用基底建模向量法解决立体几何问题

1、用基底建模向量法解决立体几何问题空间向量是高中数学新教材中一项基本内容，它的引入有利于处理立 体几何问题，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利 于丰富学生的思维结构，利用空间向量的坐标运算解立体几何问题,可把抽 象的几何问题转化为代数计算问题，并具有很强的规律性和可操作性，而利 用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系 有时要受到图形的制约,在立体几何问题中很难普遍使用，其实向量的坐标 形式只是逃取了特殊的基底，一般情况下，我们可以根据题意在立体几何 形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示出来，再利用向量的运 算进行求解或证明，这就是基底建模法.

2、它是利用向量的非坐标形式解立 体几何问题的一种有效方法。基向量法在解决立体几何的证明，求解问题中有着很特殊的妙用。空间向量基本定理及应用空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c. TOC o 1-5 h z 1、已知空间四边形OABC中，NAOB=/BOC=.：ZAOC,且OA=OB=OC. M, N分别是OA, BC的中点，G是吵/MN的中点./、搭”求证：OGBC. . .【解前点津】要证OGLBC,只须证明og BC = 0即可.J例1题图而要证OGBC = 0，必须把OG、BC用一组已知的空间基向

3、量来表示.又已知条件为zaob=zBOC=ZAOC,且OA=OB=OC,因此可选OA,OB,OC为已知的基向量.【规范解答】连ON由线段中点公式得：OG = (OM + ON) = OA + (OB + OC) = (OA + OB + OC), 22 224又 BC = OC - OB ,所以 OG OB = (OA + OB + OC) (OC OB) = (OA OC + OB OC + OC2 OA OB OB2 OC OB ) 441 /OA OC cos ZAOC .-(OA OC OA OB + OC2 OB2 ).因为 OA OC = 4OA OB = OA OB cos ZA

4、OB 且 OC = OB = OA ，ZAOB-ZAOC.所以 og bc -0,即 OGBC.【解后归纳】本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力【例2】在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求：异面直线BA卢AC所成的角.【解前点津】 利用BA.aC = |b、|ac|xcos，求出向量BA与AC的夹角BA, AC，再根据异面直线BA1, AC所成角的范围确定异面直线所成角.【规范解答】因为BA1 = BA + BB1,AC = AB + BC ,h h1-h F +*b k F 所以 BA1 AC = (BA + BB1) (AB + BC) - BA AB

5、+ BA BC + BB1 AB + BB1 BC因为 ABBC, BB1AB，BB1BC，所以 ba BC = 0, BB1 AB =0,IfcBB1 BC = 0, BA AB a2.所以 BA1 AC -a2.又 BA1 AC =BA1S- hir * AC cos , cos =- a22 a x： 2 a所以BA1,AC-120 .所以异面直线BA1与AC所成的角为60.【解后归纳】求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量 积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示例3：如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，ZABC-60，PAL面ABCD，PA-

6、AC-a,PB-PD-2a，点E在PD上，且PE:PD-2:1.在棱PC上是否存在一点F，使BF 平面AEC?证明你的结论.uuu uuur uuu解析：我们可选取ABAD,AP作为一组空间基底uuu uuuu uuu uuu uuu uuu uuu uur uuu 设PF = XPC而BF = BP + PF = AP - AB + X(AC - AP) uur uuruun=(X-1) AB + X AD + (1-X) APmar uun uuu uur 2 uuu uu 2 uu uuu 又因为 AE = AP + PE = AP + -PD = AP + -(AD AP)331 uu

7、m 2 mar=AP + AD33umr uuu umr并且 AC = AB + ADuuur uuur uuur要使BF平面AEC,那么存在实数x,y使BF = xAE + yAC成立uur auur uuu 1 uur 2 uuir uur uuir即(X -1) AB + X AD + (1 -X) AP =( 3 AP + 3 AD)+y( AB + AD)X-1矽2 于是，可得到=2 X311 X = x33x =2解得1y = -2X =12故在棱PC上存在一点F,其为PC的中点，使BF/平面AEC【例4】证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分（此点称为四面体的重

8、心）.【规范解答】*/E,G分别为AB,AC的中点，.EG： :bc，同理 H 2bc，.EG HF .从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,/GH相交于一点0,且O为它们的中点，连接OP，OQ., : .只要能证明向量op=-OQ就可以说明P，0，Q三点共线且0c为PQ的中点，事实上，OP = OG + GP,OQ = OH + HQ，而0为GH的中点，例4图 OG + OH = 0, GP，: CD,QH 1 CD, GP = CD, QH = CD. 22 = OP + OQ = OG + OH + GP + HQ = 0 + CD - CD =0.22.OP = -OQ =,

9、 .PQ经过。点，且0为PQ的中点.【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点0,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,I8 I!然后证明OP,OQ两向量共线，从而说明P、0、Q三点共线进而说明PQ直线过0点.例5.如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点.求证：平面EFG平面AB1C.uuuuuuuuu,=b, AA uuuu E -ED DG 1 i + iuur证明：设AB =auuumuuu则=2(a+b),i =c, uuruuaAC =a+b=2EGuuu uuu. EG AC ,uuuu uuuuuuu ED DF L 1

