[初二数学]图形分析

1、(一) 形如 图形分析基本图形：如右图，在 RtBAC ABD 绕点 A 旋转 90到 ACE 。结论： ABD ACE； ADE 是等腰直角三角形； S A BC S四边形 A DCE中， BAC 90， AB=AC ，点 D 在直线 BC 上，AEB D C1. （2011 山东烟台， 17,4 分）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起， O 1、 O2 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .O2O 11.解： 【答案】 2O 1O2O32. 如图，在正方形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点， 过点 0 作射线 OM 、ON 分别交 AB 、 BC 于点 E 、

2、F，且 EOF=900,BO 、 EF 交于点 P则下列结论中： (1)图形中全等的三角形只有两对； (2) 正方形 ABCD的面积等于四边形 OEBF 面积的 4 倍； (3)BE+BF= 2 0A；(4)AE 2+CF2=20P OB ，正确的结论有 (C) 个1FFA 1 B 2 C 3 D 42.解： C3. （8 分）如图，在等腰三角形 ABC 中， ABC 90，作 DE DF ，交 AB 于 E，交 BC 于 F若 AE 4， FC 3，求AD 为 AC 边上中点，过 D 点EF 长DEB C3.解： 连 BD ，则 ADB= CDB=90， EDF=90，EDB+ BDF= B

3、DF CDF=90， EDB= CDF (4 分）又 EBD= DCF=45， BD=AC=CD. EBD FCD (6 分）EB=FC=3 ，又 AE+BE=BF FCAE=BF=4在 RtEBF 中 EF=5(8 分）ADEB C4. （本题满分 10 分） （1）如图，在正方形 ABCD 中， AEF 的顶点 E， F 分别在BC， CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求 EAF 的度数（2）如图，在 RtABD 中， BAD 90 ， AB AD ，点 M， N 是 BD 边上的任意两点，且 MAN 45 ，将 ABM 绕点 A 逆时针旋转 90 至 ADH 位置，连接 NH ，

4、试判断 MN， ND， DH 之间的数量关系，并说明理由（3）在图中， 连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，若 EG求 AG， MN 的长 （3）初二学生不能写4， GF 6， BM 3 2，A2B D1NDNFEC （图）4.解： （1）在 RtABE 和 RtAGE 中， ABE AGE BAE GAE 1 分同理， GAF DAF EAF BAD 45 2 分2（2） MN 2 ND 2 DH 2 3 分 BAM DAH， BAM DAN HAN DAH DAN 45 HAN MAN 又 AM AH， AN AN ， AMN AHN MN HN 5 分 BAD 90 ， AB

5、AD， ABD ADB 45 HDN HDA ADB 90 NH 2 2 DH 2AB AG， AE AE，45 ，AMBGD MN 2 ND 2 DH 2 6 分（3）由（ 1）知， BE EG， DF FG 设 AG x ，则 CE x 4， CF x 6 CE 2 CF 2 ( x 4)2 ( x 解这个方程，得2 22EF ，6) 10 x1 12， x2 AG 12 8 分 BD AB2 AD 2 2AG 22 （舍去负根） 12 2 在（ 2）中，2MN2ND2DH ， MN 2 ND 2 BM 2 设 MN a ，则 a 2 (12 a 5 2 即 MN 59 分2 3 22 1

6、0 分BM DH ，a) 2 (3 2 )2 (二) 形如 图形分析基本图形如图，请你观察并熟悉图形的变化，从中找出三角形全等、线段（角）之间的相等及和差倍分关系，以这些为基础，你就能很快回答题所提出的问题。在下列图形中，正方形还可变为平行四边形、矩形、菱形或等腰梯形进行研究。3FA ADFDADFE B C B EAD AC E B CD ADE B C EF5. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为B CF E B3， E 为 CD 边上一点，FCDE 1 以点 A 为中心，把 ADE 顺时针旋转 90 ，得 ABE ，连接 EE ，则 EE 的长等于 _ADEE B C第（）题6. 如图

7、， E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上的点， BE=CF ，连接 AE 、 BF，将ABE 绕正方形的中心按逆时针方向转到 BCF，旋转角为 a（0 a 180） ，则a=_ A DFB CE(第 14 题)5.解： 906.解： 2 57. （本题满分 12 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点， Q 为边CD 上一动点，设 DQ t（0t2），线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD 、 BC 于点 M 、 N， 过 Q 作 QEAB 于点 E，过 M 作 MF BC 于点 F当 t 1 时，求证： PEQ NFM；D Q CN4M

