第4节具有趋势的模型

1、第4章具有趋势的模型自相关函数可用来考察一个序列中是不是存在趋势。若是一个时刻序列的ACF缓慢递减趋于0，这说明那个时刻序列可能是一个单位根进程或是趋势平稳进程。可用正规的统计查验来确信一个系统是否有趋势、趋势是确信的仍是随机的。可是，目前所有的查验在区分近似单位根进程与单位根进程时，功效都比较低。为此，本章将介绍下面五个问题：（1）关于均值随时间转变的时刻序列，它的趋势可能是确信性的，也可能包括随机成份。在做假设查验或做长期预测时，正确模拟那个趋势是致关重要的。（2）说明Dickey-Fuller的单位根查验和扩展的Dickey-Fuller的单位根查验。这些查验也可用来帮忙检测随机趋势的存

2、在。给出几种查验的形式（包括季节单位根查验）。为了详述这些统计量，需要介绍MonteCarlo实验。（3）考虑存在结构性转变时的单位根查验。结构性转变可使趋势查验变得复杂；政治体制的转变可致使结构性转变，使一个平稳序列显示出非平稳性。（4）给出查验一个序列是不是包括一个单位根的一样方式。单位根查验对确信性回归变量（如，截距项，确信性时刻趋势项）的存在超级灵敏。对此，有一个比较合理的程序来识别那个进程。若是不明白真实的数据生成进程是不是包括确信性部份时，就可以使用这些程序。只是，对这些查验结果也仍是需要慎重一些，因为（a）这些查验在区分单位根进程和拟单位根进程时有较低的功效。（b）或许会显现对确

3、信性回归变量的设定不适当。（5）把一个具有趋势的序列分解成平稳和趋势成份。给出把一个序列分解成临时部份和持久部份的几种方式。1确信性趋势和随机趋势通常需要把一个线性随机差分方程的一样解表示成下面三个不同部份yt=趋势+平稳成份+噪声在第2章咱们已经明白如何利用Box-Jenkins方式来对平稳成份进行建模。第3章已经明白如何对残差（噪声）的方差进行建模。计量经济学家的重要任务是研究出简单的随机差分方程模型来模拟具有趋势变量的行为。考察图4-1,实际GDPrgdpt的明显特点是随着时刻而增加。对那个序列，或许有人用下面多项式估量那个趋势的持续增加:rgdpt2.2240.385t0.0003t2

4、1.85E6t3(4.)()()()()图实际GDP是确信性趋势吗？尽管t-统计量是显著的，但用那个模型表示实际GDP的趋势是有问题的因为在那个趋势中没有随机成份，（）说明实际经济有确信性的长期增加率。“实际经济周期”学派以为技术进步对经济的趋势有长期效应。由于技术革新是随机的，趋势中应反映这种随机性。其它宏观经济学派也以为趋势并非完满是确信性。例如，石油价钱冲击或减税能够阻碍投资和经济的长期增加率。（联邦基金利率）（莫种债券收益）2016AAA图短时间和长期利率联邦基金利率和美国联邦政府10年期债券收益率在图中。两种利率没有明显的增加或减少的趋势。没有结构性中断使均值发生改变。两个序列没有返

5、回到长期均值的趋势。若是把趋势概念为一个序列的“持久”或“不衰减”的成份，那么这两个序列都有趋势。趋势平稳(TS)模型若是一个序列从某期到下期老是转变相同固定的数量，如Vt%那个差分方程的解为VtVoat因此，Vt%的解是一个确信性线性趋势，此刻若是把平稳成份A(L)t增加到到那个趋势中，有VtVoaotA(L)t()在()中，Vt能够偏离它的趋势值大约A(L)to那个误差是平稳的，Vt是临时偏离那个趋势。Vts的长期预报将收敛到Voao(ts)。这种模型被称为趋势平稳(TS)模型。随机趋势模型此刻假设y的预期转变是单位，令弘等于a。加上白噪声:yta0t（）由于Etit0,（）说明：yt由一

6、个时期到下一个时期的预期转变是a。单位。模型（）是模拟包括随机趋势的时刻序列的大体模型。在这种情形下，（）中yt的趋势与（）中yt的趋势有本质的不同。假设y0是初值条件，差分方程（）的解为tyty0ia0ti1那个地址yt含有确信性趋势成份a0t和成份y0i。咱们称第二个成份为随机截距项。在没有任何冲击的条件下，截距项为y0。可是，每一个冲击i都使截距项有一个平移。由于i的系数并非是衰减（都为1），每一个对截距项的冲击效应都是持久的。这种序列被称为随机趋势。咱们考虑下面三种类型的随机趋势：（一）随机游动模型在（）中，a00时称为随机游动模型，它在经济与金融文献中有特殊的地位。例如，“有效市场”

7、假说以为：股票价钱从一天到下一天的转变是一个随机游动，因此ytyt1t（或ytt）（）若是y。是初始条件，那么那个随机游动的解yty0取期望，EytEytsy。因此，随机游动的均值是常量。但，所有对yt的随机冲击有非减的效应。容易证明方差与时刻有关2Var(yt)t,Var(yts)(ts)2t时，方差也趋于无穷。因此，随机游走散满无序，不显示出任何增大或减小的趋势。容易计算出相关系数st s关于前几个自相关系数（s较小时），s近似等于1。随着s的增加，s的值慢慢变小。因此，随机游走进程的自相关函数较缓慢趋于零。因此可用自相关函数来区分单位根进程和自回归系数近似1的平稳进程。（二）带漂移项的随

