信号与系统第三章离散系统的时域分析

1、 第三章 离散系统的时域分析信号与系统第三章离散系统的时域分析3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程 与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。 设有序列 ，则称 为 的移位序列。 序列的差分可分为前向差分和后向差分。 一阶前向差分定义： 一阶后向差分定义： 前向差分和后向差分的关系：信号与系统第三章离散系统的时域分析本书主要采用的是后向差分，简称差分。差分运算具有线性性质。信号与系统第三章离散系统的时域分析二阶差分可定义为：类似可定义三阶、四阶、n阶差分。N阶差分式中信号与系统第三章离散系统的时域分析 序列 的求和运算为 差分方程是包含关于变量k的未知序

2、列 及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为： 式中差分的最高阶为n阶，称为n阶差分方程。 各阶差分均可写为 及其各移位序列的线性组合，故上式常写为：若各移位序列的系数为常数，则方程为常系数差分方程。信号与系统第三章离散系统的时域分析例：若描述某离散系统的差分方程为：已知初始条件 ，激励 ，求解：将差分方程中除 以外的各项都能移到等号右 端，得对于 ，将已知初始值 代入上式，得类似地，依次迭代得信号与系统第三章离散系统的时域分析二、差分方程的经典解 一般而言，如果单输入单输出的LTI系统的激励 ，其全响应为 ，那么，描述该系统激励 与响应 之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，它可以写为

3、：式中 都是常数上式可缩写为差分方程的解由齐次解和特解两部分组成：信号与系统第三章离散系统的时域分析 齐次解： 当差分方程中的激励及其各移位项均为零时，齐次方程的解为齐次解。 首先分析最简单的一阶差分方程。若一阶差分方程的齐次方程为 它可改写为： 信号与系统第三章离散系统的时域分析 之比等于-a表明，序列 是一个公比为-a的等比级数，因此 有如下形式： 对于n阶齐次方程，它的齐次解由形式为 的序列组合而成，将 代入到差分方程中，得： 由于 ，消去C，且 ，以 除上式，得 为差分方程的特征根。信号与系统第三章离散系统的时域分析特征根单实根一对共轭复根r重实根R重共轭复根齐次解y h (k)不同特

4、征根所对应的齐次解齐次解信号与系统第三章离散系统的时域分析特解信号与系统第三章离散系统的时域分析 全解 线性差分方程的全解是齐次解与特解之和，如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为 如果特征根1为r重根，而其余n-r个特征根为单根时，差分方程的全解为： 式中 由初始条件决定。信号与系统第三章离散系统的时域分析 如果激励信号是在k=0时接入的，差分方程的解适合于k0。对于n阶差分方程，用给定的n个初始条件 就可确定全部待定系数。如果差分方程的特解都是单根，可得：由以上方程可求得全部待定系数信号与系统第三章离散系统的时域分析例：若描述某系统的差分方程为已知初始条件 激励 求方程全解解：求齐次

5、解差分方程的特征方程为可解得特征根 为二重根，其齐次解求特解，根据激励函数的形式可知其特解：将 代入微分方程中得信号与系统第三章离散系统的时域分析微分方程的全解为将初始条件代入上式，有由上式得 。最后得方程的全解为信号与系统第三章离散系统的时域分析例：若描述某离散系统的差分方程为 已知初始条件 ；激励为有始的周期序列 ，求其全解。 解：首先求齐次解。差分方程的特征方程为 解得特征根 方程的齐次解信号与系统第三章离散系统的时域分析求特解根据激励函数形式设特解为其移位序列将特解及其移位序列代入微分方程中，得信号与系统第三章离散系统的时域分析解得 ，于是特解方程的全解将已知的初始条件代入上式，有由上

6、式解得 ，最后得全解信号与系统第三章离散系统的时域分析 一般而言，如果差分方程所有的特征根均满足 ，那么其自由响应将随着k的增大而逐渐衰减趋近于0。这样的系统称为稳定系统，这时的自由响应也称为瞬态响应。稳定系统在阶跃序列或有始周期序列作用下，其强迫响应也称为稳态响应。信号与系统第三章离散系统的时域分析 三、零输入响应 系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用 表示。在零输入条件下，微分方程等号右端为零，化为齐次方程。 一般设定激励是在k=0时接入系统的，在k0时，系统的单位序列响应与系统的零输入响应的函数形式相同。这样就把求单位序列响应的问题转化为求差分方程齐次解的问题

7、，而k=0处的值 可按零状态的条件由差分方程确定。信号与系统第三章离散系统的时域分析例：求如图所示离散系统的单位序列响应写差分方程根据单位序列响应 的定义，它应满足方程DD信号与系统第三章离散系统的时域分析求初始值由 求由于（2）求 对于k0， 满足方程 求齐次解其特征方法为其特征根 ，方程的齐次解为 信号与系统第三章离散系统的时域分析 将初始值代入，有 请注意，这时已将 代入，因而方程的解也满足k=0。有上式可解得 于是得系统的单位序列响应为：信号与系统第三章离散系统的时域分析例：如图离散系统，求其单位序列响应（1）列方程 由 得DD信号与系统第三章离散系统的时域分析根据单位序列响应的定义，