8、 F8. （9 分）如图，在正方形 ABCD 中， E 是 CD 上一点，点 F 在 CB 的延长线上，且DE BF .（ 1）求证： ADE ABF ；（2）问：将 ADE 顺时针旋转多少度后与ABF 重合，旋转中心是什么？AB.FBB（第B 21 题图）DBEBCB9. （2011 山东烟台， 24,10 分） 已知： 如图， 在四边形AD 2 CD 22AB2（ 1）求证： AB BC；（2）当 BEAD 于 E 时，试证明： BEAE CDABCD 中， ABC 90， CD AD，B7.解： 四边形 ABCD 是正方形 A B D 90， AD AB QEAB， MF BC AEQ

9、MFB 90四边形 ABFM 、 AEQD 都是矩形 MF AB， QE AD， MF QE 又 PQ MN EQP FMN又 QEP MFN 90 PEQ NFM8.解： （1）证明：在正方形 ABCD 中，D ABC 90， AD AB， （1 分）ABF 90， D ABF ，（3 分）又 DE BF ， （4 分）ADE ABF ；（5 分）（2）将 ADE 顺时针旋转 90 度后与 ABF旋转中心是 A 点9.解： （1）证明：连接 AC， ABC 90，AB2 BC2 AC2 .DMAA EQE P（第 27 题）CDCNFB重合， （7 分）A DEF B C5F25 题） CD

10、E21 CD AD ， AD 2CD 2AC2 .AD2 CD2 2AB2， AB2 BC 22AB2，AB BC .（ 2）证明：过 C 作 CFBE 于 F . BEAD ，四边形 CDEF 是矩形 . CD EF . ABE BAE 90， ABE CBF 90， BAE CBF ， BAE CBF .AE BF . BE BF EF AE CD .10. （10 分）探究问题： 方法感悟：如图，在正方形 ABCD 中，点 E， F 分别为 DC， BC 边上的点，且满足 EAF=45，连 接 EF，求证 DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90

11、得到ABG ，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2， ABG= D=90, ABG+ ABF=90+90=180，因此，点 G， B， F 在同一条直线上 EAF=45 2+3=BAD- EAF=90 -45 =45 1=2， 1+3=45即 GAF= _又 AG=AE ， AF=AF GAF _ _=EF ，故 DE+BF=EF 方法迁移：如图，将 Rt ABC 沿斜边翻折得到 ADC ，点A31GB（第E， F 分别为 DC， BC 边上的点，且EAF= 1 DAB 试猜想 DE， BF， EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想2A DEBF（第 25

12、题） 问题拓展：如图， 在四边形CABCD 中， AB=AD ，E，F 分别为 DC,BC 上的点， 满足 EAF试猜想当 B 与 D 满足什么关系时， 可使得 DE+BF=EF 请直接写出你的猜想理由）DAB,2（不必说明611ADEBCF（第 25 题） 10.解： EAF、 EAF 、 GF DE+BF=EF ，理由如下：假设 BAD 的度数为 m ，将 ADE 绕点 A 顺时针旋转 m 得到ABG ，此时 AB 与 AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1= 2， ABG= D=90, ABG+ ABF=90+90=18 0，因此，点 G， B， F 在同一条直线上 EAF=

13、 1 m2 2+3=BAD- EAF= m 1=2， 1+3= 1 m 2即 GAF= EAF又 AG=AE ， AF=AF GAF EAF GF=EF，又 GF=BG+BF=DE+BF DE+BF=EFm2m2A21 3GB F（第 25 题）解得图DEC当 B 与 D 互补时，可使得 DE+BF=EF(三) 两个有一个公共顶点的正方形的图形变化11. （本题满分 6 分）如图，在正方形 ABC 1D 1 中， AB 1连接 AC 1 ，以 AC 1 为边作第二个正方形 AC 1C2D 2 ；连接 AC 2，以 AC2 为边作第三个正方形 AC 2C3D37DD3（ 1）求第二个正方形 AC

14、 1C2 D2 和第三个正方形的边长 AC 2C3D 3；（2）请直接写出按此规律所作的第 7 个正方形的边长C2C3D2 D 1 C 1A B12. 如图 10，若四边形 ABCD 、四边形 GFED 都是正方形， 显然图中有 AG=CE，AG CE.（ 1）当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 11 的位置时， AG=CE 是否成立？若成立，请给 出证明；若不成立，请说明理由 .（2）当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 12 的位置时，延长求证： AG CH；当 AD =4，G AFDG = 2 时，求D AECH 的长 .GF D AECE 交 AG 于 H ，交 AD 于 M .