8、机游动模型此刻令yt的转变一部份是确信性的，一部份是随机的ytytiaot因此，（）是随机游动加漂移项。给定初始条件V0,yt的一样解为()tytyatii1这时yt的时刻途径由两个非平稳成份所支配：线性确信性时刻趋势at和随机趋势t。在大样本中，渐近理论以为yt的时刻途径由确信性时刻趋势a0t所支配。可是，不能由此以为能够容易分辨随机游动模型和带漂移项的随机游动模型。因为，在小样本中，增大t的方差或减小a0的绝对值就会很难分辨序列的长期特性。这时带有漂移项的随机游动和趋势平稳序列(TS)就会超级相似。(三)一样的随机趋势模型为了考虑更一样的情形，不难把随机游动模型推行成yt是随机趋势与一个白

9、噪声之和，称为随机游动加噪声：t TOC o 1-5 h z yty0it()i1那个地址，t是白噪声，方差为2,t和ts是独立的(E(tts)0)。随机游动加噪声的另一种表示是yttt()由()能够看到随机游动加噪声模型的重要性质：1给定y。值，序列yt的均值是常量：Eyty。，t对yt的冲击有持久效应，因此yt有随机趋势成份t。乂有纯噪声成份，t对yt只有临时效应，t的现期值只阻碍yt,但不阻碍后期值yts。y的方差不是常数，Var(yJt22,且Var(yts)(ts)22,当,yt的方差趋于无穷。噪声成份的存在意味着yt和yts的相关系数小于纯随机游动的系数。这是因为2Cov(yt,y

10、ts)(ts)(ts)2s(t22)(ts)22当20,将s与纯随机游动的相关系数比较，可知随机游动加噪声模型的相关系数小于纯随机游动的相关系数。随机游动加噪声模型和随机游动加漂移项是构造更复杂的时刻序列模型的大体模型。若是将噪声和漂移项归并到一个模型中，将()或()变成下面形式yta0tt()t或ytyoaoti1方程()称为趋势加噪声模型，X是确信性趋势、随机趋势和纯白噪声之和。也能够把带漂移的随机游动再增加一个平稳进程A(L)t,如此取得了被称为带有不规那么成份得一样趋势模型：tytyoaotia(L)t()i1因此，()同时包括确信性趋势、随机趋势和平稳成份2去掉趋势一个具有趋势的序列

11、和一个平稳序列的重要不同：（1）对平稳序列的冲击效应是临时的，随时刻的推移，冲击效应将消散，序列将返回到长期均值水平。（2）含有趋势的序列将可不能返回到长期水平。趋势有确信性成份和随机性成份。能够进行适当的变换来排除趋势部份，将其变换成平稳序列，这有着重要的意义。排除趋势的通常方式是差分和去趋势。去趋势需要把那个变量对时刻回归求出残差（去趋势是去掉确信性趋势而不是随机趋势）。包括一个单位根的序列可通过差分达到平稳。本节的目的是比较去掉趋势的这两种方式。差分第一考虑带漂移项的随机游动模型的解tytNoatii1取差分，得ya。1这时差分后的序列yt是平稳的。去趋势另一种方式是去趋势，即估量回归方

12、程yta。aJ从观测到的序列中减去乂的那个估量值，取得t的估量值。更一样地，一个时刻序列能够有多项式趋势：yta。ata2ia3t3antne那个地址et是一个平稳进程。通过把yt对一个确信性多项式的时刻趋势回归，而去趋势。多项式的阶数可通过t-查验，F-查验或AIC,SBC来确信。在实际中通过利用最大的n值来估量那个回归方程，假设为的t-统计量为0,考虑阶为n-1的多项式趋势。F-统计量可用来确信一组系数（如ani,an）是不是异于零。AIC,SBC可用来证明多项式适当的阶数。yt的估量值与实际值的差确实是平稳序列et的估量值，被去掉趋势后的进程能够用传统的方式（如ARMA估量）来建模。差分

13、平稳和趋势平稳模型咱们有两种方式排除趋势。一个趋势平稳进程能够通过去掉确信性趋势而转化为平稳序列。一个具有单位根的进程，（称为差分平稳序列DS）可通过差分而转化为平稳序列。差分能够将非平稳模型变换成具有ARMA表示的平稳模型。这并非是说，所有的非平稳模型都能够通过适当的差分变成平稳的ARMA模型。当利用不适当的方式排除趋势时，会产生问题。例如，考虑一个具有确信性趋势和噪声的模型。ytv。a1tt一阶差分是ytait11那个地址乂是不可逆的（即yt不能表达到自回归的形式）。因为一个平稳进程是可逆的，只须MA部份没有单位根。因此，yt不能表示成平稳的ARMA模型。对一样的趋势平稳进程A（L）yta

14、oaitet那个地址A（L）的特点根在单位圆外，et可有etB（L）t形式。若是减去确信性时刻趋势的估量值会取得一个平稳可逆的ARMA模型。但如果是咱们把模型进行一阶差分，会得A(L)ytai(1L)B(L)t这说明，把趋势平稳（TS）进程进行一阶差分，会使模型中的MA部份加入了一个不可逆的单位根进程。因此，yt不能表示成平稳的ARMA进程。一样地，从差分平稳进程中减去确信性时刻趋势也是不适当的。如，在（）中，从每一个观测值中减去yat并非能取得平稳序列，因为趋势中的随机部份没被排除。经济周期在传统的经济周期的研究中，老是将实际宏观经济变量分解为长期趋势和周期部份。典型的分解见图。长期趋势属于

