椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解

1、椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值方法.有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 从定解问题的変分形式出发，用Ritz-Galerkin 方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按特定方式选取.椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解差分法求解的主要步骤：(3) 差分方程的解法.(1) 对求解区域做网格剖分. 一维：将区间分成等距或不等距的小区间单元. 二维：将区域分割成一些均匀或不均匀的矩形，其边与坐标轴平行，或分割成一些三角形或一些凸四边形等.

2、(2) 构造逼近微分方程定解问题的差分格式：三种方法直接差分化法、积分插值法、有限体积法(或广义差分法).差分解的存在唯一性、差分性及稳定性的研究.椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解1 差分逼近的基本概念考虑二阶微分方程边值问题将其分成等分，分点为将方程 (1.1) 在节点其中 q，f 为 a , b 上的连续函数，为给定常数.处离散化.椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解由 Taylor 展开得其中于是在其中 舍去将方程 (1.1) 写成点取值.表示方括号内的函数在得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解称形成关于注 此方程组尽管是高阶方程组，

3、但每个方程未知数 对方程组 (1.4)(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：最多有3个易于求解.为差分方程 (1.3) 的截断误差.的线性代数方程组椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解(a) 解是否惟一？以定义在对(b) 当网格无限加密时，即时，差分解是否收敛到真解(c) 在何种度量下收敛？(d) 收敛速度如何？为了解决如上问题，需要给出如下说明：内点和界点表示网格内点的集合，表示网格集合.上的网函数.或上的函数称为上的网函数引进如下范数：椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解其中椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解定义1.1 设 U 是某一充分光滑的函数类，称差分算子断误差定义

4、的网格函数. 为相容条件.是由截恒有若对任何逼近微分算子 L ，并称 (1.6)注 当用阶也就不同.逼近 L 时，选择网函数的范数不同，逼近的 椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解定义 当 h 充分小时，若 (1.4) (1.5) 的解称如果存在与网格且按某一范数定义 对于差分方程数 M 和存在， 有 收敛到边值问题的解 u .无关的常数及右端使 称差分方程关于右端稳定.椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解相同的收敛阶.定理1.1 若边值问题的解 u 充分光滑，差分方程按满足相容条件，且关于右端稳定，则差分解收敛到边值问题的解 u ，且有与按椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解2

5、两点边值问题的差分格式考虑两点边值问题其中是给定的常数.椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解于是，得到 I 的一个网格剖分.Ih表示网格内点,(不包含x0,xN) 直接差分法(1) 取 N+1 个节点将 I =a, b 分成 N 个小区间:椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解(2) 对 I = a, b 进行对偶剖分取称为半整数点，则的中点 构成 I 的一个对偶剖分.椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解(3) 将方程 (2.1) 在内点(2.3)(2.4)处离散化.椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解(2.5)将 (2.5) 减 (2.4) 再除以得椭圆形方程的有限差分法计算和

6、典型例题讲解于是得逼近方程 (2.1)(2.2) 的差分方程：椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解误差为 积分插值法在 a, b 内任一小区间考虑守恒型微分方程上积分得：椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解其中令取则或椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解于是又沿积分，得椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解得守恒型差分方程：其中(2.6)椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解 边值条件的处理考虑第二、第三边值条件(2.7) (2.8)由于不妨设(2.9) (2.10)取得椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解而故椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解于是逼近边值条件 (2.

7、9)(2.10) 的差分方程为：(2.11)可以证明：当网格均匀且系数光滑时，差分方程(2.6)逼近微分方程的阶为边界差分方程(2.11)逼近 (2.9) (2.11) 的阶为作业椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解3 二维椭圆边值问题的差分格式(3.1)G 的边界 T 为分段光滑曲线. (第一边值条件) (3.2)(第二边值条件) (3.3)(第三边值条件) (3.4)考虑 Poisson 方程在 T 上 u 满足下列边值条件之一：椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解3.1 五点差分格式（差分法）作两族与坐标轴平行的直线:两族直线的交点取定沿 x 轴和 y 轴方向的步长令为网点或节点

8、，记为椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解yxo椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解若或与T 交点(也称界点)的集合；内点；否则称为非正则内点则称是相邻节点.令表示所有属于G 内部的节点(也称内点)的集合；表示网线或用代替区域若内点的四个相邻点都属于称其为正则椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解yxo相邻节点内点 *、o 界点 正则内点 o 非正则内点 *椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解(3.5)利用Taylor展式可知差分方程 (3.5) 称为五点差分格式设 为正则内点，沿 x, y 方向分别用二阶中心差商代替 则有椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解因为上述差分方程