15、H GF MEB C图 10B C图 11B图 12C11.解： （1）解：四边形 ABC 1D 1 是正方形， ABC 120 B 90， BC 1 AB 1； AC 1 12 12 2即第二个正方形 AC 1 C2D 2 的边长为 2 2 分四边形 AC 1C2D2 是正方形， AC 1C290， C 1C2AC 1 2； AC 2 ( 2)2( 2)2 2;即第二个正方形 AC 2 C3D 3 的边长为 2 4 分（2）解：第 7 个正方形的边长 8 6 分12.解： （1） AG CE 成立四边形 ABCD 、四边形 DEFG 是正方形， GD DE , AD DC , 1 分 GDE

16、 ADC 90 . GDA 90 - ADE EDC . 2 分 AGD CED . AG CE . 3 分（2）类似（ 1）可得 AGD CED ， 1 24 分又 HMA DMC . AHM ADC 90 .即 AG CH . 5 分研究四边形 ACDG 的面积ABAGF DEC图 11H G1F M PE2D 8过 G 作 GP AD 于 P ,由题意有 GP PD 2 sin 45O 1 , AP 3 , AG 10 . 8 分而以 CD 为底边的三角形 CDG 的高 = PD=1,S AGD S ACDS四边形 ACDGS ACG S CGD ,41+44= 10 CH+4 1. C

17、H = 8 10 . 10分5注：本题算法较多，请参照此标准给分 .13. （满分 11 分） 如图 10，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 均为正方形，连接 BG 与DE 相交于点 H（ 1）证明： ABG ADE；（2）试猜想 BHD 的度数，并说明理由；（3）将图中正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 （0 BAE 180）， 设 ABE 的面积为 S1 ， ADG 的面积为 S2 ，判断 S1 与 S2 的大小关系，并给予证明DAGC HF EB图 1013.解： （1）证法一：证明：在正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中GAE =BAD =90 1 分GAE+ EAB =

18、BAD+EAB即 GAB =EAD 2 分又 AG =AEAB =AD ABG ADE 4 分证法二：证明：因为四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都是正方形，所以AG=AE， AB=AD， 所以 EAD 可以看成是 GAB 逆时针旋转所以 ABG ADE（2） 证法一：我猜想 BHD =90理由如下： ABG ADE 1 =2 5 分GAE=BAD= 90，90得到，9而 3=4 1+3=2+4 2+4 =90 1+3 =90 6 分 BHD =90 7 分证法二：我猜想 BHD =90理由如下：由（ 1）证法 (二)可知 EAD 可以看成是 GAB 逆时针旋转 一组对应边，所以 BG D

19、E，即 BHD =90（3） 证法一：当正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 G0BAE180时,S1和 S2 总保持相等 8 分 证明如下：由于 0 BAE180因此分三种情况：AE BM AG DN当 0 BAE 90时（如图 10）过点 B 作 BM 直线 AE 于点 M，过点 D 作 DN 直线 AG 于点 N MAN =BAD =90 MAB =NAD又 AMB =AND =90AB =AD AMB AND GBM =DN 又 AE =AG 1 12 2F S1 S2 分当 BAE =90时如图 10（ a）AE =AG BAE =DAG =90AB =AD ABE ADG S1

20、S2 分FDAE图 10（ a ）90得到， BG 与 DE 是D2AN43 C1EMB图 10CB CBDGAF E图 10 （b）当 90 BAE 180时如图 10（b）和一样；同理可证 S S1 2综上所述，在（ 3）的条件下，总有 S1 S2 11 分证法二：当 0 BAE 90时，如图 10(c)作 EM AB 于点 M，作 GNAD交 DA 延长线于点 N，则 GNA =EMA =90又四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都是正方形，GAG =AE， AB =ADNFA MEB图 10(c )DC10AD MHMA 1M DB11 GAN+ EAN =90，EAM+ EAN =

21、90 GAN =EAM GAN EAM （AAS ） GN=EM S ABEAB EM ； S ADG2AD GN2S ADG S ABE S1 S2同证法一类似 证法三：当正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转0BAE180时,S1和 S2 总保持相等 8 分证明如下：由于 0 BAE 180因此分三种情况： 当 0 BAE 90时如图 10（d） 延长 GA 至 M 使 AM=AG ，连接 DM ，则有 2 3S AD G S AE=AG=AM ， AB=AD 又 1+2 =90 图 10 （d）3+2 =90 1=3 C ABE ADM （SAS）B S ABE S AD M S ADG

22、 S1 S2 分G当 BAE =90时（ 同证法一 ） 10 分当 90 BAE 180时如图 10 （e） F E和一样； 图 10 （e）同理可证 S1 S2综上所述，在（ 3）的条件下，总有 S1 S2 11 分证法四：当 0 BAE 90时如图 10（f）延长 DA 至 M 使 AM=AD ，连接 GM， D则有 S ADG S AMG G A再通过证明ABE 与 AMG 全等 CF E11图 10(f)B 73 26A GD从而证出 S1 S2同证法一类似14. （本题 10 分）如图 1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE， GC（ 1

23、）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论 .（2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点 E 落在 BC 边上，如图 2，连接 AE 和 GC你认为（ 1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.D AGB CHE图 114.解： （1）答： AE GC .证明：延长 GC 交 AE 于点 H .BEF（第 25 题）（ 1 分）在正方形 ABCD 与正方形 DEFG 中，AD DC， ADE CDG 90， DE DG， ADE CDG . 1 2. （3 分） 2 3 90 . 1 3 90 .CF图 2A1BD2CHE图 1G3F AH