15、增加理论范围。趋势的斜率是由长期要素，如技术进步，生产力，教育达到的水平而决定。实际经济这种波浪式的运动称为经济周期。尽管循环期不必然象图中那么正规，繁荣、衰退期象潮汐一样可循环。货币和财政政策的目的是降低周期的振幅。趋势是不平稳部份，周期和不尽管有衰退、繁荣期，二战后的体会告知咱们，经济周期并无规那么的周期。即便如此，人们也相信，长期来看，宏观经济变量以常量趋势增加，偏离那个趋势的误差最终由“看不见的手”而排除。“趋势不变”的观点致使人们利用线性（或多项式）确信性回归方程来去掉宏观经济数据中的趋势。但是，Nelson和Plosser（1982以为，重要的宏观经济变量的趋势是DS而不是TS进程

16、。他们取得了13个重要宏观经济变量的数据：实际GNP、名义GNP、工业产值、就业、失业率、GNP通胀指数、消费价钱、工资、实际工资、货币纯量、流通速度、债券收益、股票价钱指数。他们的结果列在表中，前两列是一阶二阶自相关。前三个序列的一阶、二阶自相关建议：序列存在单位根。尽管失业的一阶自相关1是，但二阶自相关小于。自相关(Nelson和Plosser)12rr(2)d(1)d(2)实际GNP.95.90.34.04.87.66名义GNP.95.89.44.08.93.79工业产值.97.94.03.84.67失业率.75.47.09.75.46注：i,r(i),d(i)别离是序列本身，一阶差分后

17、的序列，去趋势后的序列的i阶自相关一阶差分后的序列的一阶、二阶自相关是r(1)、r(2)。一阶差分的样本自相关建议：一阶差分后的序列是平稳的。支持了数据是DS进程。Nelson和Plosser指出：差分后的实际、名义GNP的一阶正自相关建议了MA(1)进程。通过去掉线性趋势后取得一个序列，计算它的残差的样本自相关，于表中最后两列。去掉趋势后的样本自相关的值仍较大。这说明：将差分平稳序列(DS)去趋势，没有排除非平稳性。这说明宏观经济变量并非以滑腻的长期增加率来增加。一些宏观经济冲击是持久的，这些冲击效应没被排除。实际GDM的趋势在图中咱们看到了实际GDP中有一个明显的趋势。但模型()的残差的A

18、CF和PACF的结果列在图(a)中，能够看到ACF缓慢趋于零，但PACF在一阶滞后处截尾。ACF缓慢趋于零说明那个序列或许有随机趋势。因此去趋势似乎不能取得平稳序列。图(b)中显示了实际GDP对数的差分后的ACF图(a)图(b)和PACF。2步滞后以后，所有ACF,PACF都统计上显著为零。实际GDP对数转变的模型的估量是：Irgdpt0.00500.256Irgdpt10.1496Irgdpt2()()()那个模型的残差是白噪声。因此，差分能够排除那个趋势。3单位根和回归残差考虑回归方程yta。aiZtet()传统回归模型的假设要求yt和zt都是平稳的且误差有零均值、有限的方差。但在非平稳变

19、量存在的情形下，Granger和Newbold(1974)以为：可能显现伪回归。一个伪回归能够有较高的R2,t-统计量也是显著的，但结果没有任何经济意义。回归结果似乎专门好，但由于OLS估量不是一致的，统计查验和推断并非成立。Granger和Newbold(1974)详细分析了不知足平稳性条件所带来的后果。令yt和z是独立的随机游动ytyt1yt()ZtZt1zt()yt和zt是两个白噪声，彼此独立。若是()的残差et是非平稳的，假设e有随机趋势，误差就可不能趋于零，为了查验et 的平稳使任何误差都是持久的。有持久误差的经济模型是无心义的。性，（为了简单，不考虑截距项a0），有etyta1zt

20、若是yt,zt是由（），（）生成，令y0z00，那么有ttetyia1zii1i1那个误差的方差是无穷大，不知足通常的假设查验条件，使得t-查验，F-查验或R2值都是不靠得住的。能够证明：随着t的增加，e和eti之间的相关系数趋于1。在“a=0”零假设下，（）成为yta00。若是y是一阶单整序列，那么，在零假设下，et也是单整序列。误差项有单位根，因此也不能采纳OLS估量法。即便在大样本情形下，也存在如此问题。事实上，Phillips（1986）证明，在大样本情形下，更有可能得出a10的错误结论。Dickey-Fuller查验在模型yty-t中”确信是不是为1”是查验yt是不是有一个单位根的简

21、单方式。零假设H0:1，备那么假设H1:1，是一个左侧单边查验。 TOC o 1-5 h z 也能够变成另一种形式，两边同时减去yt1，有ytyt1t，查验假设=1等价于查验0。既是零假设H0:0，备那么假设H1:0的左侧单边查验。Dickey-Fuller（1979）考虑了三种不同形式的回归方程用来查验单位根的存在：ytyt1t（）yta0yt1t（）yta0a1tyt1t（）三个方程的不同的地方在于确信性成份a0,a1t的存在。最重要的参数是，如果0,yt包括一个单位根。利用最小二乘法估量一个或多个上方方程，来取得的估量和标准差。比较t-统计量值与报告在Dickey-Fuller临界值表中

22、的值，然后确信是同意仍是拒绝零假设0。当t-统计量值临界值，同意零假设。当t-统计量值临界值，拒绝零假设。不管利用哪一种形式的方程，程序都是相同的。但t-统计量的值依托于包括在方程中的截距项、时刻趋势项。Dickey-Fuller（1979）在MonteCarto研究中，发觉对0的临界值依托于回归方程的形式和样本大小。对方程（），（），（）适合的统计量是，。表A,的积存散布样本数无常数和趋势（a10）2550100250300有常数但无趋势（80）2550100250500有常数和趋势2550100250500对100个观测值，对0的t-统计量有三个不同的临界值。没有截距和时刻趋势项（a。ai

