新高考数学模拟卷分类汇编三期专题13《平面解析几何》解答题(解析版)

1、专题13 平面解析几何解答题1（2021湖南湘潭高三一模）已知圆锥曲线上的点的坐标满足（1）说明是什么图形，并写出其标准方程；（2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，点为求直线在轴上的截距的取值范围；求证：的平分线总垂直于轴【答案】（1）是以，为焦点，长轴长为的椭圆，标准方程为；（2）；证明见解析【解析】（1）圆锥曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆，其标准方程为；（2）设直线：，由，消去，得，由题意，有，解得，所以直线在轴上的截距的取值范围为；因为点在椭圆上，若直线过点，即点（或点）与重合，则与的另一个交点为，不合题意，所以点（或点）与不重合；若或的斜率不存在，则直线过点，此时，与只有一个

2、交点，所以与的斜率都存在，设直线的斜率为，直线的斜率为，因为，在轴的右侧，结合图象，可知，要证的平分线总垂直于轴，只要证，因为，也即证：，而成立，故的平分线总垂直于轴2（2021湖南师大附中高三月考）在平面直角坐标系中，已知，动点到直线的距离等于.动点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知，过点的动直线与曲线交于，两点，记和的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为3.【解析】（1）设点，当时，到直线的距离显然小于，故不满足题意；故（），即，整理得，即，故曲线的方程为；（2）由题意可知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为，联立，整理得，显然成立，所以，所以，故，设，则，

3、则，因为，所以（当且仅当时，等号成立）.故，即的最大值为3.3（2021江苏省如皋中学高三月考）己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.（1）求抛物线的标准方程；（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由可化为，则.当A的横坐标为1时，抛物线C在A处的切线斜率为，即，抛物线C的标准方程为.（2）由（1）知：点T坐标为(0,2)，由题意知，直线和斜率都存在且均不为0，设直线为，由，联立消去y并整理得，设，则，又M为AB中点，则，N为EF中点，则

4、直线为，联立抛物线可得，则，直线MN为，整理得，直线MN恒过定点(0,4).4（2021江苏南京市中华中学高三月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(-4，0)，连接PM交椭圆C于另一点E.求证：直线NE过定点B，并求出点B的坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点B(-1，0).【解析】(1)设椭圆C的标准方程为：(ab0)，焦距为2c，由题意得，a=2，由=，可得c=1，则b2=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程

5、为；(2)证明：根据对称性，直线NE过的定点B一定在x轴上，由题意可知，直线PM的斜率存在，设直线PM的方程为:y=k(x+4)，联立，消去y得到，设点M(x1，y1)，E(x2，y2)，则N(x1，-y1)，所以x1+x2=，x1x2=，所以NE的方程为y-y2=(x-x2)，令y=0，得，将，代上式并整理，得，整理得，x=，所以直线NE与x轴相交于定点B(-1，0).5（2021广东广州高三月考）已知抛物线的焦点为点在上， （1）求;（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由【答案】(1) ；（2）是定值，.【解析】（1）因为点

6、在上，所以 ，因为，所以由焦半径公式得 ，由解得 所以. （2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为，当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，此时为等腰直角三角形且，故.当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.要证明，只需证明，只需证，即，设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程得，设，则，所以，联立方程得，所以，所以，所以，即，所以.综上，为定值，.6（2021广东广雅中学高三月考）已知椭圆上的点到右焦点的最大距离是，且成等的比数列.（1）求椭圆的方程；（2）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，过坐标原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线

7、，分别交椭圆C于A，B两点，若直线的斜率为，当，求此时“卫星圆”的标准方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由题意可得，解得：，所以椭圆的方程为：；（2）设椭圆C的“卫星圆”的圆心 ，则，圆的半径为，所以圆的方程为，设过坐标原点O作椭圆C的“卫星圆”的切线的方程为：，所以圆心到切线的距离，整理可得：，因为若直线的斜率为，所以，即，由可得，所以，可得，由韦达定理可得：，所以，整理可得：，即，解得：或（舍）所以，因为，所以或，所以“卫星圆”的标准方程为：或.7（2021广东茂名高三月考）已知椭圆：，过点的直线，与椭圆分别交于点，和，记直线斜率为直线的斜率为（1）若直线，关于直线对称，证明：