9、中只出现网格函数u在 (i, j)点及其上、下、左、右四个邻点上的值，故称之为五点差分格式。椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解若取正方形网格，即则差分方程 (3.5)简化为若(3.6)( Laplace方程 ) , 则椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解一般二阶线性微分方程椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解边界条件的处理第一类边界条件 ，只需将 直接带入在内点列出的差分方程。矩形域上边界条件的处理椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解1.用内点与边界点单侧逼近法向导数第二、三类边界条件则需在这些边界点上单独列出差分方程。2.矩形外围一个步长处各增设一排虚拟网点椭圆形方程的有限

10、差分法计算和典型例题讲解非矩形域上边界条件的处理边界网格点不一定在网线的交点上，非正则内点与其相邻边界网点的距离不一定等于h边界的法线方向不一定是水平方向或者垂直方向，变化很大，建立第二类或者第三类边界条件时很难逼近椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解（2）线性插值法136452h1以第一边值条件 为例（1）直接转移法对（xi, yk） ，用边界上距离这点最近的点的值作为该点的值。：非正则内点集合 h ：边界点集合 椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解（3）列不等距差分方程f1为f在1点的值。 136452h1其截断误差阶为O(h)其截断误差阶为O(1)如上处理边值条件缺点是破坏了对称

11、正定性，而这一性质是五点差分格式所固有的为了保持对称正定性，可用下式代替椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解3.2 边值条件的处理1 讨论第一边值条件：当时，取当 是非正则内点，如同正则内点，建立不等距的差分格式，如在节点 0 处有其截断误差阶为?椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解如上处理边值条件缺点是破坏了对称正定性，而这一性质是五点差分格式所固有的为了保持对称正定性，可用下式代替此时，其截断误差阶为(3.7)?椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解五点差分格式（积分插值法）ABCD3.3.1 内点椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解ABCD椭圆形方程的有限差分法计算和典型例

12、题讲解椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解仅讨论一种特殊情况，假设 中的节点是两族网线的交点p0(i,j)是边界网点，p1(i+1,j)、p2(i,j-1)是与之相邻的内点，在ABC上对 (3. 8) 积分，利用Green公式得边界 讨论第二、三边值条件 (3.8)而TBAC椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解于是 (3.9) 就是逼近 (3.8) 的差分方程.(3.9)于是有椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解考虑 Poisson 方程作业边界点用增设虚拟网点来近似法向导数，试构造5点差分格式椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解实例边界点用增设虚拟网点来近似法向导数，试构造5

13、点差分格式，并用对称矩阵与向量表示。椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解实例试构造5点差分格式，并用对称矩阵与向量表示。椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解 三角网差分格式(3.1)G 的边界 T 为分段光滑曲线. (第一边值条件) (3.2)(第二边值条件) (3.3)(第三边值条件) (3.4)仍然考虑 Poisson 方程在 T 上 u 满足下列边值条件之一：椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解三角剖分：1）在边界上取一系列的点，以其为顶点连成闭折线2）将闭折线所围区域分割成有限个三角形之和，满足：任意一个三角形的顶点与其它三角形或者不相交，或者仅仅与其他三角形的顶点相交；三

14、角形的每个内角不大于。椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解引入如下术语：节点三角形的顶点；单元每个三角形；相邻节点同一条边上的两个节点互为相邻节点；相邻单元有一公共边的两个三角形互为相邻单元；对偶单元对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。对偶剖分全体对偶单元构成区域G的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解 椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解 椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解4 极值定理 敛速估计Poisson 方程一般二阶线性椭圆型微分方程椭

15、圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解记U=(u1,1,u2,1,.uN-1,1,u1,2,u2,2,.uN-1,2,.u1,N-1,u2,N-1,.uN-1,N-1)上述方程组可以表示为 AU=F，A具有下列性质1）每行最多5个数非零，稀疏矩阵2）对角元是正的，非对角元是非正的，且满足记椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解定理4.1 设（负的极小），除非是上任一网函数，若对任意则不可能在内点取正的极大证明 用反证法， 设中某点达到正的极大值 M .由于联通，必有某一内点使且至少有一个相邻网点，比如使于是有矛盾注本定理说明在定理中所给条件下，若有正的极大（负的极小），则一定在边界上取得椭圆

16、形方程的有限差分法计算和典型例题讲解推论 差分方程有唯一解证明：差分方程组可以表示为 AU=F，要证明差分方程有唯一解，只需证明AU=F有唯一解，即证明相应的齐次方程只有平凡解（唯一零解），与齐次方程对应的差分方程满足：边值和右端都恒为零（齐次问题）。 uij不可能在内点取正的极大或者负的极小，也就是说，正的极大或者负的极小只能在边界处取得，但边界处uij=0，所以uij0椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解推论4.2 若网函数满足则证明： 所以uij不可能在内点取负的极小，也就是说，负的极小只能在边界处取得，所以uij0椭圆形方程的有限差分法计算和典型例题讲解证明由条件可知定理4.2 设是两个网函数，满足则由推论4.2 知，结论成立返回椭圆形方程的有限差分法计算和典型