23、0）的回归利用标有的部份，在10%,5%,1%的显著水平上，t-统计量的临界值别离为，,0注意临界值依托于样本大小。像大多数假设查验一样，对给定的显著水平，t-统计量的临界值随着样本大小的增加而增加。包括截距项但没有趋势项（40）的回归方程，利用标有的临界值。10%,5%,1%的显著水平下，临界值别离为，,0包括截距项和趋势项的回归方程，利用标有的临界值。5%,1%的显著水平下，临界值别离为，。如果回归方程（），（），（）别离由下面方程p TOC o 1-5 h z ytyt1iyti1t（）i2Pyt00ytiiyti1t（）i2Pyt%atyt1iyti1t（）i2所代替，其临界值仍不变。

24、Dickey-Fuller（1981）给出另外3个F-统计量（1,2,3）来查验系数的联合假设。利用方程（）或（），可用统计量查验零假设a00o包括时刻趋势的回归（）或（）,可用2查验联合假设a080,可用3查验联合假设3统计量的构造与通常F-查验相同:SSR（限制）-SSR无限制）/riSSR无限制）/（T-k）那个地址，SSR（限制）和SSR（无穷制）是从限制和无穷制模型中取得的残差平方和。=限制条件个数，丁=观测值的个数，k=无穷制模型中待估量的参数个数。因此，T-k=无穷制模型的自由度。将i的值与Dickey-Fuller（1981）给出的临界值作比较。零假设H。：“数据是由限制模型生

25、成”，备择假设H1：”数据是由无穷制模型生成”。i的值较小时，同意零假设。因此，i的值较大时，拒绝零假设。因此，若是i的值小于Dickey和Fuller给出的临界值，能够同意限制模型。三个i统计量的临界值在表B中给出。表B样本数12550100250500225501002505002550100250500对样本大小为100的查验统计量和临界值在表中给出:表Dickey-Fuller查验的临界值模型假设检验统计量95%的临界值99%置信区问yta0atyt1t0a0a0a1032yta0yt1t0a001ytyt1t0Dickey-Fuller(1981)产出指数的对数Vt(110个数据)的

26、单位根查验:yt0.520.00120t0.119y-0.498yt1t,SSR0.056448()()()()yt0.00540.447yt1t,SSR0.063211()()yt0.511yt1t,SSR0.065966()SSR为残差平方和，括号内为标准差。有110个数据，4个要估量参数查验零假设：a。a10(0.0659660.056488)/30.056488/1062的5%临界值，因此在5%的显著水平上拒绝零假设：a。a0查验零假设：80(0.0632110.056488)/2_3=0.056488/1063的5%临界值，10%的临界值，在10%的显著水平拒绝零假设：a10,即包括

27、一个单位根或肯按时刻趋势00.119=3.610.033在5%的显著水平上拒绝存在一个单位根。Dickey-Fuller查验的例子Nelson和Plosser(1982以为宏观经济变量是差分平稳不是趋势平稳。下面给出正式查验，估量回归方程yt %atytp1iyt i 1 ti 2传统的经济周期观点以为GNP和产出水平是趋势平稳而不是差分平稳。那个地址也确实是说不为零。给定Nelson的样本，在的水平上，对零假设=0的t-统计量的临界值是。因此，若是的估量值大于个标准差，那么能够拒绝零假设=00从表中能够看到：关于实际GNP、名义GNP、工业产值的的估量值都不是显著异于零的。只有失业率的的估量

28、显著异于零(在水平上)。表Nelson和Plosser的单位根查验PaOa1实际GNP2名义GNP2工业产值6失业率40.294注：1,p是选取的滞后长度。括号中的值是系数除以标准差，因此括号中的值代表了系数为零的零假设的t-查验。在非平稳的零假设下，必需利用Dickey-Fuller临界值。在显著水平上，t-统计量的临界值是。2,“”表示在显著水平上显著。因此失业率似乎是平稳的季节单位根在美国货币供给模型中，有44(1L4)(1L)(1叫k(14L4)t货币供给有一个单位根和季节单位根。由于季节性是许多经济变量的重要特点，大量的文献讨论了查验季节单位根问题。一个季节单位根进程的一阶差分将不是

29、平稳的。为了简单，假设yt的季度观测值是ytyt4t那个地址乂的季节差分是平稳的，给定初始值yoy10,乂的解是yttt4t8t/4t/4使得ytyt14i4i10i0那个地址乂是两个随机趋势的差分。因为每一个冲击对yt有持久效应，因此序列不是均值回返的(meanreverting)。但，一个单位根进程的季节差分能够是平稳的。例如，若是yt是由ytyt1t生成，第4阶差分(ytyt4t11t2t3)是平稳的。为了查验季节单位根并区分季节单位根和非季节单位根，必需将Dickey-Fuller方式进行扩展。有几种方式处置非平稳序列的季节性。当季节性是确信性的，可采纳直接的方式。如令Di,D2,D3

30、代表季度虚拟变量，在季节i处D为1,不然为00估量回归方程yta0a1 D1a2D2 a3D3yt 1iyt i 1()i2这时，可利用Dickey-Fuller统计量来查验有一个单位根的零假设(0)。去掉确信性季节成份不阻碍的极限散布。若是在()中包括时刻趋势项，利用统计量。在()中进行关于a。的查验是困难的。因为每一个Di的均值是1/4,季节因素的存在阻碍a0的大小。为了修正那个问题，通常利用中心化的季节变量。令在季节i处Di=，在其它三个季节Di=-。因此，Di的均值为0，使得a0大小不变。若是疑心有一个季节单位根，必需利用另外程序。为了表示简单，假设yt是季度观测值，并想查验存在季节单

