全国人教版数学八年级上册课课练：12章专题训练3　以角平分线为背景的常见全等模型（word、含答案）

1、专题训练以角平分线为背景的常见全等模型 模型一两垂直全等型模型提炼1.将两块完全相同的三角尺在AOB的内部如图摆放,两块三角尺较短的直角边分别与AOB的两边重合,且含30角的顶点恰好也重合于点C,则射线OC即为AOB的平分线,理由是.2.如图,在ABC中,AD平分BAC交BC于点D,DEAB于点E,DFAC于点F,ABC的面积是142.5 cm2,AB=20 cm,AC=18 cm,则DE的长为.3.某校校园内有一块直角三角形(RtABC)空地,如图所示,园艺师傅以角平分线AD为界,在其两侧分别种上了不同的花草,在ABD区域内种植了一串红,在ACD区域内种植了鸡冠花,并量得两直角边AB=20

2、m,AC=10 m,分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积.4.如图,现有一块三角形的空地,其三条边长分别是20 m,30 m,40 m.现要把它分成面积比为234的三部分,分别种植不同种类的花,请你设计一种方案,并简单说明理由.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)模型二翻折全等型模型提炼5.数学家鲁弗斯设计了一个仪器,它可以三等分一个角.如图所示,A,B,C,D分别固定在以O为公共端点的四根木条上,且OA=OB=OC=OD,E,F可以在中间的两根木条上滑动,AE=CE=BF=DF.求证:AOE=EOF=FOD.6.如图,一艘轮船沿AC方向航行,轮船在点A时测得航线两侧的两个灯塔D,E与

3、航线的夹角相等,当轮船到达点B时测得这两个灯塔与航线的夹角仍然相等,这时轮船与两个灯塔的距离是否相等?为什么?7.如图,点B,C分别在A的两边上,D是A内一点,DEAB,DFAC,垂足分别为E,F,AB=AC,DE=DF.求证:BD=CD.8.如图,BM平分ABC,D是BM上一点,过点D作DEAB于点E,DFBC于点F,P是BM上的另一点,连接PE,PF.(1)若EDF=124,则ABC的度数为;(2)求证:PE=PF.模型三一垂直全等型模型提炼9.如图,已知OP平分AOB,过点P作OP的垂线分别交OA,OB于点C,D,则PC与PD相等吗?为什么?10.如图,在ABC中,BAC=90,AB=A

4、C,BD平分ABC,交AC于点D,CEBD交BD的延长线于点E.求证:CE=12BD.答案1.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上2.7.5 cm AD为BAC的平分线,DEAB,DFAC,DE=DF.设DE=x cm,则SABD=12ABDE=1220 x=10 x(cm2),SACD=12ACDF=1218x=9x(cm2).SABC=SABD+SACD,10 x+9x=142.5,解得x=7.5,DE=7.5 cm.3.解:如图,过点D作DEAB于点E,DFAC于点F.AD是BAC的平分线,DE=DF.AB=20 m,AC=10 m,SABC=122010=1220DE+121

5、0DF,解得DE=203(m).ACD的面积=1210203=1003(m2),ABD的面积=1220203=2003(m2).故一串红的种植面积为2003 m2,鸡冠花的种植面积为1003 m2.4.解:(答案不唯一)如图,分别作ACB和ABC的平分线,相交于点P,连接PA,则PAB,PAC,PBC的面积之比为234.理由如图下:如图,过点P分别作PEAB于点E,PFAC于点F,PHBC于点H.P是ABC和ACB的平分线的交点,PE=PF=PH.SPAB=12ABPE=10PE,SPAC=12ACPF=15PF,SPBC=12BCPH=20PH,SPABSPACSPBC=101520=234

6、.5.证明:在AOE和COE中,AE=CE,OA=OC,OE=OE,AOECOE(SSS).AOE=COE.同理COE=FOD.AOE=EOF=FOD.6.解:当轮船到达点B时,与两个灯塔的距离相等.理由如图下:如图,根据题意,得DAB=EAB,1=2.1+3=180,2+4=180,3=4.在ABD与ABE中,DAB=EAB,AB=AB,3=4,ABDABE(ASA).BD=BE,即当轮船到达点B时,与两个灯塔的距离相等.7.证明:如图,连接AD.DEAB,DFAC,DE=DF,BAD=CAD.在ABD和ACD中,AB=AC,BAD=CAD,AD=AD,ABDACD(SAS).BD=CD.8

7、.解:(1)56 DEAB,DFBC,DEB=DFB=90.EDF=124,ABC=360-90-90-124=56.(2)证明:BM平分ABC,D是BM上一点,DEAB,DFBC,ABM=CBM,DE=DF.BDE=90-ABM,BDF=90-CBM,BDE=BDF.EDP=FDP.在EDP和FDP中,DE=DF,EDP=FDP,DP=DP,EDPFDP(SAS).PE=PF.9.解:PC=PD.理由:OP平分AOB,COP=DOP.过点P作OP的垂线分别交OA,OB于点C,D,CPO=DPO=90.在CPO和DPO中,COP=DOP,OP=OP,CPO=DPO,CPODPO.PC=PD.10.证明:如图,延长CE,BA交于点F.CEBD,BAC=90,BAD=CAF=BEC=BEF=90.又ADB=EDC,ABD=ACF.在ABD与ACF中,ABD=ACF,AB=