次根式的加减法(1)教学目标：(1) 使学生

17、了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法。使学生能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算。首先要对二次根式进行化简，然后考察根号下的被开方数：被开方数相同的就是 同类二次根式；被开方数不同的就不是同类二次根式。1、在二次根式： 阮 炎3匕；行和书是同类二次根式的是（C）A .和B .和C .和D .和2、下列说法正确的是（C ）A、被开方数不同的两个二次根式一定不是同类二次根式；B、再 与3向不是同类二次根式；1C、a与不是同类二次根式；D被开方数完全相同的二次根式是同 类二次根式。 TOC o 1-5 h z 3、两个正方形的面积分别为2和8.则这两个正方形边长和为342 HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 八=菟 35a2 1 十7c25、已知最简二次根式2 和-M7a -1是同类二次根式：1、6求a的值求它们合并后的结果（a=1或-1,合并后结果为2）多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法(a-b)(1)( . a . b)( . a - . b) (a - 0,b - 0)例1 .计算：（1）