31、位根。为了说明这种方式，多项式(1L4)(11/4L)(11/4L)(1i1/4L)(1i1/4L)()被分解成四个不同的特点根。若是1，那么yt有季节单位根。Hylleberg等(1990)给出了一个各类频率的单位根查验方式，能够查验一个单位根(在零频率处的一个单位根)，半年频率的单位根或季节单位根。为了明白得Hylleberg的方式(HEGY)，假设A(L)ytt那个地址A(L)是4阶多项式(1a1L)(1a2L)(1a3iL)(1a4iL)ytt()此刻若是a1a2a3a41，那么()等价于()中1。因此，若是a1a2a3a41，那么有季节单位根。再考虑一些其它情形：情形1：若是a11(

32、)的齐次解是ytyt1。如此yt类似于一个随机游动。这是非季节单位根的情形。情形2：若是a?1,()的齐次解是yy-0。对季节数据来讲，乂在6个月后复制了本身(二个季度)情形3：若是23或241,如1,那么()的齐次解是ytiyt1。对季度数据来讲，yt有周期为4，即一年期。为了详细说明这种查验，把()作为ai,a2,a3,a4的函数，把A(L)在点a1a2a3a41处Taylor展开为：(1L4)L(1LL2L3)(a11)(1LL2L3)L(a21)22(1L2)(1iL)iL(a31)(1L2)(1iL)iL(a41)ytt令i(ai1)，概念5,6使得236i5,246i5。因此，(3

33、4)i5且346。可得(1L4)yt1(1LL2L3)yt12(1LL2L3)yt1(1L2)(56L)yt1t许多软件包都能直接对季度数据、月度数据进行直接查验，利用下面几个步骤：1步：关于季度数据，构造如下变量：y1t1(1LL2L3)yt1y2t 1(1LL2L3)yt12y3t 1(1 L ) yt 1yt 12 步： 估量方程：(1 L ) yt1 y1t 12y2t 1yt1yt2yt3yt4yt1yt2yt3yt4yt 3 使得y3t 2yt 2yt 45 y3t 16 y3t 2 t或许有必要加入截距、确信性季节虚拟变量、线性时刻趋势。进行适当的诊断查验保证那个回归方程的残差近

34、似于白噪声。3步：对零假设10进行t-查验，临界值由Hylleberg(1990)给出。若是不拒绝零假设10，那么以为a11，那么有非季节单位根。下面对假设20进行t-查验，若是不拒绝零假设，那么a21,那么有半年频率的单位根。最后对假设560进行F-查验，若是F的值小于Hylleberg(1990)给出的临界值，那么5和(或)6为零，那么有季节单位根。一个时刻序列能够同时有非季节、半年、季节单位根。在5%的水平上,Hylleberg(1990)给出了临界值(100观测值)1020560561截距截距+季节虚拟变量截距+季节虚拟变量+时间趋势例如分析美国货币供给非季节和季节差分的模型如下：mt

35、aoaMt1t4t4那个地址mt(1L)(1L4)yt,yt是Mi的对数。下面用HEGY方式查验利用季节和非季节差分是不是适合。由于货币供给序列有一个向上运动的趋势。因此回归中包括了确信性趋势和截距。(1L4)yt0.1070.0003t0.006丫宜1()()()90.094y2t10.084y3t10.187y3t2i(1L)yti11那个地址滞后阶数9的选取是由对i和y1t1,y2t1,y3t1,y3t2的F-查验来确信的。y厂的系数有t-统计量是。给定5%的临界值，咱们不能拒绝非季节单位根的零假设。对y&1和y3t2的系数联合为零的F-统计量的值是。因此，在每一年的频率上有一个单位根，

36、季节差分是适当的。因此利用季节差分和非季节差分对货币供给序列进行建模是正确的。4结构性转变在进行单位根查验时，若是疑心有结构性转变时，那么查验需要专门警惕。当有结构性转变时，各类Dickey-Fuller查验统计量偏向于同意有一个单位根假设。为了说明这些，考虑一个时刻序列，在均值处有一次转变，其它地址是平稳的。Vt0.5y-tDl（）那个地址Dl是虚拟变量，对t1,50,Dl0,对t51,100,Dl3。在实际中，结构性转变往往不是如此明显，图中的直线似乎说明序列有确信性趋势。直接拟合方程为yta0a2tet。图两个结构性转变模型估量（）的适当方式是拟合简单的AR（1）模型且截距项是转变的（通

37、过加入虚拟变量Dl使截距项发生转变）。可是，若是咱们拟合回归方程ytaoa1et（）则为的值必然靠近1。造成那个误差（向上偏移）的缘故是：估量值为在必然程度上反映了“yt的较低的值跟从着其它低值，较高的值跟从着其它较高的值”。当为趋于1时，（）趋于一个带漂移项的随机游动。咱们明白，带漂移项的随机游动模型的解包括一个确信性趋势，即tytyoaotii1因此，通过令a1趋于1,被错误设定的方程（）的曲线就会超级接近于图中的趋势线。a1的这种误差意味着，尽管那个序列是平稳的，Dickey-Fuller查验是偏向于同意有一个单位根的零假设。固然一个单位根进程也能显示一个结构性中断。图中第二个图给出了y