10、y、EF = i + i =2b_2c=2(b_c),uuuu uuuuu uuuD/nr n /nr 厂厂uuuuuuBiC = BC + CiC =bc=2EF , . EFUUMBC i又LEG与EF相交，AC与B1C相交,平面EFG平面ABIC.例6.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两夹角为60 .求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值.UUU UUU解：设AB =a, AD =b,=c,uuuu uur uuuu uuuuuu uuur(1) AC1 = AC + CC1 = AB + AD +uuuu I AC1 |2=(a+b

11、+ c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2a - b+2b= 3+6X1 X1 X% = 6,则两两夹角为60uuurAA “工i =a+b+c.，且模均为1.c+2a - cuuuuAC l.| i |=%6,即 AC1 的长为6.uuur uur uuur uuruuiruuur(2)BDi = BD + DDi =- AB + AAi =b-a+c.uuuu uuu i - AC =(ba+c) - (a+b)=a - ba2+a - c+b2a - b+b - c=1.uuuuuurnn |i =(ba+c)2=,：2 |AC |=Y(a+b)2=*0,uuuuu cos BDi ,

12、uuuAC=UUM UUU BDgAC uuuu uuu BD gAC标BD1与AC夹角的余弦值为Y6.14.已知线段AB在平面a内，线段ACa，线段BDAB,且与a所成的角是30,如果AB=a, AC =BD=b，求C、D之间的距离.如图，由 ACa，知 ACXAB.b b过D作 DDa, D 为垂足，则 ZDBDz=30,宓,BD ) =12 0,*1-1-1-h.|CD|2= CD CD = (CA + AB + CD)2 2 2| I。 _ CA + AB + |bd|2 + 2CA AB + 2CA BD + 2AB BD =b2+a2+b2+2b2cos120=a2+b2.CD=匕

13、2 + b15 如图所示，已知 rABCD,。是平面 AC 外的一点点，OA1 = 2OA, OB1 = 2OB, OC1 = 2OC, OD1 = 2OD，求证:ArB/CjD】四点共面.证明：. A1C1 = OC1 OA1 = 2OC 2OA = 2(OC OA) = 2 AC = 2( AB + AD) =2 (OB OA) + (OD OAL (2OB 2OA) + (2OD 2OA)=(OB1 OA1) + (OD1 OA1) = Ax B1 + A1DyA1,B1,C1,D1四点共面.16 :如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且ZC CB=ZC1

14、CD=ZBCD=60 . 证明：C1CBD；uuuKuuor uuuu解：分别以CD,CB,CC的单位向量e ,e ,e为空间的基底e ,e ,e 1123123uu依题设中的条件，可知CD = mejuumr=me ,CC = ne=60 , =60 , =60 ,121323uuu uuu uur(1) Q BD = BC + CD = me + me ,.bd - cct =(me + me ) - (ne )=mn(e - e e - e ) = mn(cos cos )=0Di的位置，使得z D1AB=60,设AC与BE的交点为O. uuruua uutuuu试用基向量AB , AE

15、 , Ai表示向量0Di ；求异面直线OD1与AE所成角的余弦值；判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由.解：(1). ABII CE, AB = CE=2,四边形ABCE是平行四边形，a O为BE的中点.uuruur 心心 ODi=- AO = ADi -1(AB + AE)= ADi _1 AB _1 AE(2)设异面直线OD1与AE所成的角为0,uuu uuruuu则 cos0=|cos ODi, uuu uuu uuu ODAE =( ADuurAE| = .uur 1 AB- 1 2OD - AE -fr uuur OD - AE,.uuu uuu uuu uuu . u

16、uu uuu . uuu2 AE ) AE = AD1. AE _! AB . AE _1| AE |2= 1，2xC0S45-7；x2.,2xC0S45-2xh，2)2=-1, uuu i uuu i uuuruuu| OD11=J( AD1 - 2 AB - 2 AE )2a cos0=uuu uuuOODx |-|AE尊 故异面直线OD1与AE所成角的余弦值为W333(3)平面D1AE1平面ABCE.证明如下：uuuu uur=AM - AD1uuuur取AE的中点|1，则DiM_ uua uua=2 AE - ADruuuur. dm uae1=,uuu uuu . uuu-AD1 )

17、 AE =2| AE |2-CAuur uuaAL. AE=%x( 2)2 - 1x J 2xcos45= 0.uuuurA D1M L ae .a D1MLAE. uuu . uuu uuu uuu . uuu uuu uuu uuuD1M . AB =(! AE AD1). AB =1 AE . AB AD,. ABDM uur=22x2xcos45-1x2xcos60=0,DiM -L AB , a D1MAB.又 AEAAB=A, AE、AB 平面 ABCE, a D1ML平面 ABCE.平面 D1AE1 平面 ABCE.在四面体、平行六面体等图形中，当不易找到（或作出）从一点出发的三