8、 应满足方程和初始状态（2）求 思路：将 和 看作是两个激励，分别求它们的单位序列响应，然后按线性性质求得系统的单位序列响应。信号与系统第三章离散系统的时域分析 阶跃响应 当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列时 时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用 表示。若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应。 类似地 有信号与系统第三章离散系统的时域分析例：求如图所示离散系统的单位阶响应（1）经典法 系统的差分方程为： 根据阶跃响应的含义， 满足方程DD信号与系统第三章离散系统的时域分析初始状态 上式可写为得：差分方程的特征根：方程的特解解为： 则系统阶

9、跃响应为将初始值 代入，得 ，则信号与系统第三章离散系统的时域分析（2）利用单位阶跃序列 已知系统的单位序列响应为： 系统的阶跃响应为：信号与系统第三章离散系统的时域分析常用的几何数列求和公式：1.2.3.信号与系统第三章离散系统的时域分析4.5.6.7.信号与系统第三章离散系统的时域分析 3.3 卷积和 本节讨论离散系统对任意输入的零状态响应一、卷积和 在LTI连续时间系统中，把激励信号分解为一系列冲激函数，求出各冲激函数单独作用于系统时的冲激响应，然后将这些响应相加就得到对于该激励信号的零状态响应。这个相加的过程表现为求卷积积分。信号与系统第三章离散系统的时域分析 将离散信号分解为单位序列

10、之和，利用系统的单位序列响应求激励信号作用于系统的零状态响应，这个过程表现为求卷积和。 任意离散时间序列 可表示为：信号与系统第三章离散系统的时域分析 如果LTI系统的单位序列响应为 ，那么，由线性系统的齐次性和时不变系统的移位不变性可知，系统对 的响应为 。则序列 作用于系统所引起的零状态响应 应为 信号与系统第三章离散系统的时域分析 卷积和也简称为卷积，通常用 表示，即 LTI系统对于任意激励的零状态响应是激励 与系统单位序列响应 的卷积和。 一般地，若有两个序列 ，其卷积和为信号与系统第三章离散系统的时域分析例：如 求解：由卷积的定义式，考虑到 得根据 的定义，故信号与系统第三章离散系统

11、的时域分析（2）由卷积和的定义故显然，上式中k0，故应写成：信号与系统第三章离散系统的时域分析二、卷积和的图示 在计算卷积和时，正确地选定参变量k的适用区域以及确定相应的求和上限和下限是十分关键的步骤，图示法也是求简单序列卷积和的有效方法。 用作图法计算序列卷积和的有效方法。信号与系统第三章离散系统的时域分析例：如有两个序列信号与系统第三章离散系统的时域分析 （1）将序列 的自变量换为i，序列 的图形如图所示。（2）将 反转后，得 ，如图所示。 信号与系统第三章离散系统的时域分析求卷积和的序列阵列表信号与系统第三章离散系统的时域分析列表法求解例信号与系统第三章离散系统的时域分析三、卷积的性质

12、离散信号卷积和的运算也服从某些代数运算规则。 交换律 分配律 结合律信号与系统第三章离散系统的时域分析 如果序列之一是单位序列，由于 仅当k为0时等于1，不为0时全为0，因而有： 即序列 与单位序列 的卷积和就是序列 本身 将上式推广， 与移位序列 的卷积和有交换律，有信号与系统第三章离散系统的时域分析 例：如图的复合系统由两个子系统级联组成，已知子系统的单位序列响应分别为 ，求复合系统的单位序列响应 。 信号与系统第三章离散系统的时域分析 解：根据单位序列响应的定义，复合系统的单位序列响应 是激励 时系统的零状态响应，即 令 ，则子系统1的零状态响应为： 当子系统2的输入为 时，子系统2的零

13、状态响应亦即复合系统的零状态响应为：信号与系统第三章离散系统的时域分析复合系统的单位序列响应为： 考虑到当 时， 时 以及在 区间 当 时 当 时 信号与系统第三章离散系统的时域分析显然上式仅在k0成立，故得：通常利用单位序列来简便求移位序列的卷积和。信号与系统第三章离散系统的时域分析例：如图所示的离散系统，求系统的全响应。已知初始状态 激励解：该系统的差分方程为：信号与系统第三章离散系统的时域分析（1）求零输入响应根据零输入响应的定义，它满足方程由初始状态 得初始条件：对应特征方程的特征根为 ，故有将初始条件代入得零输入响应为：信号与系统第三章离散系统的时域分析（2）求单位序列响应和零状态响应根据单位序列响应的定义，系统的单位序列响应 满足初始状态 如前例中求法得：系统的零状态响应等于激励 与单位序列响应 的卷积和，即信号与系统第三章离散系统的时域分析系统的全响应为：信号与系统第三章离散系统的时域分析 3.4 反卷积 在前面的讨论中，若给定系统的激励 和单位序列响应 ，则系统的零状态响应：