38、tyt1tDP那个地址DP(51)4，所有其它值DP0。结构性转变的查验在存在结构性中断时，查验单位根的一个直接方式是：将样本分成两部份，在每部份上利用Dickey-Fuller查验。这种方式的问题是，每一个回归结果的自由度减少，而且，还须要找出中断点在什么地址显现。因此，仍是应该对全样本进行查验。Perron(1989)合出了在t1处存在结构性转变时的单位根查验的程序。考虑零假设：一个单位根进程在水平处有一次跳跃，备择假设：一个趋势平稳进程在截距处有一次跳跃。即零假设和备择假设别离是()H1:yta0yt11DPt()A1:yta0a2t2DLt那个地址Dp代表脉冲虚拟变量t1DPP0,否则

39、DL代表水平虚拟变量1,tDLL0,否则图结构性转变图说明，零假设以为：进程在t处，水平方向上发生了一次跳跃，以后，进程仍继续是先前的带漂移的随机游动进程。备择假设以为：序列在t之前，围绕趋势线比a2t平稳，从1开始，序列围绕趋势线aoa2t2平稳。需要计量查验的问题是确信观测到的序列是由（）模拟仍是由（）模拟。Perron（1989用方式如下：1步：在备择假设下，估量模型，去掉趋势取得残差yio2步：估量回归夕aiyti+t在一个单位根的零假设下，a1的理论值是1。Perron（1989）ffi明：当残差是独立同散布时，a1的散布依托于/T,T是样本观测个数。3步：进行诊断查验来确信2步中的

40、残差是不是为序列无关。若是序列相关，利用回归的扩展形式k?a1?t1iytiti14步：对零假设a1计算t-统计量值，并与Perron给出的临界值相较较。当0,1时，临界值与Dickey-Fuller统计量的临界值相同。当01时有结构性中断。当0.5时，两个统计量（Dickey-Fuller的t-统计量和Perron的t-统计量）的差值最大。对0.5,t-统计量临界值在5%的显著水平上是（在绝对值上，大于Dickey-Fuller的对应的临界值）。若是t-统计量大于Perron给出的临界值，那么拒绝有一个单位根的零假设。固然，能够把1步，2步，3步结合起来，简单地估量方程kyta0a1yt1a

41、2t2DLiytiti1对零假设ai1的t-统计量与Perron给出的临界值相较较。那个方式是通用的，也许诺在漂移处有一次转变或在均值和漂移处有一次转变。例如，能够查验零假设：漂移项处有一个持久转变的，备择假设是：在趋势的斜率处有一个转变。这时零假设是： TOC o 1-5 h z H2:yta0yt12DLt那个地址，若是t,DL1,否则，DL0。备择假设是：A2:yta0a2t3DTt那个地址对t,DTt,否则，DT0更一样的，能够结合这两个零假设Hi和七:H3:yta0yt11DP2DLt这时的备择假设是A3:yta0a2t2DL3DTt固然，这种方式需要估量回归a或从。然后，用yt估量

42、回归y?taiy?ti+t若是由这回归方程中取得的残差不是白噪声，以扩展的查验的形式估量那个方程。关于零假设&1的t-统计量值可与Perron(1989)给出的临界值相较较。对0.5,Perron在5%的显著水平上给出了H2的t-统计量的临界值是，H3的t-统计量的临界值是。结构性转变的Perron查验Perron(1989)的关于结构性转变的分析说明：大多数宏观经济变量并非是单位根进程，相反，这些变量似乎是具有结构性中断的趋势平稳进程。依照Perron(1989),1929年的股票大跌和1973年的油价的猛涨是外生冲击，并对大多数宏观经济变量的均值有持久效应。这些冲击引发了均值上的一次下降，

43、在其它处，宏观经济变量似乎是趋势平稳。Perron研究的所有变量(除实际工资，股票价钱和平稳的失业率外)似乎都有一个常数斜率的趋势并在1929年左右有一个较大的转变。为了分析关于股票大跌效应的各类假设，考虑回归方程kyta01Dl2DPa2ta1ytiiytiti1那个地址：Dp(1930)1,在其它处为零。对1930年后Dl1,其它时刻Dl0。“单位根进程的水平有一次转变的”意味着a1 1,a20, 2 0。“趋势平稳模型中有一次永久的中断”意味着&1,10。Perron(1989)合出了实际GNP,名义GNP,工业产值的查验结果。表对Nelson和Plosser数据的结构性转变的再查验Tk

44、ao12a2a实际GNP628名义GNP628工业产值1118给定每一个序列的长度，1929年的股票大跌对实际和名义GNP数据来讲，1/3,对工业产值数据来讲，2/3。滞后长度可依照系数i的t-查验来确信。若是k的t-统计量的绝对值大于，i(ik)的t-统计量的绝对值小于，那么应该选择该k值第一看实际GNP的结果，看表的最后一列，支持单位根假设的证据很少。a1的估量值是在1%水平上显著异于1。而实际GNP似乎有确信性趋势（&的估量超过5个标准不同于零）。点估量10.189是显著异于零（在通常水平上）。因此，股票大跌致使了实际GNP的截距的一次永久减少。所有国的值大约是5倍的标准不同于1,确信性

45、趋势的系数a2的值大约是5倍的标准不同于0，所有1的值在1%的显著水平上显著为负，这些数听说明：除由于股票大跌而致使的结构性中断之外，实际宏观经济变量是趋势平稳的（TS）。5功效与确信性说明变量时刻序列的单位根查验并非能专门好地域分特点根为1和特点根接近于1的情形。这是由于单位根查验的功效和模型中确信性回归变量的存在。功效（Power）一个查验的功效是指拒绝错误零假设的概率（即，1P（第二类错误）。MonteCarlo模拟说明：各类Dickey-Fuller查验的功效是超级低的。这些查验也常常以为一个序列含有单位根，且区分趋势平稳和随机游动进程时也有很低的功效。事实上，在有限样本中，趋势平稳进