24、G 180- 1 3 180 -90 90 . AE GC . （5 分）（2）答：成立 . （6 分）证明：延长 AE 和 GC 相交于点 H .在正方形 ABCD 与正方形 DEFG 中，AD DC，DE DG， ADC DCBB BAD EDG 90， 1 2 90- 3. ADE CDG . 5 4. 8 分又 5 6 90， 4 7 180- DCE180 90 90， 6 7.又 6 AEB 90， AEB CEH .DA5 14 GE CHF图 2 CEH 7 90 EHC 90， AE GC . （10 分）（其它证法可参照给分）1215. 如图，点 G 是正方形 ABCD 对

25、角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AG 为边作一个正方形 AEFG ，线段 EB 和 GD 相交于点 H（ 1）求证： EB=GD；（ 2）判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由；（ 3）若 AB=2， AG= 2 ，求 EB 的长15.解： （1）证明： 在 GAD 和 EAB 中， GAD=90+EAD，EAB=90+EAD， GAD= EAB，又 AG=AE ， AB=AD ， GAD EAB， EB=GD ；（ 2） EB GD ，理由如下：连接 BD，由（ 1）得： ADG= ABE ，则在 BDH 中， DHB=18 - （ HDB+ HBD ） =180-90 =90

26、， EB GD；（ 3）设 BD 与 AC 交于点 O，AB=AD=2 在 Rt ABD 中， DB= ， EB=GD= (四) 两个有公共顶点的等腰直角三角形、等边三角形、正方形的图形分析1316. (9 分 )如图， ACD 和 BCE 都是等腰直角三角形， ACD点 F， BD 分别交 CE 、 AE 于点 G、 H .试猜测线段 AE 和 BD 的数量和位置关系，并说明理由 .BCE 90， AE 交 CD 于DE HF GCA B16.解： 猜测 AE BD， AE BD理由如下：ACD BCE 90，ACD DCE BCE DCE，即 ACE DCB .ACD 和 BCE 都是等腰

27、直角三角形 .AC CD， CE CB，ACE DCB AE BD，CAE CDB .AFC DFH， DHF ACD 90AE BD17. （11 西宁 ）如图 6，在等边 ABC 中， D 为 BC 边上一点， E 为 AC 边上一点，且ADB EDC 120， BD 3， CE 2，则 ABC 的边长为A 9B 12C 16D 18AEB17.解：D CA18. （2011 广西梧州， 12， 3 分） 如图 6， 点 B、都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是 （A ） ACE BCD （B） BGC AFC （C） DCG ECF （D ） ADB CEAC 、E 在同一条直线上，

28、 ABC 与 CDE143 22DAG FB C E图 618.解： D19. (本题满分 9 分)如图 9,已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB 上的动点（ P 不与 A， B 重合） ，分别以 AP 、PB 为边向线段 AB 的同一侧作正 APC 和正 PBD（ 1）当 APC 与 PBD 的面积之生取最小值时， AP= _ ； （直接写结果）（2）连结 AD 、 BC ，相交于点 Q，设 AQC= ，那么 的大小是否会随点 化？请说明理由；（3）如图 10，若点 P 固定，将 PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于 时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证

29、明）P 的移动面变180） ，此19.解： （1） a ；（2） 的大小不会随点 P 的移动而变化，理由： APC 是等边三角形，PA=PC, APC=60 0 , BDP 是等边三角形，PB=PD, BPD=60 0 , APC= BPD, APD= CPB, APD CPB, PAD= PCB, QAP+ QAC+ ACP=120 0,15M QCP+QAC+ ACP=120 0, AQC=180 0-1200 =600;(3) 此时 的大小不会发生改变，始终等于060 .20. 如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D， E， F 分别为边 AB， AC， BC 的中点， M 为直线 B

30、C 上一动点， DMN 为等边三角形 （点 M 的位置改变时， DMN 也随之整体移动） （ 1） 如图 ，当点 M 在点 B 左侧时， 请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 与直线 EN 有怎样的位置关系？都请直接 写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图 ，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变， （1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立 ?若成立，请利用图 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时， 请你在图 中画出相应的图形，并判断 （1）的结论中 EN与 MF 的数量关系及点 F 与直线 EN 的位置关系是否仍然成立必证明或说明理由A

31、A?若成立 ?请直接写出结论， 不AD EBF CN图（ 1）判断： EN 与 MF 相等（或 （说明：答对一个给 2 分）（2）成立 4 分DBMENF CD EB F C图 图第 25 题图EN=MF），点 F 在直线 NE 上 3 分20.解： 证明：法一：连结 DE， DF 5 分 ABC 是等边三角形， AB=AC=BC 又 D， E， F 是三边的中点，DE， DF， EF 为三角形的中位线 DE=DF=EF ， FDE=60又MDF+ FDN=60， NDE+ FDN=60 ， MDF= NDE 7 分在DMF 和DNE 中， DF=DE， DM=DN ， MDF= NDE， D