8、为定值；（2）已知点，当时，求面积的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）设与轴的交点为，由，则又，关于直线对称，则与轴的交点为，于是，为定值1（2）设直钱的方程为：，联立，得：，点到直线的距离，由，故当且仅当，即时，上式取等号时，面积的最大值为8（2021重庆西南大学附中高三月考）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上.椭圆具有以下光学性质：由椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个点.也即：焦点为，的椭圆上任意一点处的切线与直线和

9、直线所成的角相等.已知，.以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如下图的平面直角坐标系.（1）求截口所在椭圆的方程；（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点，若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为，.请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值为.【解析】（1）设所求椭圆方程为，则，由椭圆的性质：，所以，所以椭圆的方程为.（2）由椭圆的方程为，则.设椭圆上的点，则，又椭圆在点处的切线方程为，证明如下：对于椭圆，当，则，所以椭圆在处的切线方程为，又由，可以整理切线方程为：，即切线方程为，即，也即.所以椭圆在点处的切线方程

10、为，同理可证：当，椭圆在点处的切线方程为，综述：椭圆在点处的切线方程为，所以在点处的切线的斜率为，又由光学性质可知：直线，所以，则.所以，那么.9（2021重庆市育才中学高三月考）阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明

11、理由.【答案】（1）；（2）直线恒过定点.【解析】（1）椭圆的面积等于，椭圆的焦距为，椭圆方程为 （2）设直线，则，三点共线，得，直线与椭圆交于两点,，由，得，代入中，当，直线方程为，则重合，不符合题意；当时，直线,所以直线恒过定点.10（2021重庆南开中学高三月考）设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设F(c，0)，由，知过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又，从而，c1，所以椭圆的方程为

12、（2）设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1，0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260求解可得x1x2，x1x2因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k2由已知得，解得k11（2021湖北襄阳四中高三月考）在平面直角坐标系中，曲线的方程.（1）若，直线过点被曲线截得的弦长为2，求直线的方程；（2）若，过坐标原点斜率的直线交于、两点，且点位于第一象限，点在轴上的投影为，延长交于点，求的

13、值.【答案】（1）或；（2）0.【解析】（1）当时，曲线的方程为，这是以原点为圆心，为半径的圆，直线过点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程得，直线被圆所截得弦长为2，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，即，由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，解得，所以直线的方程为：；综上，所求直线方程为或.（2）设，则，则直线：.代入曲线的方程并整理得：，的横坐标，是这个方程的两实数根，由于，.12（2021江苏南京市二十九中高三月考）已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，

14、直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证线段必过定点，并求定点的坐标.点为坐标原点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析，定点；.【解析】（1）由题可知：，所以，故椭圆的标准方程为；（2）由题意知，由对称性知，必在轴上，设直线方程：，设，联立方程得，得，所以，所以，又，所以直线方程为：，令，则，所以直线过定点.由中，所以，又易知，所以，令，则，又因为在单调递减，所以，.13（2021福建福州三中高三月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点，直线的倾斜角为60，原点到直线的距离是（1）求的方程；（2）过上任一点作直线，分别交于，（异于的两点），且，

15、探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）是定值，定值为6【解析】（1）由题意，点，直线的倾斜角为60，所以，在中，求得点到直线的距离是，又由原点到直线的距离是，则，所以，故的标准方程为.（2）当点为椭圆右顶点时，所以；当点为椭圆左顶点时，同理可得；当点不为椭圆顶点，即直线，的斜率均不为零时，设直线的方程是，直线的方程是，分别代入椭圆方程，可得和，设，则，由，可得，则，由直线的方程，可得，所以，由，同理可得，所以为定值综上所述，为定值614（2021辽宁抚顺市二中高三月考）抛物线：在第一象限上一点，过作抛物线的切线交轴于点，过作的垂线交抛物线于，（在第四象限）两点

16、，交于点（1）求证：过定点；（2）若，求的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，所以切线的方程为，令，解得.，所以直线的方程为，所以直线过定点.（2）由（1）得直线的方程为，由消去得，由于在第四象限，所以由求根公式得.依题意，即，解得.原点到直线的距离为，到直线的距离为，所以，令，则，.对函数，在上递增.所以当，即时，取得最小值为.也即的最小值为.15（2021广东珠海高三月考）已知双曲线的一个焦点为，且经过点（1）求双曲线C的标准力程；（2）己知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值【答案】（1）；（2），或者，【解析】（1）由题意且联立解得，所以双曲线C的标准方程为（2）设，过点的动直线为：设，联立得，-所以，由且，解得且，即，即，化简得，所以，化简得，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以如果，那么，此时不在双曲线