46、程都可用一个单位根进程来近似，一个单位根进程也能由一个趋势平稳进程来近似。如，在一个随机游动加噪声的模型中，加入一个截距项，yta0tt（）若是Var（t）0，yt显然是一个单位根进程。若是Var（t）0，那么yt是趋势平稳进程yty0a0tt（）那个地址y0是yt的初始值。因此，差分平稳进程（）和趋势平稳进程（）的不同要紧在于t的方差。由于有两个冲击成份t和t,没有简单方法来确信Var（t）2是不是为零。在有限样本中，当2较大时，也将很难区分TS和DS序列。确信性说明变量（回归变量）的确信在单位根查验中，估量下面一样方程来查验0：pyta0yt1a2tiyti1t（）i2若是真实进程是随机游

47、动，那个回归应有a0a20。若是估量更多的参数将会降低自由度和查验功效。降低功效意味着：没有单位根存在时，查验将同意有一个单位根的零假设。另外的问题是查验0的统计量（,）依托于模型中包括哪些回归变量。考察三个Dickey-Fuller表，对一个给定的显著水平，若是模型中包括截距项和时刻趋势项，=0的置信区间就会明显扩大。但当yt是平稳时，t-统计量的散布并非依托于其它回归变量的存在。不正确地忽略掉截距或时刻趋势项会使查验功效降为零。增加额外的回归变量会使临界值的绝对值增大，致使不能拒绝一个单位根的零假设。由于单位根的查验是依托于确信性回归变量的存在，因此，模型中是不是包括截距或时刻趋势项就超级

48、重要了。Campbell和Perron（1991）的单位根查验方式：（1）估量的回归方程中包括了真正数据生成进程的所有确信性成份，在有一个单位根的零假设下，的散布是非正态的。那个散布随着方程中包括的参数而转变。（2）若是估量的回归方程中包括确信性回归变量（而实际数据生成进程不含确信性回归变量），单位根查验（备择假设是平稳序列）的功效随着确信性回归变量的增加而减少。（3）若是估量的回归方程中忽略了重要的时刻趋势变量（实际数据生成进程含有时刻趋势变量），当样本增加时，t-统计量的查验功效趋于零。这些结果说明：由于回归方程中确信性变量的设定不妥，会致使不能拒绝一个单位根的零假设。太多或太少的回归变量

49、都能致使同意一个单位根的零假设。尽管有时不能确信在模型中是不是应包括适合的确信性回归变量，一样来讲，下面的方式是有效的。1）刻画散点图：可用来帮忙确信数据中是不是明显的趋势。2）明确零假设和备择假设：当利用Dickey-Fuller查验时，总要在备择假设下估量模型，按零假设来加入限制。由于零假设是：序列有一个单位根，因此老是依照平稳或趋势平稳来估量那个序列。例如，实际GDP序列随时刻而向上倾斜，要分析的问题是这序列是趋势平稳的仍是含有单位根加漂移项。适合的估量模型有形式yta0yt1a2tiytit。然后能够查验限制0或a20。3）由于在单位根查验中，包括确信性回归变量会损失功效。但忽略回归变

50、量又能致使错误设定误差。Sims,Stock和Watson（1990）合出了一个法那么来选择适当的回归变量：若是数据生成进程包括确信性回归变量（截距或时刻趋势）且估量一个包括这些确信性回归变量的方程时，可通过t-查验或F-查验来对所有系数进行统计推断。这是因为，对具有不同收敛速度的参数之间的单一限制的查验渐近地被具有最慢收敛速度的参数所操纵。p若是估量的模型是形如yta0a1tyt1iyti1t，而实际数据i2生成进程包括趋势时，查验=0的零假设可利用标准正态散布。若是估量方程时，包括确信性回归变量，而实际数据生成进程不包括确信性回归变量时，Dickey-Fuller散布是非标准的。通过刻画数

51、据的散点图能够判定数据生成进程是不是存在确信性回归变量。利用某些理论，也能够确信适当的回归变量。市场有效假说理论以为，资产收益中不该存在确信性趋势。一样，在查验PPP假设中，也不该利用确信性时刻趋势。当数据生成进程是完全未知的时候，DoladoJenkinson和Sosvilla-Rivero（1990）给出了具有一个单位根的程序：第1步：估量无穷制的模型（一样包括时刻趋势和截距项），利用统计量来查验零假设=0，拒绝那个零假设的单位根查验的功效较低。若是那个零假设被拒绝，不需要再继续查验，yt不含单位根。第2步：若是零假设没被拒绝，需要确信模型中是不是包括了确信性回归变量，这些回归变量的存在会

52、降低查验功效。可利用3统计量查验假设a10，若是趋势项不显著，进行第3步。若是趋势项显著，利用标准正态散布再查验单位根的存在。总之，若是数据生成进程含有趋势项，的极限散布是标准正态散布。若是一个单位根的零假设被拒绝，查验再也不进行。序列不含单位根。第3步：估量没有趋势的模型（形如（），利用统计量查验单位根的存在。若是零假设被拒绝，那么模型不包括单位根。若是零假设没被拒绝，利用1统计量来查验a00，若是常数项不显著，估量形式的方程，并进行第4步。若是常数项显著，利用标准正态散布查验单位根的存在。若是一个单位根的零假设被拒绝，序列不含单位根。第4步：估量（），利用统计量查验单位根的存在，若是零假设