32、MF DNE 8 分MF=NE 9 分A AD法二：延长 EN ，则 EN 过点B ME D EF 5N分 NF C B M F C161 1 ABC 是等边三角形， AB=AC=BC 又 D， E， F 是三边的中点， EF=DF=BF BDM+ MDF=6 ， FDN+ MDF=6 ， BDM= FDN 7 分又 DM=DN ， ABM= DFN=60， DBM DFN 8 分BM=FN BF=EF， MF=EN 9 分法三：连结 DF， NF 5 分 ABC 是等边三角形， AC=BC=AC 又 D， E， F 是三边的中点， DF 为三角形的中位线， DF= AC= AB=DB 2 2

33、又BDM+ MDF=6 ， NDF+ MDF=6 ， BDM= FDN 7 分在DBM 和DFN 中， DF=DB ，DM=DN ， BDM= NDF， DBM DFN B=DFN=60 8 分又 DEF 是 ABC 各边中点所构成的三角形，NAD EB F C M DFE=60 可得点 N 在 EF 上， MF=EN 9 分（3）画出图形（连出线段 NE）， 10 分MF 与 EN 相等及点 F 在直线 NE 上的结论仍然成立（或 MF=NE 成立） 11 分21. （本题 12 分）已知：正方形 ABCD.（ 1）如图 1，点 E、点 F 分别在边 A B 和 AD量关 系和位置关系分别是

34、什么？请直接写出结论 .（2） 如图 2， 等腰直角三角形 FAE 绕直角顶点上，且 AE=AF. 此时，线段 BE 、 DF 的数A 顺时针旋转 ， 当 0 90 时，连接 BE 、 DF ，此时（ 1）中结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由 .（3）如图 3，等腰直角三 角形 FAE 绕直角顶点 A 顺时针旋转 ，当 90 时，连接 BE 、 DF ，猜想当 AE 与 AD 满足什么数量关系时，直线 DF 垂直平分 BE.请直接写出结论.（4）如图 4，等腰直角三角形 FAE 绕直角顶点 A 顺时针旋转 ，当 90 180时，连接 BD 、 DE 、 EF、 FB 得到四

35、边形 BDEF ，则顺次连接四边形 BDEF 各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论 .D C D C D C D CFAE B A图 1EFB AE图2FBE图 3ABF图 41721.解： （1） BE=DF 且 BE DF（2）成立D CFHA BGE证明：延长 DF 交 AB 于点 H，交 BE 于点 G.AEF 是等腰直角三角形 AF=AE四边形 ABCD 是正方形 AD=AB; DAB= FAE=90 DAB- FAB= FAE- FAB ； DAF= BAE在DAF 和 BAE 中，DAF BAE(SAS)AD ABDAF BAEAF AE DF BE , ADF

36、 ABE又 AHD BHG DAH BGH 90BE=DF 且 BE DF 仍成立（3） AE ( 2 1)ADD CFA BE四边形 ABCD 是正方形18112BD= 2 AD直线 DF 垂直平分 BEDE=DBAD+AE= 2 ADAE= 2 AD- AD=( 2 - 1)AD（4）正方形D CNGAFMBEH在DEB 中G， N 分别是 DE， DB 的中点GN 是DEB 的中位线GNBE ； GN= BE2同理： HM BE ； HM= BE21GH DF ； GH= DF1MN DF ； MN= DF2BE=DFGH=HM=MN=GN四边形 GHMN 是菱形DFBE GNM=90四

37、边形 GHMN 是正方形22. （10 分） （2011 武汉调考模拟 ) 如图，四边形 ABCD 为正方形且边长为 1， BEF 为等腰直角三角形（ BFE=90 ，点 B 、 E 、 F，按逆时针排列） ，点 P 为 DE 的中点，连 PC， PF19(1) 如图，点 E 在 BC上，则线段 PC、 PF 的数量关系为 _，位置关系为 _（不证明） (2) 如图，将 BEF 绕点 B 顺时针旋转位置关系？请写出你的结论，并证明a(Oa”， “”或“ ”)（2）猜想：如图（3）如果 2E1，当 0 CDF 60时， AM+CK_MK ，证明你所得到的结论2CK2AM ，请直接写出 CDF 的

38、度数和EMKAM的值F CKEMA D图 1FKA (M) DBA BFEKMBA D2 22 2 2图 336.解： （12 分） （ 1） =2 分 2 分（2） 2 分证明：作点 C 关于 FD 的对称点 G，连接 GK， GM， GD， E则 CD =GD， GK =CK， GDK = CDK，D 是 AB 的中点， AD =CD =GD A 30， CDA =120， EDF =60， GDM + GDK =60，ADM +CDK =60 ADM =GDM， 3 分DM = DM， ADM GDM ， GM =AMGM+GK MK ， AM +CK MK 1 分（ 3） CDF =1