18、条两两垂直的直线建立直 坐标系时,可采用“基底建模法”选定从一点发的不共面的三个向量作为基底并用它们表示出指定 的向量,再利用向量的运算证明平行和垂直,求解角和距离。“基底建模法”可作为空间直角坐标系 的一个补充（尤其是在传统几何法难作辅助线，向量坐标法又难以建系时），掌握该方法可有效地提 高利用空间向量解决立体几何问题的能力。对应训练分阶提升一、基础夯实1.在下列条件中，使M与A、B、C 一定共面的是（C ）A. OM = 2OA - OB - OCB. OM = OA +10B + OC532C. MA + MB + MC = 0D. OM + OA + OB + OC = 02若向量a,

19、 b, c是空间的一个基底，向量m=a+b, n=a-b，那么可以与m、n构成空间另 个基底的向量是（C ）A. aB. bC. cD.2auuur uuur .2 HG = HG3 .如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为1 uur uuir uun的结果为uuuuuur()A. BFB. EHuuurumrC. HGD. FGAB、BC、CD、AC的中点，则如AB + BC + CD）化简uun uunr uuu uur uuuuur解析：2( ab+bc+cd) =2( ac+cd)=2 ad =2答案：C4.如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1

20、 中，uur UUUn若AB =a, i i =b,uuuur量中与BiM相等的向量是M是AC与BD的交点, uuutr AA 一1 1 =c,则下列向A.2a+1b+cB.1a+2b+c八11 C/ab+cuuuri + BM =c+11 一D.2a2b+c解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则, uuuur uuuu BM BBiurn uur 11=cAD AB ) = a+b+c.答案：Auuu AUUr uuu uuu5.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE =1 +xAB +yAD ,则x、y的值分别为A. x=1, y=1B.x=1,1y=2

21、1 y=2uuu解析:如图，AE =C.1x=2,uuuAAiD.uuur+ AiE1x=2，uuurAA , 11 +2y=1uuuurACi iuuuAAiuuu uuuAB + AD)答案：C题组二空间中的共线、共面问题4.A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17)这四个点是否共面(共面或不共面). uuuuuu解析：AB =(3,4,5), AC =(1,2,2),uuauuuuuuuurA =(9,14,16),设AD =xAB +yAC .即(9,14,16) = (3x+y,4x+2y,5x+2y),x=2,c 从而A、B、C、D四点共面.

22、y=3,答案：共面题组三空间向量数量积及应用uur uurA. 2BA . BC uuu uurC. 2FG - CAuur uu解析：AD , BD=n6.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于( uur uuuB. 2AD - BDuuu uurD. 2EF . CBuuu uuu.2AD - BD =2a2Xcosy=a2.答案：B7.二面角alB为60, A、B是棱l上的两点，AC、BD 分别在半平面 a、Bl, ACl, BDl, 且 AB =AC=a, BD=2a，则 CD 的长为（）A. 2aB.;5aC. a D

23、；3auuu uuruuu uuu uuu uur. AC , BD=60，且AC BA =0, AB BD =0,uun uur uun uunt 皿 黑嗯尝私. CD = CA + AB + BD ,二|CD |=/(CA + AB + BD)2= .Ja2+a2+(2a)2+2a 2acos120=2a.答案：A8.如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1底面 ABC, AB = BC=AA1,ZABC=90。，点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是A. 45B.60C. 90D.120答案：Buim1已知：雄5一心-1）（质+22-,）,当AAB最

24、取最小值时，x的值等于（。8819 A.19B. 7C. 7D. 14uuu则AE可表uuu r uuu r uuu r2.正四棱维P-ABCD中，O为底面中心，设AB -l,BC - j OP 一 为PC的中点，d.3r r r4 i+j+k示为3 r 3 r 3 r 3 r 3 r 1 r 1 r 3 r 1 r -1+- +-k -1 + +-k 1+ +k A. 4 4 4 b. 4 4 2 c. 4 4 2r rr r3.已知向量a = (X,声)力=(32Z)，且a / b，则+ 土勺值是A. 6B. 5C. 4D. 3rrr r r r4.已知向量a=(01-1)b=(102)，

25、若向量ka+b与向量a-b互相垂直，则k的值是a.B.2c.d.5.下面命题正确的个数是（B ）若p=2并3七则p与x、顼面;uuu uur uuu若Mp= 2MA+ 3MB，则 M、p、a、b 共面；uur uur uur iur r若 OA+ OB+ OC+ OD= 0，则 a、b、c、d 共面;6.uur 1 uur 5 uur 1 muOP = OA- OB-OC若 263 ，则P、A、B、C共面;A.1B. 2r r r已知点A在基底a,“下的坐标为（8,6，C.3D.4r r r r r r r r r、a = i + j,b = j+k, c = k+i4),其中，则点A在基r r r底i, j,k下的坐标是A. (12, 14, 10) B. (10, 12, 14) C. (14, uiru uu 6 uuu OC = OA-OBA(1,0,0)B(0,1 -1)6已知点，向重，12, 10) D. (4, 3, 2)uuu uuru则向量8的OC夹角是