53、被拒绝，序列不含单位根，不然含有一个单位根。GD对单位根下面利用扩展的ADF查验美国实际GDP对数yt的单位根查验yt0.06350.00048t0.0629yt10.256yt10.1486yt2（）（）（）（）（）那个查验似乎说明yt是趋势平稳的。零假设0的t-统计量值是。在10%和5%显著水平上，的临界值别离为和。若是利用10%的显著水平，那么不需要继续查验了，能够以为没有单位根。但在5%的显著水平上，不能拒绝单位根的零假设。因此，由于没必要要的时刻趋势或漂移项的存在，查验的功效降低。零假设a10的t-统计量为，但不要因此就以为a1显著不为零。若是利用3统计量联合查验假设a10。对限制模

54、型的F统计量值为。在5%的显著水平上，3的临界值为，因此，同意假设a10。下面估量无趋势模型yt0.00840.0021yt10.248yt10.145yt2（）零假设0的t-统计量值是，因为统计量在5%的显著水平上，临界值为，同意单位根的零假设。若是截距项不显著，此查验的功效是很低的。为了查验截距项的显著性，利用1统计量。对限制模型的F统计量值为，临界值为，能够以为存在截距项。能够利用标准正态散布查验0，因此，不显著异于零，以为序列有单位根和漂移项。6趋势分解Neleon和Plosser(1982)以为：许多经济时刻序列都有一个随机趋势和一个平稳成份。许多经济理论以为把一个序列区分临时成份和

55、持久成份是超级重要的。如，消费函数理论把个人收入分解为临时和永久成份。若是序列yj的趋势是确信性的，那么这种分解是容易的。若是趋势是随机的，那么这种分解就比较困难。Hodrick-Prescott分解Hodrick-Prescott(1997)给出一种将一个序列分解为一个趋势和一个平稳成份的方式。假设观测到y，的值，将那个序列分解为一个趋势t和平稳成份Vtt,考察其平方和1T2T12(ytt)-(-t)(t-)Tt1Tt2其中，是常量，T为观测到的样本数。通过选择序列，使得上方的平方和达到最小。若是取为0,那么当ytt时，平方和达到最小，趋势即为yt本身。若是时，那么趋势的转变为常量，有线性时

56、刻趋势。增加值，能够起到滑腻趋势的作用。一样来讲，关于年度数据，取100;关于季度数据，取1600;关于月度数据，取1440。Hodrick-Prescott分解的优势在于它利用一样的方式将趋势从一系列变量中区分出来。如许多实际经济周期模型说明：所有变量有相同的随机趋势。GDP02TrendCycleBeveridge和Nelson趋势分解Beveridge和Nelson(1981)给出了如何将任意一个ARIMA(p,1,q)模型分解为一个带漂移的随机游动成份和平稳成份，即趋势加不规那么模型的方式。任彳ARIMA(p,1,q)序列的1阶差分都可写为平稳的无穷阶移动平均表达式ytyt1a0t1t

57、12t2则yt可分解为ytztut,其中Za。(j)tjout(j)t(j)t1(j)t2j1j2j3为了说明这种分解，概念 ett 1 t1因此,sytsytasetii1又由于 TOC o 1-5 h z ssetitii1i1因为Etti0,于是，预测函数可写为ss1Etytsaosyt(i)t(i)t1i1i21时，上方等式右端是yts的向前s步预测值。在t期，向前s步预测值是s的线性函数,ss 1%为斜率，yt ( i) t ( i) 11s 2(i) 12为在t期时的随机趋势，用乙来表示。趋势是指预测的极限。为了求出随机趋势，令 s,求 Et(yt s as)的极限。因此,随机趋势

58、为Zt = yti)i)i) t 23平稳部份为Ut(j)j) tj)那个分解还能够写成另一种形式:式yt sytsyt s 1ytytyt因此，随机趋势为t lim Etyt s saslim Et( yt s syt s 1ytyt1)ytyt减去确信性趋势与随机趋势的和是平稳成份(不规那么成份)，因此平稳成份为limEt(ytsyts1乂2y-)s因止匕，Beveridge和Nelson(1981)的方式如下：第1步：利用Box-Jenkins的方式估量yt的ARMA(p,q)。第2步：对每一个t和s值求出Etytso对每一个t值求和Et(ytsyts1yt2yt1)ytas。为了取相对

59、较大的s值，在Beveridge和Nelson的研究中，令s=100。关于第t=T期，TET(yT100yT99yT1)yTa0s从而取得序列t。第3步：从价中减去T期确信性趋势与随机趋势的和是平稳成份(不规那么成份)，因此平稳成份为ET ( yT 100yT 99yT 1)Beveridge和Nelson的分解方式应用到每一个变量中，将不能取得一样的趋势。不可观测成份模型(UnobservedComponentModel)若是一个时刻序列是差分平稳的，那么它能够被分解为一个趋势和一个平稳成份，即ytztUt下面介绍Muth(1960)的分解方式(信号提取SignalExtraction)Zt

60、Zt1Vt其中，Ut是白噪声，与Vt不相关，UtWN(0,：),VtWN(0,；),因此yt是平稳进程ytVtUtUt1yt的样本自相关在一阶处截尾2U222V (1) eJV于是yt是MA(1)进程yt其中，et WN(0,e)，(1)et , Utet通过计算取得：乙的最小均方误差估量Zt(E(Zt?)2最小)知足：对无穷样本yt个估量2 Vz(B)ytVzjytj其中，虑波Vz(B)2-4(1 B) 1(1eB 1) 11(TjjjBj利用2 (1)2可得(1)2(12)jjyt j噪声部份为Vt? (1 Vz(B)yt因此，关于接近于1的，？是由yt的过去值和以后值的移动平均给出接近于