39、5， MK 3 2 分 AM 2F GKMA DCB下面证明：如果 MK CK AM 2 ，那么 MK CK AME MK 2 GK 2 GM 2 GKM=90 GKC=9 GKF= FKC FKC=45 FKC= CDK+ ACD ； ACD=4 FDC=15CDF =15。GMAF CKD B下面证明：如果2 2MK CK2 MKAM ，那么3 。AM2点 C 关于 FD 的对称点 G DGK= DCK=3 ADM GDM MGD= A=3033 MGK=60 GKM=90 GMK=30 MK 3AM 2在DAF 和 BAE 中DAF BAE(SAS) =37. 在 ABC 中， ACB

40、90， ABC 30，将 ABC 绕顶点为 ( 0AA1 180) ，得到 A 1B 1CA1 A AEC 顺时针旋转，旋转角A1CDBCB CPBB1B1B1图 1 图 2 图 3( 1)如图 1， 当 AB CB 1 时， 设 A 1B1 与 BC 相交于点 D 证明： A 1CD 是等边三角形； 【证】( 2)如图 2，连接 AA 1 、 BB 1 ，设 ACA 1 和 BCB 1 的面积分别为 S1 、 S2求证： S1 S2 1 3； 【初二学生不能写】【证】343( 3)如图 3，设 AC 的中点为 E， A 1B1 的中点为 P， AC a，连接 EP当 _时， EP 的长度最大

41、，最大值为 _37.解： （1）易求得(2)易证得 ACA （3） 120， a2A CD 60 , A CBCB , 且相似比为 1:DC ,因此得证 .3 ，得证 .AECBA1PB135图F238. （满分 10 分） 两个大小相同且含 30 角的三角板 ABC 和 DEC 如图摆放，使直角顶点重合 . 将图中 DEC 绕点 C 逆时针旋转AB 的交点，点 H 是 DE 与 AC 的交点 .（ 1）不添加辅助线，写出图中所有与30 得到图，点 F、 G 分别是 CD 、 DE 与BCF 全等的三角形；（2）将图中的 DEC 绕点 C 逆时针旋转 45 得 D 1E1C，点 F 、 G 、

42、 H 的对应点分别 为 F1 、 G1、 H 1 ，如图 . 探究线段 D 1F 1 与 AH 1 之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（ 2）的条件下，若 D 1E1 与 CE 交于点 I ，求证：D DBBGACC HA EE图G1I =CI .DD 1AG 1GF 1H 1 HE图BFCIE138. 解： （1）图中与 BCF 全等的有 GDF 、（2） D1 F1 = AH 1 4 分证明：A D 1 30CA CD1F1CH 1公共 AF 1C D 1H1C . 5 分 F1C= H1C， 又 CD1=CA，CD1- F1C =CA- H1C .即 D1F1 AH 1 6 分（3

43、）连结 CG 1 . 在 D 1G1F1 和 AG 1H 1 中，D1 AD1G1 F1 AG1 H 1，D 1G1AD1F1 AH 1 D 1G1F 1 AG 1H 1. G1F 1=G 1H 1 7 分又 H 1C=F 1C， G 1C=G 1C， CG1F1 CG1 H1 . 1=2. 8 分 B=60， BCF =30， BFC =90.又 DCE=90， BFC = DCE， BACE，GAH 、ECH 3 分DBFGF 11C3H 1 HIEE136 1=3， 2=3，G1I=CI 10 分39. 如图 1，在 ABC 中， ABC 90， AB BC， BD 为斜边 AC 上的中

44、线，将 ABD 绕点 D 顺时针旋转 (0 180)， 得到 EFD， 点 A 的对应点为点 E， 点 B 的对应点为点F，连接 BE 、 CF .(1)判断 BE 与 CF 的位置、 数量关系，并说明理由；(2)若连接 BF 、 CE，请直接写出在旋转过程中四边形 BECF 能形成哪些特殊四边形；(3)如图 2，将 ABC 中 AB BC 改成 ABBC 时，其他条件不变，直接写出 为多少度时 (1) 中的两个结论同时成立AEA ADFD DB 图1 C B 图2 CB C39.解： (1)FC BE， FCBE. ABC 90， BD 为斜边 AC 的中线， AB BC， BDAD CD.

