分析力学试题与标答

1、武汉理工大学考试试题纸A卷）课程名称分析力学专业班级工力0901、02、1001、02、03题号-一一-二二三四五六七八九十总分题分102030151015100备注:学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）、试推导质点系理想约束情况下的动力学普遍方程，并写出解析表达式。（10分）x二、已知均质杆AB和AB杆重为P和P，不计112212各处摩擦，试用虚位移原理求平衡时aB角应满足的关系。（20分）三、均质圆柱体半径R,质量为M,沿直线轨道做无滑动滚动，在圆心用铰链连接一长为l的刚性杆OA，不计杆的质量，杆的A端有一质量为m的小球,构成一单摆。试用拉格朗日方程求系统的运动微分方程，并写

2、出其初积分。（30分）四、具有水平轨道的管子可绕铅直轴转动，质量为m的小球无摩擦地沿管子滑动。管子的转动惯量为J=mR2，作用在小球上的力具有势函数V（r）。试用哈密顿正则方程建立系统的运动微分方程。（15分）五、质量为m的物体放在光滑水平面上，刚性系数为k的弹簧水平放置，一端与物块相连，另一端固结在竖直墙面上，试由哈密顿原理求物体的振动微分方程。（10分）hA六、图示均质杆OA长l=3m，质量为m=2kg；O为铰链，A端连一弹簧，刚度系数为k=4N/m。弹簧原长为l0=1.2m，h=3.6m。试用势力场质点系的平衡条件求平衡时的角度3,并讨论平衡的稳定性。（15分）tanP（2分）21、2、

3、武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称分析力学（A卷）解：质系n个质点，第i个质点质量m：,主动力合力耳，约束反力FNi，由达朗伯原理F+F+F=0iNigi给质点系一虚位移，第i质点的虚位移为5r，i由虚位移原理（F+F+F）-5r=0iNigii对上式求和工（F+F+F）-5r=0iNigii理想约束情况下工F-5r=0Nii于是有工（F+F）-5r二0或工（Fma）-5r二oigiiiiii解析表达式为Y（X-mx）-5x+（Y一my）-5y+（Z一mz）-5z=iiiiiiiiiiii解：以系统为研究对象，单自由度，以a为广义坐标。y=lsinay=lsinPC2C222

4、5y=11cosa5aC1215y=lcosP5PC222由虚位移原理一P5y一P5y=01C12C2-Plcosa5a-PLeosP5P=01222而lcosa+1cosP=L2两边求变分一lsina5alsinP5P=0即2lsina5卩=一才5asinP2(-Plcosa+Pl2cosPd122222sinP问二02V5a丰0lllsinaPcosa+P-2cosP=0222lsinP2惯性力Fgi=-mai（3分）（3分）（2分）（1分）0（1分）（4分）（4分）（2分）（4分）（2分）（2分）Ptana二牙4分）r3、解：系统有两个自由度，以x、（p为广义坐标x=x+1sin申y=_

5、lcos申AAx=x+19cos9AT=1Mx2+1J22yF=19Fsin9A()2+1m(x2+12(p2+21x9cos9)Or2以x轴为零势能位置，V=-mg1cos931L=T-V=Mx2+m(x2+12(p2+2ix(pcos9)+mglcos942QL3=(M+m)x+m19cos94、-QL=ml29+mixcos9Q9QL=-m1x9sin9-mglsin9Q9dQLQL带入拉格朗日方程丁)-=0有dtQqQqkk3(2M+m)x+m19cos9一mlcp2sin9=01(j)+xcos9+gsin9=0定常约束，保守系统，有能量积分31T+V=Mx2+m(x2+12(p2+

6、21x9cos9)-mglcos9=E42x为可遗坐标，有循环积分3(2M+m)x+m19cos9=C解：系统有两个自由度，以管子转角p、r为广义坐标T=1J92+2m(r2+r292)=imr2+1m(R2+r2)92p=m(R2+r2)99Q99-=P9m(R2+r2)4分）（2分）（2分）（2分）（4分）（2分）（2分）（2分）（5分）（5分）（2分）（3分）（4分）QTp=m厂rQFH=T-T+V=1mr2+20211m(R2+r2)92+V(r)=(p2+22mrp29r2+R2)+V(r)2分）由哈密顿正则方程有QHp9=9Qpm(r2+R2)9QHQ9QHQppmp=rrp29Q

7、rm(r2+R2)2drQHdV0，稳定位置。分）5、解：单自由系统，以弹簧伸长为广义坐标，原长为零势能位置L=T一V=mx2一kx222则哈密顿作用量为S=J12Ldtt由哈密顿原理，8S=0訂12Ldt=ft28Ldt=ft2mx8xdt-f12kx8xdt=0t式中t2J12x8xdt=x8xti=8则=0,12J2Ji-JJ2x8xdtJi2分）（2分）（2分）2分）（i分）ti故JJ2x8xdt=-JJ2x8xdtJttitiJJ2(mx+kx)8xdt=0ti其中8x是独立的任意变量,mx+kx=0代回原式，有系统的微分方程为i分）6、解：单自由度，。为广义坐标。设B处为重力零势能点，弹簧原长为弹性势能零势能位置。AB=12+h2-2hlcos0V=mglcos0+k(AB-1)2220dVd0=sin0令空=0d0sin0=0,cos0=-mgl+khl(1-hllkhlk-mgl25丿=c2hl（2分）2分）（3分）因而有三个平衡位置0i=O02=兀，03=arcco