45、ADB BDC 90. ABD 旋转得到 EFD， EDB FDC .ED BD， FD CD . BED CFD . BE CF .(5 分 ) DEB DFC . DNE FNB，37AF38 DEB DNE DFC FNB . FMN NDE 90. FC BE.(2)等腰梯形和正方形 .(3)当 90(1)两个结论同时成立 .40. 在 RtABC 中， BAC =90， B=30，线段 AD 是 BC 边上的中线如图，将 ADC 沿直线 BC 平移，使点 D 与点 C 重合，得到 FCE ，如图，再将 FCE 绕点 C 顺时针旋转，设旋转角为 （0 90）连接 AF 、 DE .（

46、1）在旋转过程中，当 ACE=150时，求旋转角 的度数 .（2）探究旋转过程中四边形 ADEF 能形成哪些特殊四边形？请说明理由 .AA FBD C图E BD C图EA AB D C B备用图D C备用图40.解： （1）在图中， BAC=90， B=30ACE= BAC+B=120 在旋转过程中，如图，当点 E 和点 D 在直线 AC 两侧时，由于 ACE 1=150 ， =150 -120 =30（3 分）当点 E 和点 D 在直线 AC 同侧时， ACB=180- BAC- B=60 DCE2 =ACE 2- ACB =150 -60 =90 =180- DCE 2=90旋转角 为 3

47、0或 90 . （5 分）D1 A1图（2）四边形 ADEF 能形成等腰梯形和矩形 . （7 分）证法一： B BAC=90， B=30AC= BC2又 AD 是 BC 边上的中线 AD= DC= BC =AC B2 D ADC 为正三角形 （8 分）当 =60时，如图 ACE =120+60=180CA=CE=CD =CF 四边形 ADEF 为平行四边形又 AE= DF 四边形 ADEF 为矩形 （10 分）当 60时， ACF120， DCE =360-60 -60 -ACF 120显然 DE AFBC图CE2ADFF1E1 (F2)CEF图 E30 、1AC=CF， CD =CE 2FA

48、C+ACF =2CDE+DCE =180 ACF+DCE =360-60 -60 =240 FAC+CDE =60 DAF+ADE=120+60=180AF DE又 AFDE， AD= EF 四边形 ADEF 为等腰梯形 （12 分）证法二：AC=CF， CD =CE 2FAC+ACF =2CDE+DCE =180 ACF+DCE =360-60 -60 =240 FAC+CDE =60 DAF+ADE=120+60=180AF DE （8 分）当 =60时， ACF = DCE =120，又 AC=CF， DC =CE ACF DCE AF= DE四边形 ADEF 为平行四边形 BAC=90

49、， B=30AC= BC2又 AD 是 BC 边上的中线 ADC 为正三角形，即 DAF = CAF+CAD=901AD= DC= BC =AC2CAD =60ACF 中， CAF =30四边形 ADEF 为矩形 （10 分） 当 60时， ACF120 DCE=360-60 -60 -ACF 120，显然 DE AF 又 AF DE四边形 ADEF 为梯形又 AD =EF四边形 ADEF 为等腰梯形 （12 分）41. （本题满分 8 分） RtABC 与 RtFED 是两块全等的含如图（一）所示拼在一起， CB 与 DE 重合o 60o角的三角板，按（ 1）求证：四边形 ABFC 为平行四

50、边形；（2）取 BC 中点 O，将 ABC 绕点 O 顺时钟方向旋转到如图（二）中 A B C 位置，直线 B C 与 AB、 CF 分别相交于 P、 Q 两点，猜想猜想(3)在(2) 的条件下 , 指出当旋转角至少为多少度时 AC(E)F C(E)OQ 、 OP 长度的大小关系，并证明你的, 四边形CQOPCQB 为菱形 (不要求证明 ).FA B(D) A P B(D)B图( 一) 图(二 )23 题图3941.解： （1） ABC FCB 1 分AB=CF， AC=BF 2 分四边形 ABCF 为平行四边形 3 分（用其它判定方法也可）（2） OP=OQ 4 分理由如下： OC OB ,

51、 COQ BOP , OCQ PBOCOQ BOP 6 分OP=OQ 7 分(用平行四边形对称性证明也可 )(3)90 o 8 分42. （2011 江苏南通， 26， 10 分） （本体满分 10 分） 已知：如图 1， O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长2OA， OE 2OD，连结 EF ，将 FOE 绕点 O 逆时针旋转OA 到点 F， OD 到点 E，使 OF角得到 F OE （如图 2） .（ 1） 探究 AE与 BF 的数量关系，并给予证明；（ 2） 当 30时，求证： AOE为直角三角形 .42.解：证明：如图在正方形（ 1） AE BF2，ABCD 中， ACBD F O

52、E AOD AOB 90即 AOE AOF BOF AOF AOE BOF 又 OA OB OD， OE 2OD， OF 2OA OE OF OAE OBF AE BF（ 2）作 AOE的中线 AM，如图 3 . 则 OE 2OM 2OD 2OA40OA OM 30 AOM 60 AOM 为等边三角形 MA MO ME ， AE M E AM又 AE M E AM AMO即 2 AE M 60 AE M 30 AE M AOE 30 60 90 AOE为直角三角形 .43. (本题满分 9 分)如图， 四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形， 点 G，E 分别是边 AB，BC 的中点， AE

53、F =90o，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F（ 1）证明： BAE= FEC；（2）证明： AGE ECF；（3）求 AEF 的面积43.解： （1）证明： AEF =90 ， FEC+AEB=90 1 分41852 21 51在 RtABE 中， AEB+BAE=90 ， BAE=FEC； 3 分（2）证明： G， E 分别是正方形 ABCD 的边 AB， BC 的中点，AG=GB=BE=EC ，且 AGE =180 45=135又 CF 是 DCH 的平分线， ECF=90+45=135 4 分在 AGE 和 ECF 中，AG EC，AGEGAEECFFEC AGE ECF

54、；135，6 分（3）解：由 AGE ECF，得 AE=EF又 AEF =90 ， AEF 是等腰直角三角形 7 分由 AB=a， BE=S AEF= a2a，知 AE= a，9 分44. （7 分）如图，一个含 45的三角板 重合，过 E 点作 EFAE 交 DCE 的平分线于 说明理由HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边F 点，试探究线段 AE 与 EF 的数量关系，并HFA DBC E第 18 题图44.解： 探究： AE EF理由： BHE 为等腰 Rt ， H HEB 45 ， BH BE，又 CF 平分 DCE ，四边形 ABCD 为正方形， FCE DCE 45 ，

55、H FCE ， 3 分2由正方形 ABCD 知： B 90 ， HAE 90 DAE 90 AEB ，而 AE EF ，42B FEC 90 AEB， HAE FEC ， 5 分由正方形 ABCD 知： AB BC ， BH AB BE BC ， AH CE AHE ECF （ASA）， AE EF 7 分45. 如图所示，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点且 AEF=90， EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F，取边 AB 的中点 G，连接 EG.（ 1）求证： EG=CF；（2）将 ECF 绕点 E 逆时针旋转 90，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转 后 C

56、F 与 EG 的位置关系 .A DG FE C45.解： （1）证明：正方形 ABCD点 G， E 为边 AB 、 BC 中点AG=E （1 分）又 CF 为正方形外角平分线且 AEF=90， BG=BE AGE= E （2 分）GAE= FEC （3 分） AGE ECF （4 分）EG=C （5 分）（2） （图略） （6 分）平行 （7 分）43E CA F D1G CF32B AGE ECF 1=2； AG=EC将 ECF 绕点 E 逆时针旋转 90 3=2 1=3A GCE四边形 AGCE 是平行四边形。GECF46. 如图（图 1、图 2），四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形

57、， 点 E 在线段 BC 上， AEF=9 0，且 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 F， FNBC，交 BC的延长线于点 N。（ 1）若点 E 是 BC的中点（如图 1）， AE 与 EF 相等吗？为什么？（2）点 E 在 BC间运动时（如图 2），设 BE=x,ECF 的面积为 y。求 y 与 x 的函数关系式；当 x 取何值时， y 有最大值，并求出这个最大值。 【初二学生不能写】44A1N21AB EDCFNAPB EADP MFC N B EDPFC N47. 探究题（本大题 10 分）数学课堂上，徐老师出示一道试题：如图（十）所示，在正三角形 ABC 中， M 是 BC 边（不

58、含端点 B 、 C）上任意一点， P是 BC 延长线上一点， N 是ACP 的平分线上一点若 AMN 60，求证： AM MN(1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程请你将证明过程补充完整证明：在 AB 上截取 EA MC ，连结 EM ，得 AEM 1 180 AMB AMN ， 2 180 AMB B， AMN B 60， 1 2又 CN 平分 ACP ， 4 ACP 60 MCN 3 4 120又 BA BC， EA MC ， BA EA BC MC ，即 BE BM BEM 为等边三角形 6 60 5 180 6 120 由得 MCN 5在 AEM 和 MCN 中， 1 2 AE=

59、MC ， MCN 5 AEM MCN(ASA) AM MN(2)若将试题中的“正三角形 ABC ”改为“正方形 A 1B1 C1D 1”（如图）， N 1 是 D1C 1P1的平分线上一点，则当案，不需要证明）EA256A 1M 1N1 90时，结论 A 1M 1 M 1N 1 是否还成立？（直接写出答D1N141 3 BM C图 10PB1 M 1图 11PC145(3)若将题中的 “正三角形 ABC ”改为“正多边形 A nB nC nDn X n”，请你猜想： 当 A nM nNn 时，结论 A nMn M nN n仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）46.解： 成立在 A1B1 上截取 A1 H M 1C1E6AN 25A1D1N141 3 BM C图 10AMN=60 （ 3 2） /3 180A1 M 1 N 1 =90（ 42）